八年级数学-构造等腰三角形解题的辅助线常用做法(含答案).doc
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构造等腰三角形解题的辅助线常用做法
等腰三角形是一种特殊的三角形,常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中,通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢?
一般有以下四种方法:
(1)依据平行线构造等腰三角形;
(2)依据倍角关系构造等腰三角形;
(3)依据角平分线+垂线构造等腰三角形;
(4)依据120°角或60°角,常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形
例1:
如图。
△ABC中,AB=AB,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于D,求证DE=DF.
[点拔]:
若证DE=DF,则联想到D是EF的中点,中点的两旁容易构造全等三角形,方法是过E或F作平行线,构造X型的基本图形,只需证两个三角形全等即可。
证明:
过E作EG∥AC交BC于G
∴∠1=∠ACB,∠2=∠F
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠1=∠B
∴BE=GE
∵BE=CF
∴GE=CF
在△EDG和△FDC中
∠3=∠4
∠2=∠F
GE=CF
∴△EDG≌△FDC
∴DE=DF
[评注]:
此题过E作AC的平行线后,构造了等腰△BEG,从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2:
如图。
△ABC中,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的平分线
求证:
AB+BD=AB
[点拔]:
在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍,可延长CB,构造等腰三角形,问题即可解决。
证明:
延长CB至E,使BE=BA,
连接AE
∵BE=BA
∴∠BAE=∠E
∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E
∴∠C=∠E
AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA
∴EA=ED
∵ED=EB+BD,EB=AB,AC=AE
∴AC=AB+BD
[评注]:
当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时,我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线,构造等腰三角形
例3,如图。
△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于D,求证:
BF=2CD
[点拔]:
遇到BD平分∠ABC且BD⊥CD,可延长CD、BA交于E,使角平分线BD又成为底边上的中线和高。
证明:
分别延长BA、CD交于点E
∵CD⊥BD
∴∠BDC=∠BDE=90°
∴∠1+∠E=90°
∵∠BAC=90°
∴∠3+∠E=90°
∴∠1=∠3
在△BAF和△CAE中
∠1=∠3
AB=AC
∠BAC=∠CAE=90°
∴△BAF≌△CAE
∴BF=CE
在△BDE和△BCD中
∠1=∠2
BD=BD
∠BDE=∠BDC
∴△BDE≌△BDC
∴CD=ED
∴CE=2CD
∵BF=CE
∴BF=2CD
[评注]:
当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时,通常延长此线段与角的另一边相交,我们就可以寻找到等腰三角形。
4、依据60°角或120°角,常补形构造等边三角形
例4,、如图。
∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC
求证:
AC平分∠BAD
{点拨}:
由AB+AD=AC知,应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段,
使AE=AD则∠EAD=60°△ADE为等边三角形,余下的只要证∠CAD=60°既得证明:
延长BA到E,使AE=AD连接DE
∵∠BAD=120°
∴∠DAE=180-120=60°
又AE=AD
∴△DAE是等边三角形
∴DE=AD∠E=60°
∵BE=AB+AEAC=AB+AD
AE=AD
∴BE=AC
在△BDE和△CDA中
BD=CD
BE=CA
DE=AD
∴△BDE≌△CDA
∴∠CAD=∠E=60°
∵∠BAD=120°
∴∠BAC=∠CAD=60°
∴AC平分∠BAD
{评注}:
在三角形的问题中,120°角也是常见角,可以利用120°的外角找到60°的角,经过添加线段的关系,构造等边三角形。