《管理运筹学》第二版课后习题参考答案.docx
《《管理运筹学》第二版课后习题参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《管理运筹学》第二版课后习题参考答案.docx（89页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
《管理运筹学》第二版课后习题参考答案
......
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案
第1章线性规划（复习思考题）
1．什么是线性规划？
线性规划的三要素是什么？
答：
线性规划（LinearProgramming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且
是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：
决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是
决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资
源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？
答：
（1）唯一最优解：
只有一个最优点；
（2）多重最优解：
无穷多个最优解；
（3）无界解：
可行域无界，目标值无限增大；
（4）没有可行解：
线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？
松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？
答：
线性规划的标准型是：
目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项
b
i
0，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企
业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关
.
学习帮手
.
......
系。
答：
可行解：
满足约束条件AXb，X0的解，称为可行解。
基可行解：
满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：
对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：
使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：
最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：
5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
maxZ4xx2x
12
3
s.
t.
8x3xx2
123
6xxx8
123
x,x,x0
123
解：
标准化
maxZ4xx2x
12
3
s.
t.
8x3xxx21234
6xxxx8
1235
x,x,x,x,x012345
列出单纯形表
c
j
41
2
0
0
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
i
0
0
x
x
4
5
2
8
[8]
6
3
1
1
1
1
0
0
1
2/8
8/6
4
j
x
1
1/4
4
1
1
3/8
2
[1/8]
0
1/8
0
0
（1/4）/（1/8）
0
x
5
13/2
6
－5/4
1/4
－3/4
1
（13/2）/（1/4）
.
学习帮手
.
（
；
1
2
ca；
1
1
2
......
2
0
x
x
j
3
5
j
2
6
0
8
－2
－12
－1/2
3
－2
－5
3/2
1
0
0
-1/2
1
－1
－2
0
0
1
0
故最优解为X*（0,0,2,0,6）
T
，即x0,x0,x2，此时最优值为Z（X*）4．123
6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a,a,c,c,d
为何值及变
1
2
1
2
量属于哪一类型时有：
（1）表中解为唯一最优解；
（2）表中解为无穷多最优解之
一；（3）下一步迭代将以x代替基变量x；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）
15
该线性规划问题无可行解。
表1—15
某极大化问题的单纯形表
c
j
c
1
c
2
0
0
0
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
i
0
0
x
x
3
4
d
2
4
－1
a
1
－5
1
0
0
1
0
0
0
x
5
3
a
2
－3
0
0
1
j
c
1
c
2
0
0
0
解：
（1）d0,c0,c0；
12
（2）
（3）
d0,c0,c0c,c121
d3
c0,a0,；
4a
2
中至少有一个为零）2
（4）0,021
（5）
d3
x为人工变量，且c为包含M的大于零的数，；或者x为人工变
4a
2
量，且c为包含M的大于零的数，a0,d0．21
.
学习帮手
.
......
7．用大M法求解如下线性规划。
maxZ5x3x6x
12
3
s.
t.
x2xx18123
2xx3x16123
xxx10123
x,x,x0
123
解：
加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：
maxZ5x3x6x0x0xMx
12345
6
s.
t.
x2xxx181234
2xx3xx161235
xxxx101236
x0（i1,2,,6）i
列出单纯形表
c
j
53
6
0
0
－M
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
i
0
0
x
x
4
5
18
16
1
2
2
1
1
[3]
1
0
0
1
0
0
18/1
16/3
－M
x
6
10
1
1
1
0
0
1
10/1
j
5+M
3+M
6+M
0
0
0
0
6
x
x
4
3
38/3
16/3
1/3
2/3
5/3
1/3
0
1
1
0
－1/3
1/3
0
0
38/5
16
－M
x
6
14/3
1/3
[2/3]
0
0
－1/3
1
14/2
j
121M1
33
M
0
0
1
2M
3
0
0
6
3
x
x
x
4
3
2
1
3
7
－1/2
[1/2]
1/2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1/2
1/2
－1/2
－5/2
－1/2
3/2
－
6
14
.
学习帮手
.
......
j
1/2
0
0
0
－3/2
3
2
M
0
5
3
x
x
x
4
1
2
j
4
6
4
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
－1
－1
1
0
0
0
1
1
－1
－2
－3
－1
2
－1－M
故最优解为X*（6,4,0,4,0,0）Z（X*）42．
T
，即x6,x4,x0，此时最优值为123
8．A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电
站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。
由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0～30单位，城市B的供应量不
变，城市C的供应量不能少于270单位。
试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表1—16
单位电力输电费（单位：
元）
电站
城市
A
B
C
I
15
18
22
II2125
16
解：
设x为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2;j=1,2,3），建立模型如下：
ij
maxZ15x18x22x21x25x16x
1112132122
23
s.
t.
xxx400111213
xxx450212223
xx2901121
xx3201121
xx2501222
xx2701323
xx3501323
x0,i1,2;j1,2,3ij
.
学习帮手
.
......
9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：
项目I从第一年到第三
年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所
获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可
以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III
需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超
过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的
最大投资不得超过10万元。
在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
解：
设x
（1）
i
表示第一次投资项目i，设x
（2）
i
表示第二次投资项目i，设x
（3）
i
表示第三次
投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为
maxZ1.2x（3）
1
1.6x
（1）1.4x
（1）34
s.
t.
x（3）
1
x
（1）x
（1）30
12
x
（2）x
（1）1.2x
（1）30x
（1）x
（1）
13112
x
（1）1.2x
（2）1.5x
（1）1.2x
（1）30x
（1）x
（1）x
（2）x
（1）41211213
x
（1）20
2
x
（1）15
3
x
（1）10
4
x
（1）,x
（2）,x（3）0,i1,2,3,4
iii
通过LINGO软件计算得：
x
（1）
1
10,x
（1）20,x
（1）23
0,x
（2）
1
12,x
（2）
1
44．
10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打
磨、上漆几道重要工序。
每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。
问工厂应如何安排生产，使总利润最大？
表1—17
家具生产工艺耗时和利润表
所需时间（小时）
每道工序可用
生产工序
.
12345
学习帮手
时间（小时）
.
......
成型
打磨
上漆
利润（百元）
3
4
2
2.7
4
3
3
3
6
5
3
4.5
2
6
4
2.5
3
4
3
3
3600
3950
2800
解：
设x表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则i
maxZ2.7x3x4.5x2.5x3x
1234
5
s.
t.
3x4x6x2x3x360012345
4x3x5x6x4x395012345
2x3x3x4x3x280012345
xi0,i1,2,,5
通过LINGO软件计算得：
x0,x38,x254,x0,x642,Z3181．
12345
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。
已知生产
单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表示。
2—10所
表1—18
甲
产品生产工艺消耗系数乙
丙
设备能力
A（小时）
B（小时）
C（小时）
1
10
2
1
4
2
1
5
6
100
600
300
单位产品利润
10
64
（元）
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。
（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？
如产品丙每件的利润增加到6，求最优生产计划。
.
学习帮手
.
......
（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围。
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
解：
（1）设x,x,x分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型
123
maxZ10x
1
6x
2
4x
3
s.t.
标准化得
xxx100
123
10x4x5x600
123
2x2x6x300
123
x,x,x0
123
maxZ10x
1
6x
2
4x
3
0x
4
0x
5
0x
6
s.t.
列出单纯形表
xxxx1001234
10x4x5xx6001235
2x2x6xx3001236
x,x,x,x,x,x0123456
c
j
106
4
0
0
0
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
i
0
0
0
x
4
x
5
x
6
100
600
300
1
[10]
2
1
4
2
1
5
6
1
0
0
0
1
0
0
0
1
100
60
150
j
10
6
4
0
0
0
－
0
x
4
400[3/5]1/21
1/10
0
200/3
10
0
x
1
x
6
60
180
1
0
2/5
6/5
1/2
5
0
0
1/10
－1/5
0
1
150
150
.
学习帮手.
3
3
3
3
3
1
4
1
5
1
......
6
x
2
j
200/3
0
0
2
1
－1
5/6
0
5/3
－1
－1/6
0
0
10
0
x
x
1
6
100/3
100
1
0
0
0
1/6
4
－2/3
－2
1/6
0
0
1
－
j
00
8/3
－10/3－2/30
故最优解为x100/3,x200/3,x0，又由于x,x,x取整数，故四舍五入可
123123
得最优解为x33,x67,x0,Z
123
max
732．
（2）产品丙的利润
c变化的单纯形法迭代表如下：
3
c
j
106
c
3
0
0
0
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
i
6
10
0
x
x
x
2
1
6
200/3
100/3
100
0
1
0
1
0
0
5/6
1/6
4
5/3
－2/3
－2
－1/6
1/6
0
0
0
1
j
c－
00－10/3－2/30
20/3
202
要使原最优计划保持不变，只要c0，即c66.67．故当产品丙
33
每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时，此时6<6.67，故原最优计划不变。
（3）由最末单纯形表计算出
1
1c0,6
2
10c0,
3
1
1c0，
6
解得6c15，即当产品甲的利润c在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不11
变。
.
学习帮手
.
201
3
2
01300
......
（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为
B
1
5/31/60
2/31/60，新的最优解为
X
B
B1b
5/31/6010010q1
2/31/60600
20050q
10020q03（10020q）
解得4q5，故要保持原最优基不变的q的变化范围为[4,5]．
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成
maxZ10x6x4x
12
3
s.t.
xxx100123
10x4x5x600123
2x2x6x300123
x10
3
x,x,x0
123
通过LINGO软件计算得到：
x32,x58,x10,Z708．
123
第2章对偶规划（复习思考题）
1．对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？
答：
原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度
来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值y表示第i
i
种资源的边际价值，称为影子价值。
可以把对偶问题的解
Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2．什么是资源的影子价格？
它与相应的市场价格有什么区别？
答：
若以产值为目标，则y是增加单位资源i
i
对产值的贡献，称为资源的影子价格
（ShadowPrice）。
即有“影子价格=资源成本+影子利润”。
因为它并不是资源的实际
.
学习帮手
.
......
价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不
是由市场来决定，所以叫影子价格。
可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当
市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。
3．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
答：
（1）最优性定理：
设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解，且CXbTY，则X,Y分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。
（3）互补松弛性：
原问题和对偶问题的松弛变量为
X和Y，它们的可行解SS
X
*
Y
*
为最优解的充分必要条件是Y
*
X0,YXSS
*
0
．
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负
值。
若Y对应于原问题决策变量x的检验数，则Y对应于原问题松弛变量x的检验SS
数。
4．已知线性规划问题
maxZ4xx2x
12
3
s.
t.
8x3xx2（第一种资源）123
6xxx8（第二种资源）123
x,x,x0
123
（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。
（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变？
.
学习帮手
.
......
（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？
解：
（1）标准化，并列出初始单纯形表
c
j
41
2
0
0
C
B
X
B
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
i
0
0
x
x
4
5
2
8
[8]
6
3
1
1
1
1
0
0
1
2/8
8/6
4
j
x
1
1/4
4
1
1
3/8
2
[1/8]
0
1/8
0
0
2
0
2
0
x
x
x
5
j
3
5
j
13/2
2
6
6
0
8
－2
－12
－5/4
－1/2
3
－2
－5
1/4
3/2
1
0
0
－3/4
-1/2
1
－1
－2
1
0
0
1
0
26
由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：
X
*
（0,0,2,0,6）
T
，即
x0,x0,x2，最优值为
升级会员 