A、；B、；C、；D、。
答案：
（1）D；
（2）C；（3）B。
【21】求下列矩阵的逆矩阵：
（1）；
（2）。
答案：
（1）；（3）。
【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。
试证明分块矩阵是可逆方阵，并且用表示分块矩阵。
答案：
提示：
由拉普拉斯展开定理，得、，故A是可逆矩阵。
由逆矩阵定义，得。
【23】已知三阶方阵A=（）与任意三阶方阵B之积可交换：
AB=BA，证明A是数量矩阵。
【24】设4阶矩阵
B=C=
且矩阵A满足等式。
其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。
于是
【25】（00403）设，矩阵，n为正整数，则=
【26】（04404）。
【27】（04404）设是实正交矩阵，且=1，b=，则线性方程组Ax=b得解是。
【28】（04104）
。
【29】（00203）设A==.
【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（）
A.必须有一个等于零B.都小于nC.一个小于n，一个等于nD.都等于n
第三章
【1】
【2】
【3】（95508）设三阶矩阵A满足，其中列向量.试求矩阵A.
【4】（97306）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。
记分块矩阵其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。
（1）计算并化简:
证明：
矩阵可逆的充分必要条件是.
【5】（98104）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且.证明：
向量组是线性无关的.
【6】（01408）设是n维实向量，且线性无关.已知是线性方程组
的非零解向量.试判断向量组得线性相关性。
【7】（96408）设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即.试证明：
向量组线性无关.
【8】（04313）设，试讨论为何值时，
1.不能由线性表示;
2.可以由唯一地线性表示，并求出表示式。
3.可以由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
答案与提示：
1.当=0时，不能由线性表示。
2.当，且时，可以由唯一地线性表示。
当时可以由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为.
【9】（05290）确定常数，使向量组可由向量组线性表示，=1时向量组不能由向量组线性表示。
【10】（00303）设A为n阶实矩阵.为的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有（）。
A.的解是的解，的解也是的解
B.的解是的解， 但的解不是的解
C.的解不是的解，的解也不是的解
D.的解是的解，但的解也不是的解
【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组，
（1）求解方程组，用其导出组得基础解系表示通解；
（2）当方程组中得参数m,n,t为何值时，方程组与同解。
答案与提示：
（1）方程组得通解为（k为任意常数）.
当时，方程组同解。
【12】（99409）已知线性方程组
（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？
（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。
答案与提示：
（1）当时，，方程仅有零解
（2）下面分四种情况：
1、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数）
2、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数）
3、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数）
4、当a=b=c时，方程组有无穷多组解，全部解为
【13】（03313）3B已知齐次线性方程组
其中讨论和满足何种关系时，
（1）方程组仅有零解；
（2）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
答案与提示：
（1）当且时，秩方程组仅有零解.
当时，方程组有非零解，基础解系为.
【14】（96403）3B设
，，，
其中.则线性方程组的解是.
【15】（02106，02206）3B已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.
方程组的通解为，为任意实数.
【16】（04413）3B设线性方程组
已知是该方程组的一个解，试求
（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
（2）该方程组满足的全部解.
答案与提示：
（1）方程组的全部解为
（2）时，方程组的全部解为
【17】
【18】
【19】
【20】
【21】
【22】
【23】
【24】
【25】
【26】
【27】
【28】
【29】
【30】设A是n阶方阵，如果对于任一n维列向量X=都有AX=0，证明A=0
【31】选择题设是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且秩（A）=3，
【32】选择题设A为n阶实距矩阵，为A的转置矩阵，则对于线性方程组
（1），AX=0和（Ⅱ）；AX=0，必有
A（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；
B（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；
C（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；
D（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解；
【33】用消元法解下列线性方程组
1
答
2
【34】
【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系
【36】
【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组（导出组）的一个基础解系，并写出一般解
第四章
【1】求下列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角矩阵
答：
【2】
【3】
【4】
【5】
【6】已知的一个特征向量。
（1）试确定参数a，b及特征向量所对应的特征值。
问A能否相似于对角阵？
说明理由。
【7】填空题设A为n阶矩阵，≠0，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A有特征值，则必有特征值__________。
【8】选择题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则
A、E-A=E-B；B、A与B有相同的特征值和特征向量;
C、A与B都相似于一个对角矩阵；D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。
【9】求下列矩阵的特征值与特征向量：
（1）A
答案：
特征值；属于特征值的特征向量，属于特征值的特征向量。
（2）A
答案：
特征值；属于特征值5的特征向量，属于特征值-1的特征向量。
（3）A
答案：
特征值；属于的特征向量；属于的特征向量；属于特征向量。
【10】求矩阵
A=的特征值与特征向量。
问A是否能与对角矩阵相似？
如果相似将其化为相似对角矩阵。
答案：
A与对角矩阵相似。
时，，则
【11】设是矩阵A的特征值，m是正整数，试证是的特征值。
答案：
使用数学归纳法。
【12】设是矩阵A的特征值，是x的一个多项式。
证明的特征值。
答案：
略。
【13】假设是矩阵A分别属于特征值的特征向量，而互不相等，
证明
都不可能是矩阵A的特征向量。
阿
答案：
略
【14】如果矩阵A与B相似，C与D相似。
证明分块矩阵与相似。
答案：
略
【15】当。
证明矩阵
可以化为对角矩阵。
答案：
提示：
该矩阵有n个两两不同的特征值，所以它可以相似于对角矩阵。
【16】若A是可逆矩阵，证明它的每个特征值都不为零，而且是的一个特征值。
若X是A的属于的一个特征向量，则X也是属于的一个特征向量。
答案：
提示：
由于矩阵A的所有特征值之积等于A的行列式，故可逆矩阵的所有特征值均不为零。
如果列向量是A的属于特征值的特征向量，那么，因为A可逆，用左乘等式两端：
。
所以是矩阵的特征值，而且也是的属于特征值的特征向量。
【17】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是。
【18】（94508）4B设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件.
满足条件.
【19】（98309，98409）4B设向量都是非零向量，且满足条件记阶矩阵求：
（1）
（2）矩阵的特征值和特征向量.
答案与提示：
（1）=0
（2），即矩阵的特征值全为零.
的属于特征值的全部特征向量为
【20】（99108，99309）4B设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值.
【21】（97409）4B设矩阵和相似，且
，，
（1）求的值；
（2）求可逆矩阵，使
答案与提示：
（1）
（2）
【22】（00409）4B设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，的二重特征值.试求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：
【23】（04321）4B设阶矩阵
.
（1）求的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：
（1）基础解系为
基础解系为
（2）
【24】（05413）4B设为3阶矩阵，是线性无关的3维列向量，且满足
（1）求矩阵，使得；
（2）求矩阵的特征值；
（3）求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：
（1）
（2）
（3）
【25】（97310）4B设3阶实对称矩阵的特征值是1，2，3；矩阵的属于特征值1，2的特征向量分别是，
（1）求的属于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵。
答案与提示：
（1）的属于特征值3的特征向量为
（2）=
【26】（04413）4B设3解实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值，若都是的属于特征值6的特征向量
（1）求的另一特征值和对应的特征向量；
（2）求矩阵
答案与提示：
（1）的另一特征值，属于特征值的全部特征向量为
（2）=
【27】（06313，06413）4B设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解
（1）求的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵和对角矩阵，使得；
（3）求及，其中为3阶单位矩阵
答案与提示：
（1）是的二重特征值，为的属于特征值0的两个线性无关特征向量；是的一个特征值，为的属于特征值3的特征向量
（2）
为正交矩阵，且
（3）=
第五章
【1】判断下列二次型是否正定：
（2）
【2】设A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B是正定矩阵。
【3】用配方法将下列二次型化为标准形，并写出相应的线性替换。
（1）
答案：
原式=。
相应的线性变换为
（2）
答案：
原式=。
相应的线性变换为
（3）
答案：
原式=。
相应的线性变换为
【4】用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出相应的正交变换。
（1）
答案：
正交变换为
标准形为。
（2）
答案：
正交变换为
标准形为。
【5】判定下列二次型是否正定。
（1）
答案：
正定
（2）
答案：
非正定
（3）
答案：
非正定
【6】t取哪些值时，以下二次型是正定的？
（1）
答案：
当时，二次型正定。
（2）
答案：
当时，二次型正定。
【7】设A是实对称矩阵，且A的任意特征值满足条件，证明2E+A是正定矩阵。
答案：
提示：
若是A的特征值，则是2E+A的特征值，于是可导出2E+A的全部特征值均大于零。
【8】设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵。
（1）证明；
答案：
利用矩阵的行列式等于其特征值的乘积。
（2）t为何值时，A+tE是正定矩阵。
答案：
利用定理：
正定矩阵全部特征值大于零。
【9】例6.3.11设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，
试证：
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩。
【10】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是。
【11】（95410）5B已知二次型
（1）写出二次型的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型化为标准形，写出相应的正交矩阵
答案与提示：
（1）的矩阵表达式为
（2）
二次型作正交变换二次型可以化为如下标准形
【12】（01308）5B设为阶实对称矩阵，是中元素的代数余子式，二次型
（1）记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为；
（2）
（2）二次型的规范形是否相同？
说明理由。
【13】（99307）5B设为实矩阵，为阶单位矩阵，已知矩阵，试证：
当时，矩阵为正定矩阵.
【14】（00309）设有元实二次型
其中为实数，试问：
当满足何种条件时，二次型为正定二次型
答案与提示：
当时，二次型为正定二次型
【15】（05313）5B设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵
（1）计算，其中；
（2）利用
（1）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论
答案与提示：
（1）=
（2）为正定矩阵
第35页共35页
升级会员 