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问题3：

太阳光照人成影像的光线又有何特点？

一束平行光线．

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影与平行投影

投影

定义

特征

分类

中心投影

光由一点向外散射形成的投影

投影线交于一点

平行投影

在一束平行光线照射下形成的投影

投影线互相平行

正投影和斜投影

如梦似幻！

——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．

水立方的外观形状是什么？

长方体．

假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？

水立方的一个侧面．

若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？

水立方的一个表面．

问题4：

根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？

可以．

三视图

概念

规律

正视图

光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图

一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样

侧视图

光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图

俯视图

光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图

1．平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别

（1）中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．

（2）平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；

而中心投影则不同．

2．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．

3．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

[例1]　如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．

[思路点拨]　由平行投影的定义知投影线垂直于投影面，故确定四边形AGFE的四顶点在各个投影面的位置，把各投影点连线即可．

[精解详析]　

（1）四边形AGFE在下底面ABCD的投影中，AE重合为点A，F为CD中点，G为BC中点，故在下底面的投影为：

，即为a图，在上底面的投影与a图相同．

（2）四边形AGFE在正面ABB1A1的投影中，F点为A1B1中点，G为B1B中点，图形为

，即为c图，其在面DCC1D1内的投影与c图相同．

（3）四边形AGFE在侧面ADD1A1的投影中，F点与D1重合，G点在正方形ADD1A1的中心处即在AD1中点上，图形为

，即是b图，其在另一侧面BCC1B1内的投影与b图相同．

[答案]　abc

[一点通]　画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

1．以下关于投影的叙述不正确的是（　　）

A．手影就是一种投影

B．中心投影的投影线相交于点光源

C．斜投影的投影线不平行

D．正投影的投影线和投影面垂直

解析：

平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．

答案：

C

2.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为（　　）

N在面ADD1A1内的投影是AD中点，M在面ADD1A1内的投影是AA1中点．

A

[例2]　画出如右图所示的四棱锥的三视图．

[思路点拨]　画图时，要注意做到“长对正、高平齐、宽相等”．

[精解详析]　几何体的三视图如下：

[一点通]　画三视图的注意事项

（1）务必做到长对正，宽相等，高平齐．

（2）三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

3．观察下图所示的几何体：

该几何体的正视图为________；

侧视图为________；

俯视图为________．

（1）为正视图，

（2）为俯视图，（3）为侧视图．

（1）　（3）　

（2）

4．画出下图所示几何体的三视图．

解：

该几何体为三棱柱，三视图如下：

5．（2011·

江西高考）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.

D

[例3]　（10分）根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．

（1）

（2）

[思路点拨]　由三视图还原空间几何体主要考查学生的空间想象能力．要注意结合三种视图间的关系推测几何体的形状，再利用三种视图加以验证．

[精解详析]　

（1）由三视图可知，下面为棱柱、上方为正方体故表示物体的实物图形如图．

（6分）

（2）由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图

（10分）

[一点通]　由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．

6.（2011·

浙江高中数学会考）若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．圆柱　　　　　　B．圆台

C．圆锥D．棱台

由三种视图可分析，该几何体为圆台．

B

7．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体．

（1）对应________；

（2）对应________；

（3）对应________；

（4）对应________；

（5）对应________．

（1）对应D.　

（2）对应A.　（3）对应E.　（4）对应C.　（5）对应B.

D　A　E　C　B

1．对于同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

2．对于画简单组合体的三视图，要先弄清由哪几个基本几何体组合而成，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．

3．对于还原组合体，需要综合主视图、左视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是正确还原的关键．

1．如图所示物体的三视图是（　　）

俯视图应为两个实线同心圆．

2．如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（　　）

侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示．

3.（2011·

新课标全国高考）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（　　）

由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示．

由图可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线．

4．如图所示，在这4个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A．①②　　　　　　　　　B．①③

C．①④D．②④

①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形；

②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：

三角形、三角形、圆及圆心；

③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为：

梯形、梯形（两梯形不同）、三角形（内外两个三角形，且对应顶点相连）；

④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：

三角形、三角形、正方形及中心．

5．下图中三视图所表示几何体的名称为________．

由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面．

圆柱

6．（2011·

广州测试）如图所示，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________（填出所有可能的序号）．

在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.

①②③

7．说出图中的三视图表示的几何体，并画出它的示意图．

三视图表示的几何体是上面一个六棱柱与下面一个六棱锥的组合体．如右图所示．

8．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．

（1）判断该几何体是否为棱柱；

（2）画出它的三视图．

（1）是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．

（2）该几何体的三视图如图：