三角恒等变换和解三角形题型总结有参考答案Word格式.docx
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，那么cos2
的值为____（答：
7
）；
5
25
（4）
的值是______（答：
4）；
sin10
sin80
（5）已知tan1100
a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是a
3，乙求得的结
3a
果是
1a
2a
，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：
甲、乙都对）
2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
一角二名三结构。
即首先观察角与
角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；
第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换.
如
（
）
，2
）（
），
2（
，
等），
如
（1）已知tan（
，tan（
，那么tan（
）的值是_____（答：
3）；
4
22
（2）已知0
，且cos（
，sin（
）的
9
，求cos（
值（答：
490
（3）已知,
为锐角，sin
x,cos
y，cos（
，则y与
729
x的函数关系为______（答：
y
31
x2
4x（3
x
1）
（2）三角函数名互化（切化弦），
2010级高三数学第1页
如
（1）求值sin50（1
3tan10）（答：
1）；
（2）已知sin
1,tan（
2，求tan（
2）的值（答：
8
（3）公式变形使用（tan
1tantan
。
如
（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB
1，则cos（A
B）＝_____
（2）设
ABC中，tanA
3tanAtanB，sinAcosA
，则此
三角形是____三角形（答：
等边）
（4）三角函数次数的降升（降幂公式：
，sin2
1cos2
与升幂公式：
，1
2sin2
）。
如
（1）若
（,
），化简
为_____（答：
（2）函数f（x）
5sinxcosx
53cosx
3（x
R）的单调递增区间为
[k
k
5]（kZ））
（5）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。
如
（1）tan（cossin）
（2）求证：
2；
（3）化简：
cot
csc
2sin
2cos4x
2cos2x
2（答：
cos2x）
2tan（
x）sin
x）
（6）常值变换主要指“1”的变换（1sin2x
cos2x
sec2
xtan2x
tanx
cotx
tan4
等），如已知
，求
3cos
3）.
（7）正余弦“三兄妹—sinxcosx、sinxcosx”的内存联系――“知一求二”，如
（1）若
sinx
cosx
t，则sinxcosx
t2
），特别提醒：
这里t
[
2,
2]；
（2）
__（答：
若
（0,
）,sin
1，求tan
的值。
7）；
（3）已知
k（
），试用k表示sin
的值（答：
k）。
3、辅助角公式中辅助角的确定：
asinx
bcosx
a2
b2
（其中
角所在的象
限由a,
b的符号确定，
角的值由tan
b
确定）在求最值、化简时起着重要作用。
如
（1）若方
a
程sinx
3cosx
c有实数解，则c的取值范围是___________（.答：
[－2,2]）；
（2）当函数
2010级高三数学第2页
2cosx
3sinx取得最大值时，tanx的值是______（答：
（3）如果
f
2cos（x
）是奇函数，则tan
=（答：
－2）；
（4
）求值：
64sin220________答（：
32）
sin220
cos220
4、求角的方法：
先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有
二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性；
二是根据条件易求出此三角函数值）。
），且tan
、tan
是方程x2
5x6
0的两根，则求
的值______（答：
（2）ABC中，3sinA
4cosB
6,4sin
B3cos
A1，则
C＝_______（答：
（3）若0
且sin
0，cos
cos0，
求
）.
5、.
三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：
三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是
锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
（2）正弦定理：
c
R
为三角形外接圆的半径）.注意：
①正弦定理的
sinA
sinBsinC
b,sinC
一些变式：
i
sinBsinC；
ii
sinB
2R
2RsinA,b
2RsinB,b
2RsinC；
②已知三角形两边一对角，求解三角形
；
iii
时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
（3）余弦定理：
c2
2bccosA,cosA
等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状.
2bc
面积公式：
为三角形内切圆半径）.如
S
2aha
2absinC
2r（ab
c）
r
ABC中，若sin2
Acos2B
cos2Asin2
Bsin2C，判断
ABC的形状（答：
直角三角
形）。
特别提醒：
（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
ABC这个特殊性：
A
C,sin（A
AB
（2）求解三角形中含有边角混合关系
B）sinC,sin
a、b
的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
如（）ABC
中，、的对边分别是
且A=60
a
6,b
4，那么满足条件的ABC
A、有一个解
B、有两个解
C、无解
D、不能确定（答：
（2）在ABC中，A＞B是sinA
sinB成立的_____条件（答：
充要）；
（3）在
ABC
中，
（1
tanA）（1
tanB）2
，则
log
2sinC
＝
在
中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若（a
bc）（sinAsinB
sinC）
3asinB，则
（5）在
中，若其面积
____
60
C=____
30）；
（6）在
ABC中，A60
b1，这个三角形的面积为
3，则ABC外接圆的直径
2010级高三数学第3页
是_______（答：
239）；
（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
C=，b2
3,cosA
则cos2
c2的最大值为
;
（8）在△
中
AB=1
，则角
的取值范围是
0C
（）设
O
是锐角三角形
BC=2
6
的外心，若C
75，且
AOB,BOC,
COA的面积满足关系式
SAOB
SBOC
3SCOA，求A（答：
45）．
两角和与差的三角函数
（2009年11月20日）
例1．求［2sin50°
+sin10（1+°
3tan10°
）］·
2sin280
的值.
解：
原式=2sin50
3sin10
2sin80
cos10
=（2sin50
3sin10）
1cos10
=
2sin50
2sin10
2cos10
2sin10sin40
=2sin60
22sin60
6.
变式训练1：
（1）已知
∈（
），sin
则tan（
）等于（
B.7
C.－
D.－7
A.
（2）sin163sin223°
+sin253°
sin313°
等°
于
A.－1
B.
D.
（1）A
（2）B
例2.已知α（
，3），β（0，）,cos（α－
）＝3
，sin（3
＋β）＝5
13
∵α－
＋3
＋β＝α＋β＋
α∈（
β∈（0,
sinx1）
）
∴α－
∈（0,
β＋3∈（3
π）
，求sin（αβ）＋的值．
2010级高三数学第4页
∴sin（－α
）＝4
cos（3
）＝－12
∴sin（＋αβ）＝－cos[＋（α＋β）]
＝－cos[（－α
）＋（3
）]＝56
65
变式训练2：
设cos（
－
）=－1
－β）=2
，且π＜
＜π，0＜β＜π，
求cos（+β）.
∵π＜
＜π，0＜β＜π，∴π＜α－＜π，－π＜
－β＜π.
故由cos（
－）=－1，得sin（α－
）=4
5.
由sin（
，得cos（
－β）=
5.∴cos
=cos［（
）－（－β）］
=cos（
）cos（
）sin（
）=
∴cos（
+β）=2cos
－1=2
27
239
-1=－.
例3.若sinA=5,sinB=10,且A,B均为钝角,求A+B的值.
510
解∵A、B均为钝角且sinA=5
sinB=
10，
10
∴cosA=-
1sin2A=-
=-25，
cosB=-1
sin2B=-3
=-310，
1010
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
25×
310-5×
10=
①
又∵
＜A＜
＜B＜
∴
＜A+B＜2
②
由①②知，A+B=7
.
2AC
变式训练3：
在△ABC中，角A、B、C满足4sin
--cos2B=,求角B的度数.
解
在△ABC中，A+B+C=180°
由4sin2AC-cos2B=7,
22
2010级高三数学第5页
得
1cos（AC）
4·
-2cosB+1=
所以4cosB-4cosB+1=0.
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