北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案Word文档下载推荐.docx

北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案Word文档下载推荐.docx

《北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案Word文档下载推荐.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在

（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°

，求α的值．

图Z9－3

4．[2012·

北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.

（1）若α＝60°

且点P与点M重合（如图Z9－4①），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．

图Z9－4

5．[2011·

北京]在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

（1）在图Z9－5①中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°

，G是EF的中点（如图②），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝120°

，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图③），求∠BDG的度数．

图Z9－5

怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.

（1）依题意补全图Z9－6①；

（2）若∠PAB＝30°

，求∠ACE的度数；

（3）如图②，若60°

120°

，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．

图Z9－6

2．[2015·

朝阳一模]在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°

得到DE，连接BE.

（1）如图Z9－7（a），点D在BC边上．

②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．

（2）如图（b），点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）．

图Z9－7

3．[2015·

海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°

，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°

，将线段BC绕点B逆时针旋转50°

并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：

EG＝BC；

（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：

________．

图Z9－8

4．[2015·

海淀二模]如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°

.

（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）．

（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE.

①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：

BD＝CD；

②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：

BD＝CF.

图Z9－9

5．[2015·

西城一模]在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.

（1）如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°

，那么∠AHB＝________°

，＝________；

（2）如图②，如果∠BAC＝60°

，猜想∠AHB的度数和的值，并证明你的结论；

（3）如果∠BAC＝α，那么＝________．（用含α的代数式表示）

图Z9－10

6．[2015·

丰台一模]在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.

（1）如果∠ACB＝90°

，

①如图Z9－11（a），当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；

②如图（b），当点P不与点A重合时，求的值．

（2）如果∠CAB＝a，如图（c），请直接写出的值．（用含a的式子表示）

图Z9－11

7．[2015·

海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°

得到线段AC，继续旋转α（0°

）得到线段AD，连接CD.

（1）连接BD，

①如图Z9－12（a），若α＝80°

，则∠BDC的度数为________．

②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；

若改变，请说明理由．

（2）如图（b），以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°

图Z9－12

8．[2015·

西城二模]正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．

（2）如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，

（1）中的结论是否成立？

若成立给出证明；

若不成立，说明理由．

（3）如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

图Z9－13

参考答案

北京真题体验

1.解：

（1）①如图（a）所示．

②AH＝PH，AH⊥PH.

证明：

连接CH，

由条件易得：

△DHQ为等腰直角三角形，

又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，

∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP.

∵BD为正方形ABCD的对称轴，

∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，

∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，

∴∠AHP＝180°

－∠ADP＝90°

∴AH＝PH且AH⊥PH.

（2）如图（b），

过点H作HR⊥PC于点R，

∵∠AHQ＝152°

∴∠AHB＝62°

∴∠DAH＝17°

∴∠DCH＝17°

设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝.

由tan17°

＝得＝tan17°

∴x＝.

2．解：

（1）补全图形如图①所示：

（2）如图①，连接AE，

则∠PAB＝∠PAE＝20°

，AE＝AB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°

，AB＝AD，

∴∠EAD＝130°

，AE＝AD.

∴∠ADF＝25°

（3）如图②，连接AE，BF，BD.

由轴对称的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°

∴BF2＋FD2＝BD2.

∴EF2＋FD2＝2AB2.

3．解：

（1）∵AB＝AC，∠A＝α，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°

－∠A）＝90°

－α.

∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°

∴∠ABD＝30°

（2）△ABE是等边三角形．

连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°

得到线段BD，

则BC＝BD，∠DBC＝60°

∴△BCD为等边三角形．

∴BD＝CD.

∵∠ABE＝60°

∴∠ABD＝60°

－∠DBE＝∠EBC＝30°

在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.

∵∠BCE＝150°

∴∠BEC＝180°

－（30°

－α）－150°

＝α＝∠BAD.

在△ABD和△EBC中，

∴△ABD≌△EBC，

∴AB＝BE.

又∵∠ABE＝60°

∴△ABE是等边三角形．

（3）∵∠BCD＝60°

，∠BCE＝150°

∴∠DCE＝150°

－60°

＝90°

∵∠DEC＝45°

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DC＝CE＝BC.

∴∠EBC＝（180°

－150°

）＝15°

∵∠EBC＝30°

－α＝15°

∴α＝30°

4．解：

（1）如图①，∵BA＝BC，∠BAC＝60°

，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，AM＝MC.

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，

∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°

∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°

∴△CMQ是等边三角形，

∴∠ACQ＝60°

∴∠CDB＝30°

（2）连接PC，AD，

∵AB＝BC，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，

∴AD＝CD，AP＝PC.

在△APD与△CPD中，

∵

∴△APD≌△CPD，

∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，

∴∠ADC＝2∠CDB.

又∵PQ＝PA，

∴PQ＝PC，∴∠PQC＝∠PCD＝∠PAD，

∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°

∴∠APQ＋∠ADC＝360°

－（∠PAD＋∠PQD）＝180°

∴∠ADC＝180°

－∠APQ＝180°

－2α，

∴2∠CDB＝180°

∴∠CDB＝90°

（3）∵∠CDB＝90°

－α，且PQ＝QD，

∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°

－2α.

∵点P不与点B，M重合，

∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，

∴2α＞180°

－2α＞α，

∴45°

＜α＜60°

5．解：

（1）∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.

∴∠CEF＝∠F.

∴CE＝CF.

（2）∠BDG＝45°

（3）如图，分别连接GB，GE，GC，

∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°

∴∠ECF＝∠ABC＝120°

∵FG∥CE且FG＝CE，

∴四边形CEGF是平行四边形．

由

（1）得CE＝CF.

∴四边形CEGF是菱形，

∴GE＝EC，①

∠GCF＝∠GCE＝∠ECF＝60°

∴△ECG与△FCG是等边三角形，

∴∠GEC＝∠FCG，

∴∠BEG＝∠DCG，②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，

在▱ABCD中，AB＝DC，

∴BE＝DC.③

由①②③得△BEG≌△DCG，

∴BG＝DG，∠1＝∠2，

∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°

∴∠BDG＝＝60°

北京专题训练

（1）补全图形，如图①所示．

（2）连接AD，如图①.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°

∵AB＝AC，∠BAC＝60°

，∴AD＝AC，∠DAC＝120°

∴2∠ACE＋120°

＝180°

.∴∠ACE＝30°

（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°

角的三角形．

连接AD，EB，如图②.

∵点D与点B关于直线AP对称，

∴AD＝AB，DE＝BE，

可证得∠EDA＝∠EBA.

∵AB＝AC，AB＝AD，

∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，

∴∠ABE＝∠ACE.

设AC，BE交于点F，

∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°

∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°

（1）①补全图形，如图（a）所示．

②如图（b），由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°

∵DF⊥BC，

∴∠FDB＝90°

∴∠ADF＝∠EDB.

∵∠C＝90°

，AC＝BC，

∴∠ABC＝∠DFB＝45°

∴DB＝DF.

∴△ADF≌△EDB.

∴AF＝EB.

在△ABC和△DFB中，

∵AC＝8，DF＝3，

∴AB＝8，BF＝3.

AF＝AB－BF＝5，

即BE＝5，

（2）BD＝BE＋AB.

（2）方法一：

连接BE，如图②.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC.

∵∠ADC＝120°

∴∠DCB＝60°

∵AC]是菱形ABCD的对角线，

∴∠DCA＝∠DCB＝30°

∴∠EDC＝180°

－∠DEC－∠DCA＝100°

由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°

，∠EBC＝∠EDC＝100°

∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°

∴∠GEB＝∠CBE.

∵∠FBC＝50°

∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°

∴∠EBG＝∠BEC.

在△GEB与△CBE中，

∴△GEB≌△CBE.

∴EG＝BC.

方法二：

连接BE，设BG与EC交于点H，如图②.

∵AC是菱形ABCD的对角线，

＝∠BEC.

∴BH＝EH.

在△GEH与△CBH中，

∴△GEH≌△CBH.

（3）AE＋BG＝EG.

（1）∠ADE＝90°

（2）①证明：

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB∥EF.

∴∠EDC＝∠ABC＝α.

由

（1）知∠ADE＝90°

－α，

∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°

∴AD⊥BC.

∵AB＝AC，

②证明：

∵AB＝AC，∠ABC＝α，

∴∠C＝α.

∴AE∥BF，AE＝BF.

∴∠EAC＝∠C＝α.

由

（1）知∠DAE＝180°

－2∠ADE＝180°

－2（90°

－α）＝2α，

∴∠DAC＝α.

∴∠DAC＝∠C.

∴AD＝CD.

∵AD＝AE＝BF，

∴BF＝CD.

∴BD＝CF.

（1）90　

（2）结论：

∠AHB＝90°

，＝.

如图，连接AD.

∴△ABC是等边三角形．

∵D为BC的中点，

∴∠1＋∠2＝90°

又∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°

∴∠2＋∠C＝90°

∴∠1＝∠C＝60°

设AB＝BC＝k（k>

0），

则CE＝CD＝，DE＝k.

∵F为DE的中点，

∴DF＝DE＝k，AD＝AB＝k.

∴＝，＝.

∴＝.

又∵∠1＝∠C，

∴△ADF∽△BCE.

∴＝＝，

∠3＝∠4.

又∵∠4＋∠5＝90°

，∠5＝∠6，

∴∠3＋∠6＝90°

∴∠AHB＝90°

（3）tan（90°

－）．

6．解：

（1）①作图．

△ADE（或△PDE）．

②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，

∴∠CPM＝∠CAB.

∵∠CPE＝∠CAB，

∴∠CPE＝∠CPN.∴∠CPE＝∠FPN.

∵PF⊥CG，∴∠PFC＝∠PFN＝90°

∵PF＝PF，∴△PFC≌△PFN.∴CF＝FN.

由①得：

△PME≌△CMN.

∴PE＝CN.∴＝＝.

（2）tanα.

7．解：

（1）①30°

②不改变，∠BDC的度数为30°

方法一：

由题意知AB＝AC＝AD.

∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．

∴∠BDC＝∠BAC＝30°

∵AC＝AD，∠CAD＝α，

∴∠ADC＝∠ABD＝＝90°

∵AB＝AD，∠BAD＝60°

＋α，

∴∠ADB＝∠ABD＝＝＝60°

∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝（90°

－α）－（60°

－α）＝30°

（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM.

∴∠AMC＝90°

在△AEB与△AMC中，

∴△AEB≌△AMC.

∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM.

∴∠EAM＝∠EAC＋∠CAM＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝60°

∴△AEM是等边三角形．

∴EM＝AM＝AE.

∵AC＝AD，AM⊥CD，

∴CM＝DM.

又∵∠DEC＝90°

∴EM＝CM＝DM.

∴AM＝CM＝DM.

∴点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上．

∴α＝∠CAD＝90°

8．解：

（1）CH＝AB

（2）结论成立．

如图，连接BE.

在正方形ABCD中，

AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°

∵DE＝DF，

∴AF＝CE.

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE.

∴∠1＝∠2.

∵EH⊥BF，∠BCE＝90°

∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．

∴∠3＝∠2.

∴∠3＝∠1.

∵∠3＋∠4＝90°

，∠1＋∠HBC＝90°

∴∠4＝∠HBC.

∴CH＝CB.

∴CH＝AB.

（3）3＋3.