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《概率论与数理统计》复习材料

集美大学诚毅学院201241073056编2014.06.02

一、随机事件 -3-

1、一些术语 -3-

2、事件间的关系 -3-

3、事件间的运算规律 -4-

4、易混淆的语句 -4-

5、例题 -4-

二、概率 -4-

1、高中基础之阶乘、排列、组合 -4-

2、概率与频率的区别 -5-

3、概率的性质 -5-

4、古典概型 -5-

5、加法法则、条件概率、乘法法则 -5-

6、一些公式 -5-

7、全概率定理与贝叶斯定理 -6-

8、独立试验概型 -6-

9、贝努里定理 -6-

10、例题 -6-

三、一元随机变量 -13-

1、表示方法：

、、、X、Y、Z -13-

2、“离散型随机变量”与非离散型随机变量中的“连续型随机变量” -13-

3、例题 -14-

四、二元随机变量 -17-

1、离散型与连续型 -17-

2、例题 -19-

五、随机变量的数字特征 -25-

1、数学期望（是确定的一个数，不是变量） -25-

2、方差 -25-

3、标准差 -26-

4、协方差 -26-

5、例题 -26-

六、几种重要的分布 -30-

1、离散型 -30-

2、连续型 -32-

3、例题 -33-

七、大数定律与中心极限定理 -39-

1、大数定律 -39-

2、中心极限定理 -39-

3、例题 -41-

八、样本分布 -45-

1、一些术语 -45-

2、样本平均数和样本方差的简算公式 -46-

3、几个常用统计量的分布 -46-

4、例题 -47-

九、参数估计 -49-

1、估计量 -49-

2、评价估计量好坏的三种最常用的标准 -49-

3、获得估计量的方法 -50-

4、例题 -52-

十、假设检验 -58-

1、一些术语 -58-

2、用置信区间的方法进行检验的基本思想（方便理解） -58-

3、两类错误 -58-

4、一个正态总体的假设检验 -58-

5、例题 -59-

一、随机事件

1、一些术语

基本事件

不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件

必然事件

符号为

不可能事件

符号为

样本空间

随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为

样本点

随机试验的每个可能结果，记为

2、事件间的关系

包含

用（事件A含于事件B）或（事件B包含事件A）表示

对于任何事件A，有

相等

用表示若且，则

并

（和）

用表示

即“A和B至少有一个发生”,“A发生或B发生”

交

（积）

用表示即“A发生且B发生”

差

用表示即“A发生且B不发生”

互斥事件

（互不相容事件）

用表示若，则称相容

对立事件

若且，则称互为对立事件,

记作

完备事件组

若事件为两两互不相容的事件，并且，则称构成一个完备事件组

3、事件间的运算规律

注：

可简写为

交换律

结合律

分配律

德·摩根律

（对偶律）

4、易混淆的语句

“都没有”与“没有都”。

买三次彩票,“三次都没中”与“没有三次都中”是不一样的

5、例题

PPT

利用事件关系和运算表达以下事件的关系：

（1）A,B,C都不发生；

（2）A,B,C

不都发生

【答案】

（1）（或）.

（2）（或）

PPT

在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书，用文字叙述下列事件：

①，②

【答案】

（1）抽取的是精装中文版数学书.

（2）精装书都是中文书

作业

一批产品有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设分别表示第1,2,3次抽到废品，

（1）请用文字叙述下列事件;

（2）中和为对立事件.

（3）请用的运算关系式表示下列事件：

第一次抽到合格品:

；

只有第一次抽到合格品；只有一次抽到合格品.

【答案】

（1）三次至少有一次抽到废品；三次都没有抽到废品；三次至少有一次抽到合格品.

（2）A和B.（3）;;

二、概率

1、高中基础之阶乘、排列、组合

阶乘

①N！

=1×2×…×N（N为正整数）②0!

排列（有序）

①②

组合（无序）

①②③

2、概率与频率的区别

频率

在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则称为事件A发生的频率

概率

在条件不变的情况下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动。

且一般说来，n越大，摆动幅度就越小，则称常数p为事件A的概率，记作

3、概率的性质

0≤P≤1，

注：

不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件；

必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。

4、古典概型

设试验中（有限个样本点），且，

则有

5、加法法则、条件概率、乘法法则

（1）加法法则：

当事件A、B互斥（即互不相容）时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（2）条件概率：

①（B是条件）（称作“A对B的条件概率”）

②（A是条件）（称作“B对A的条件概率”）

（3）乘法法则：

注：

将视为整体，可推出,

依此类推可得P（A1A2…An）=P（A1）·P（A2|A1）·P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）

6、一些公式

（1）概率的可列可加性：

若事件两两不相容，则

（2）完备事件组的概率：

（3）对立事件概率和为1：

P（A）+P（）=1，P（A）=1-P（）

（4）P（B-A）=P（B）-P（AB）（草稿画图）

（5）当AB（或BA）时，显然P（A）≤P（B），此时有P（B-A）=P（B）-P（A）

（6）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）（草稿画图）

（7）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）+P（ABC）-P（AB）-P（AC）-P（BC）

7、全概率定理与贝叶斯定理

（1）全概率定理（又称全概率公式）：

复杂事件概率没法直接计算，将其分解为若干

个较简单事件，再结合加法法则与乘法法则，计算出复杂事件的概率。

把这种思维

一般化，得到公式：

（2）贝叶斯定理（又称贝叶斯概率）：

若构成一个完备事件组，并且它

们都具有正概率，则对任何一个概率不为0的事件B，有

8、独立试验概型

（1）独立性：

若两事件A、B满足P（AB）=P（A）·P（B），则称A、B相互独立，简称

A、B独立

（2）若两事件A、B独立，则也相互独立

注：

非空事件独立必不互斥，互斥必不独立

9、贝努里定理

（1）独立试验序列概型:

在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型

（2）贝努里试验：

若某种试验只有两个结果，则称这个试验为贝努里试验

（3）n重贝努里试验：

n次独立重复的贝努里试验

（4）贝努里定理:

设一次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则n重贝努里试

验中，事件A恰好发生k次的概率

10、例题

作业

一个袋中有5个红球，3个黄球，2个白球，计算任取3个球恰为一红一黄一白的概率。

【答案】所求事件概率

作业

将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上，任取三张排成三位数,求这个数为奇数的概率。

【答案】个位数为奇数则为奇数，共有种排法.当这个数为奇数时，依次确定个、十、百位的数字，则个位数有种情况，十位数有种情况，百位数有种情况，所求事件概率P=.

作业

两封信随机投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率及第一个邮筒内恰有一封信的概率

【答案】设A为前两个邮筒内没有信，B为第一个邮筒内恰有一封信，则

，.

作业

已知则A与B恰有一个发生的概率为：

【答案】

作业

已知求A,B,C均不发生的概率.

【答案】

作业

设A,B为随机事件，求和.

【答案】，

（1）

（2）

作业

已知,在下列三种情况下求.

（1）,

（2）,

（3）.

【答案】

（1）

（2）

（3）.

作业

已知,，,则.

【答案】,,

作业

已知,

（1）当互不相容时，,;

（2）当相互独立时，,;

（3）当时，,.

【答案】

（1）画图可知0.7，0

（2）与相互独立，则与也相互独立，

，

（3）画图可知0.4，0.3

作业

某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时投资的概率为0.19，

（1）已知他已投入基金，则他再购买股票的概率是多少?

（2）已知他已购买股票，则他再投入基金的概率是多少？

【答案】设A为投入基金，B为购买股票，则

（1），即已知他已投入基金，则他再购买股票的概率是.

（2），即已知他已购买股票，则他再投入基金的概率是.

作业

人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.

【答案】设为利率下调,为利率不变,为股票价格上涨，则

，构成一个完备事件组，且都具有正概率.

由全概率定理可知，

即该支股票将上涨的概率为0.64

作业

设某一工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种螺丝钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺丝钉总产量的25%、35%、40%，每个车间成品中次品的螺丝钉占该车间生产量的百分比分别为5%、4%、2%，如果从全厂总产品中抽取一件产品，取得了次品，求它是乙车间生产的概率.

【答案】设、、分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品是次品，则

构成一个完备事件组，且都具有正概率.由贝叶斯定理可知，

即它是乙车间生产的概率约为4%

作业

箱中有可供使用的三种型号的手电筒,第一种型号的手电筒使用超过100小时的概率为0.7,

第二种型号的手电筒和第三种型号的手电筒的相应概率分别为0.4和0.3，假定箱中有20%第一种型号的手电筒、30%第二种型号的手电筒，50%第三种型号的手电筒，

（1）随机取出一个手电筒使用超过100小时的概率为多少？

（2）给定的手电筒使用超过100小时，则它是第种型号的手电筒的概率为多少？

【答案】设、、分别表示取出的手电筒为第一种、第二种、第三种型号，表示取出的手电筒使用超过100小时，则

构成一个完备事件组，且都具有正概率.

（1）由全概率定理可知，

即随机取出一个手电筒使用超过100小时的概率为0.41

（2）由贝叶斯定理可知，,,

即给定的手电筒使用超过100小时，则它是第种型号的手电筒的概率分别为、、.

作业

某宾馆大楼有4部电梯，通过调查知道在某时刻T各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

（1）在此刻至少有1台电梯在运行的概率；

（2）在此刻恰好有1半电梯在运行的概率；（3）在此刻所有电梯都在运行的概率.

【答案】这是一个4重贝努里试验，设表示这4部电梯在此刻恰有k部在运行的概率，则，

（1）

即在此刻至少有1台电梯在运行的概率约为0.996

（2）

即在此刻恰好有1半电梯在运行的概率约为0.211

（3）

即在此刻所有电梯都在运行的概率约为0.316

作业

假若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.

【答案】这是一个100重贝努里试验，设表示100人中恰有k人的血清含有肝炎病毒的概率，则,只有当k=0时此血清才不含有肝炎病毒,所以此血清中含有肝炎病毒的概率为：

PPT

将一枚硬币抛掷三次，

（1）设事件为“恰有一次出现正面”，求；

（2）设事件为“至少有一次出现正面”，求.

【答案】

（1）因为每次出现正面概率都是，每次出现反面概率都是，“恰有一次出现正面”即可能“正反反、反正反、反反正，”所以

（2）与“至少有一次出现正面”相反的是“出现的都是反面”，所以

PPT

【答案】

（1）有放回抽样：

（2）不放回抽样：

PPT

【答案】

PPT

【答案】

PPT

【答案】

PPT

【答案】

PPT

一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个白球3个红球，从中一次抽3个，求至少有两个是白球的概率.

【答案】设={抽到的3个球中有个是白球}（），显然与互不相容,且

根据加法法则，所求概率为

PPT

1/4，=1/8.

求A、B、C至少有一个发生的概率.

【答案】

PPT

10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记A={取到一等品}，B={取到正品}.求P（B），P（AB），P（A|B）.

【答案】P（B）=7/10，P（AB）＝P（A）=3/10，P（A|B）=P（AB）/P（B）=3/7.

PPT

给定甲乙两城市,设A={甲市下雨},B={乙市下雨}.已知

求

【答案】=1-P（B|A）=1-P（AB）/P（A）=1-0.12/0.2=0.4

注：

PPT

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？

【答案】设A={能活20年以上}，B={能活25年以上},所求为P（B|A）.依题意，P（A）=0.8,

P（B）=0.4=P（AB）.P（B|A）=P（AB）/P（A）=0.4/0.8=0.5即它能活到25岁以上的概率是0.5

PPT

设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，现在从中不放回地摸球三次，每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率.

【答案】设A=｛第一次未摸得白球｝，B=｛第二次未摸得白球｝，C=｛第三次摸得白球｝.则事件“第三次才摸得白球”可表示为ABC.P（A）=8/10,P（B|A）=7/9,P（C|AB）=2/8,

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）=7/45.即求第三次才摸得白球的概率为7/45

PPT

市场上供应的灯泡中，70％来自甲厂，30％来自乙厂，已知甲乙两厂产品的合格率分别是95％和80％。

（1）求市场上灯泡的次品率；

（2）假如现在从市场上抽出1个次品，试判断它是由甲厂生产的概率。

【答案】设分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为次品,则

，构成一个完备事件组，且都具有正概率.

（1）由全概率定理可知,

即市场上灯泡的次品率为0.095

（2）由贝叶斯定理可知，

即它是由甲厂生产的概率为.

PPT

某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?

【答案】设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，则表示“抽查的人不患癌症”.已知P（C）=0.005,P（）=0.995,P（A|C）=0.95,P（A|）=0.04

即此人是癌症患者的概率为0.1066

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}，问事件A、B是否独立？

【答案】由于P（A）=4/52,P（B）=26/52,P（AB）=2/52.可见P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B独立.（在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立）

下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.

解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有

，

，，

代入得P（W）≈0.782

三、一元随机变量

1、表示方法：

、、、X、Y、Z

2、“离散型随机变量”与非离散型随机变量中的“连续型随机变量”

一元离散型随机变量

一元连续型随机变量

概念

可以按一定次序把随机变量可能取的值一一列出的随机变量

不可以按一定次序把随机变量可能取的值一一列出的随机变量

分布律/概率密度函数

分布律

…

概率密度函数，记作

性质：

①≥0（判定一个函数f（x）是否为某随机变量X的概率密度的充要条件）②

③

（利用概率密度可确定随机点落在

某个区间内的概率）

④若在点x处连续，则有

分布函数

（共同点）

设X是一个随机变量，称为X的分布函数，记作.如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）的值就表示X落在区间内的概率.

注：

①X是随机变量,x是参变量.②F（x）是随机变量X取值不大于x的概率.③对任意实数，随机点落在区间内的概率为：

因此,只要知道了随机变量X的分布函数,它落在某区间内的概率就可以得到全面的描述.

分布函数性质：

①；②在上是一个不减函数,由此可推出）；③,；

④右连续，即（这四个性质是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件）

分布函数

（不同点）

①分布函数不连续

②F（x）最多有可列个间断点，并且在其间断点上是右连续的

①分布函数在R上连续

②连续型随机变量取任一指定实数值的概率均为0,即

即取值落在某区间的概率与端点

无关

3、例题

作业

已知离散型随机变量的可能取值为相应的概率依次为，

试求

（1）;

（2）概率

【答案】由概率的性质知，且，解得.

作业

设离散型随机变量的分布函数为，且，试确定常数，并求的分布律。

【答案】

由①②得.可得.,

，.

的分布律为：

-1

1/6

1/3

1/2

作业

设随机变量的概率密度为，求的分布函数。

【答案】

作业

设随机变量的概率密度函数为，

试求

（1）系数；

（2）的分布函数；（3）

【答案】

（1）

（3）

PPT

一批产品的废品率为3％，从中任意抽取一个进行检验，请用随机变量X来描述废品出现的情况，即写出X的分布律。

【答案】用X表示废品的个数，显然它服从0-1分布，其概率函数为P{X=0}=97%，

P{X=1}=3%，即X的分布律为

97%

PPT

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的分布律.

【答案】显然，X可能取的值是1,2,…，为计算P{X=k}，k=1,2,…，

，

可见所求所需射击发数X的分布律为：

PPT

设有函数，试说明F（x）能否是某个随机变量的分布函数.

【答案】函数F（x）在区间[]递减，不满足“不减函数”的性质，故F（x）不能是分布函数.

PPT

判断函数是不是随机变量的分布函数？

【答案】是，符合分布函数的性质。

PPT

在区间[4,10]上任意抛一个质点，用X表示这个质点与原点的距离，则X是一个随机变量。

若这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率与这个区间长度成正比，求X的分布函数。

【答案】X只可取[4,10]上的一切实数，故

故

PPT

设随机变量X具有的概率密度如下，

【答案】

（1）

（2）

（3）

PPT

设随机变量X的分布函数为

【答案】

PPT

设随机变量X的概率密度为

【答案】

四、二元随机变量

1、离散型与连续型

二元离散型随机变量

二元连续型随机变量

共同点

①是关于变量x和y的不减函数

②0≤≤1，且对任意固定的y∈R，，对任意固定的x∈R，，，

联合分布

边缘分布

条件分布

联合概率密度

边缘概率密度

边缘分布函数

（1）联合分布（律）

（也叫联合概率分布）

步骤：

①确定随机变量（X,Y）的所有取值数对。

②计算取每个数值对的概率。

③列出表格。

性质：

①

②

例如：

0.1

0.3

0.25

（2）边缘分布（律）

例如：

P（X=i）

0.1

0.3

0.5

0.25

0.5

P（X=j）

0.35

0.1

0.55

（3）条件分布

用条件概率公式计算

例如：

（1）联合概率密度

性质：

①≥0

②

也可以写成

（2）边缘概率密度

①二元随机变量中关于的

边缘概率密度：

②二元随机变量中关于的

边缘概率密度：

（3）边缘分布函数（对应边缘概率密度）

①

②

随机变量的

相互独立性

X和Y相互独立

分布律：

X→Y

概率密度：

X→Y

通过研究两个有联系的随机变量的关系，由已知的随机变量的分布律求出另一个随机变量的分布律，或由已知的随机变量的概率密度求出另一个随机变量的概率密度

2、例题

作业

设随机变量的联合分布如下表，则

（1）应满足;

（2）若互相独立,则应满足.

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