高二数学函数的极值与导数测试题文档格式.docx

高二数学函数的极值与导数测试题文档格式.docx

《高二数学函数的极值与导数测试题文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学函数的极值与导数测试题文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，

当－1<

x<

1时，y′>

0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，

当x>

1时，y′<

∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.

当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.

3．设x0为f（x）的极值点，则下列说法正确的是（　　）

A．必有f′（x0）＝0

B．f′（x0）不存在

C．f′（x0）＝0或f′（x0）不存在

D．f′（x0）存在但可能不为0

[解析]　如：

y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′（0）不存在．

4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．

5．对于函数f（x）＝x3－3x2，给出命题：

①f（x）是增函数，无极值；

②f（x）是减函数，无极值；

③f（x）的递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），递减区间为（0,2）；

④f（0）＝0是极大值，f

（2）＝－4是极小值．

其中正确的命题有（　　）

A．1个　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

[答案]　B

[解析]　f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），令f′（x）>

0，得x>

2或x<

0，令f′（x）<

0，得0<

2，∴①②错误．

6．函数f（x）＝x＋

的极值情况是（　　）

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值

B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；

当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；

当x＝1时，极小值为2

[解析]　f′（x）＝1－

，令f′（x）＝0，得x＝±

1，

函数f（x）在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递增，在（－1,0）和（0,1）上单调递减，

∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.

7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（　　）

A．1个B．2个

[答案]　A

[解析]　由f′（x）的图象可知，函数f（x）在区间（a，b）内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极小值点．

8．已知函数y＝x－ln（1＋x2），则函数y的极值情况是（　　）

A．有极小值

B．有极大值

C．既有极大值又有极小值

D．无极值

[解析]　∵y′＝1－

（x2＋1）′

＝1－

＝

令y′＝0得x＝1，当x>

0，

∴函数无极值，故应选D.

9．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则函数f（x）的极值是（　　）

A．极大值为

，极小值为0

B．极大值为0，极小值为

C．极大值为0，极小值为－

D．极大值为－

[解析]　由题意得，f

（1）＝0，∴p＋q＝1①

f′

（1）＝0，∴2p＋q＝3②

由①②得p＝2，q＝－1.

∴f（x）＝x3－2x2＋x，f′（x）＝3x2－4x＋1

＝（3x－1）（x－1），

令f′（x）＝0，得x＝

或x＝1，极大值f

，极小值f

（1）＝0.

10．下列函数中，x＝0是极值点的是（　　）

A．y＝－x3B．y＝cos2x

C．y＝tanx－xD．y＝

[解析]　y＝cos2x＝

，y′＝－sin2x，

x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，

∴x＝0是函数的极大值点．

二、填空题

11．函数y＝

的极大值为______，极小值为______．

[答案]　1－1

[解析]　y′＝

，

令y′>

0得－1<

1，令y′<

0得x>

1或x<

－1，

∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.

12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

[答案]　a＋4

　a－4

[解析]　y′＝3x2－6＝3（x＋

）（x－

），

或x<

－

令y′<

0，得－

<

∴当x＝－

时取极大值a＋4

当x＝

时取极小值a－4

.

13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.

[答案]　－3－9

[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f（x）＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．

[答案]　（－2,2）

[解析]　令f′（x）＝3x2－3＝0得x＝±

可得极大值为f（－1）＝2，极小值为f

（1）＝－2，

y＝f（x）的大致图象如图

观察图象得－2<

a<

2时恰有三个不同的公共点．

三、解答题

15．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x＋11.

（1）写出函数f（x）的递减区间；

（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值．

[解析]　f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3），

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3.

x变化时，f′（x）的符号变化情况及f（x）的增减性如下表所示：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,3）

3

（3，＋∞）

f′（x）

＋

f（x）

增

极大值

f（－1）

减

极小值

f（3）

（1）由表可得函数的递减区间为（－1,3）；

（2）由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f（－1）＝16；

当x＝3时，函数有极小值为f（3）＝－16.

16．设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f

（1）＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析]　f′（x）＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝±

1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′（x）＝0的根，即有

又f

（1）＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f（x）＝

x3－

x.

∴f′（x）＝

x2－

令f′（x）＝0，得x＝±

1.

当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

（－1,1）

1

（1，＋∞）

极大

值1

极小

值－1

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；

当x＝1时，函数有极小值－1.

17．已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝±

1处取得极值．

（1）讨论f

（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；

（2）过点A（0,16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．

[解析]　

（1）f′（x）＝3ax2＋2bx－3，依题意，

f′

（1）＝f′（－1）＝0，即

解得a＝1，b＝0.

∴f（x）＝x3－3x，

f′（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）．

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝1.

若x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），则f′（x）＞0，故

f（x）在（－∞，－1）上是增函数，

f（x）在（1，＋∞）上是增函数．

若x∈（－1,1），则f′（x）＜0，故

f（x）在（－1,1）上是减函数．

∴f（－1）＝2是极大值；

f

（1）＝－2是极小值．

（2）曲线方程为y＝x3－3x.点A（0,16）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x

－3x0.

∵f′（x0）＝3（x

－1），故切线的方程为

y－y0＝3（x

－1）（x－x0）．

注意到点A（0,16）在切线上，有

16－（x

－3x0）＝3（x

－1）（0－x0）．

化简得x

＝－8，解得x0＝－2.

∴切点为M（－2，－2），

切线方程为9x－y＋16＝0.

18．（2018·

北京文，18）设函数f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d（a>

0），且方程f′（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.

（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求a的取值范围．

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d得f′（x）＝ax2＋2bx＋c

∵f′（x）－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

（1）当a＝3时，由（*）式得

解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f（x）过原点，∴d＝0.

故f（x）＝x3－3x2＋12x.

（2）由于a>

0，所以“f（x）＝

x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立”

由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵Δ＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）

解

得a∈[1,9]，

即a的取值范围[1,9]．