北京市海淀区清华附中学年八年级上期中数学试题解析版Word文档格式.docx

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A.12xy2＝3xy•4yB.（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3

C.x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D.x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

根据因式分解的定义：

就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．

【详解】A选项：

不是因式分解，故是错误的；

B选项：

结果不是乘积形式，故是错误的；

C选项：

D选项：

乘积形式，故是正解的；

故选D.

【点睛】考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．

6.用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A.4cmB.6cmC.4cm或6cmD.4cm或8cm

试题分析：

分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．

4cm是腰长时，底边为16-4×

2=8，

∵4+4=8，

∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；

4cm是底边时，腰长为

×

（16-4）=6cm，

4cm、6cm、6cm能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为6cm．

B．

考点:

1.等腰三角形的性质；

2.三角形三边关系.

7.若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　）

A.3B.6C.9D.12

∵a+b=3，

∴a2-b2+6b=（a+b）（a-b）+6b=3（a-b）+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3（a+b）=9，

故选C.

8.已知如图：

△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（　　）

A.2∠AB.90°

﹣2∠AC.90°

﹣∠AD.90°

﹣

∠A

由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°

与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．

【详解】∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵BD＝CF，BE＝CD

∴△BDE≌△CFD，

∴∠BDE＝∠CFD，

∠EDF＝180°

﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°

﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°

﹣（180°

﹣∠C）＝∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°

．

∴∠A+2∠EDF＝180°

，

∴∠EDF＝90°

∠A．

D．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握是解题关键．

二.填空题侮题3分共24分

9.计算（﹣3a2b）3的结果是_____．

【答案】﹣27a6b3

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；

幂的乘方，底数不变指数相乘，求解即可．

【详解】

（﹣3a2b）3，

＝（﹣3）3×

（a2）3×

b3，

＝﹣27×

a6×

＝﹣27a6b3．

故答案为：

﹣27a6b3．

【点睛】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算方法是解题的关键．

10.在边长为1的正方形网格中，如图所示，△ABC中，AB＝AC，若点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为_____．

【答案】

（3，-1）.

分析：

根据图形和点A、B的坐标画出符合题意的坐标系，根据所画坐标系结合已知条件即可求得点C的坐标.

详解：

如下图，由点A、B的坐标分别为（0，-2），（1，1），建立如图所示的坐标系，

由图可得：

点C的坐标为（3，-1）.

（3，-1）.

点睛：

“根据点A、B的坐标分别为（0，-2），（1，1），建立如图所示的坐标系”是正确解答本题的关键.

11.若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为_____．

或

根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．

【详解】依题意，得

（m+1）x=±

2×

3x，

解得（m+1）=±

6．

所以m=5或－7.

【点睛】考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点（第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍）是解题的关键．

12.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为_____．

【答案】10

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，

∵MN//BC，

∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，

∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，

∴MO=MB，ON=NC，

∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，

10.

13.如果（2x+m）（x﹣5）展开后的结果中不含x的一次项，那么m＝_____．

（2x+m）（x−5）=2x2−10x+mx−5m=2x2+（m−10）x−5m，

∵结果中不含有x的一次项，

∴m−10=0，即m=10.

10

本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程的应用，等得出关于m的方程是解决此题的关键.应用法则时注意：

相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

14.如图，若∠A＝15°

，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于_____．

【答案】60°

试题解析：

∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°

∴∠BCA=∠A=15°

∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°

+15°

=30°

∴∠BCD=180°

-（∠CBD+∠BDC）=180°

-60°

=120°

∴∠ECD=∠CED=180°

-∠BCD-∠BCA=180°

-120°

-15°

=45°

∴∠CDE=180°

-（∠ECD+∠CED）=180°

-90°

=90°

∴∠EDF=∠EFD=180°

-∠CDE-∠BDC=180°

-30°

=60°

∴∠DEF=180°

-（∠EDF+∠EFD）=180°

三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°

这一隐含的条件．

15.设x﹣

＝1，则x2+

＝_____．

【答案】3

把x2+

配方，根据x﹣

＝1，可以求得x2+

的值，本题得以解决．

【详解】∵x﹣

＝1，

∴x2+

＝（x﹣

）2+2＝12+2＝1+2＝3，

3．

【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是可以将所求式子与已知式子建立关系．

16.如图，∠AOB＝30°

，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为_____．

【答案】8

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．

【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N．连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°

，∴△OP1P2是等边三角形．

△PMN的周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．

8．

【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．

三、解答题（共52分）

17.计算：

（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷

3x2y

（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+

）2

（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）

（1）

x2+2xy﹣

y2；

（2）﹣6﹣

；

（3）x2+4xy+4y2﹣9．

（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式及完全平方公式化简即可求出值．

【详解】解：

（1）原式＝

（2）原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣

＝﹣6﹣

（3）原式＝（x+2y）2﹣9＝x2+4xy+4y2﹣9．

【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.因式分解：

（1）x2﹣5x﹣6

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

（3）y2﹣x2+6x﹣9

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

（1）（x﹣6）（x+1）；

（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；

（3）（y+x﹣3）（y﹣x+3）；

（4）（a+2b）2（a﹣2b）2．

（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；

（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可；

（3）直接将后三项分组进而利用公式法分解因式即可；

（4）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．

（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；

＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）

＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；

＝y2﹣（x2﹣6x+9）

＝y2﹣（x﹣3）2

＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）；

＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）

＝（a+2b）2（a﹣2b）2．

【点睛】此题主要考查了公式法以及分组分解法和十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键，因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止.

19.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°

，∠B＝50°

，求∠DEC的度数．

【答案】∠DEC=115°

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°

，进而得到∠BAC=80°

，由∠BAD=55°

，得到∠DAE=25°

，由DE⊥AD，进而求出结论．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠B=50°

∴∠C=50°

∴∠BAC=180°

﹣50°

=80°

∵∠BAD=55°

∴∠DAE=25°

∵DE⊥AD，

∴∠ADE=90°

∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．

20.已知x+y＝8，xy＝12，求：

①x2y+xy2；

②x2﹣xy+y2；

③x﹣y的值．

【答案】①96；

②28；

③±

4.

①原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；

②原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值；

③原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．

①∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝xy（x+y）＝96；

②∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣36＝28；

③（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣48＝16，

∴x﹣y＝±

4．

【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21.已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7的值．

【答案】4.

在x2+x﹣1＝0的两边同时乘以2x，得到2x3﹣2x＝﹣2x2，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．

由x2+x﹣1＝0得到：

2x3+2x2﹣2x＝0，x2+x＝1，

∴2x3﹣2x＝﹣2x2，

∴2x3﹣x2﹣5x+7

＝2x3﹣2x﹣3x﹣x2+7

＝﹣2x2﹣3x﹣x2+7

＝﹣3（x2+x）+7

＝﹣3×

1+7

＝4．

即2x3﹣x2﹣5x+7＝4．

【点睛】本题考查了整体代入法求代数式的值，等式的性质及单项式与多项式的乘法运算，难度不大，难点在于对已知等式进行变形处理．

22.如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60°

，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

（1）证明峥解析；

（2）OE=4EF.

（1）先证△ODE≌△OCE，得出△DOC是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一得出OE是CD的垂直平分线；

（2）分别求出∠AOE=30°

，∠EDF=30°

，根据直角三角形中，30°

所对的直角边等于斜边的一半求解.

解：

（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，又∵OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

又∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°

∴∠AOE=∠BOE=30°

∵ED⊥OA，CD⊥OE，

∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°

∴∠EDF=30°

∴DE=2EF，

∴OE=4EF.

23.如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

（1）图形见解析

（2）∠BDC=60°

-α（3）PB=PC+2PE

（1）按题意补全图形即可；

（2）由点A与点D关于CN对称可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等边△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°

+2α，从而可得；

（3）PB=PC+2PE．在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，通过推导可证明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的对应边相等即可得.

（1）如图所示；

（2）∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA=CD，

∵

∴∠ACD=2

∵等边△ABC，

∴CA=CB=CD，∠ACB=60°

，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°

+

∴∠BDC=∠DBC=

（180°

∠BCD）=60°

（3）结论：

PB=PC+2PE．

本题证法不唯一，如：

在PB上截取PF使PF=PC，连接CF．

∵CA=CD，∠ACD=

∴∠CDA=∠CAD=90°

∵∠BDC=60°

∴∠PDE=∠CDA

∠BDC=30°

∴PD=2PE．

∵∠CPF=∠DPE=90°

∠PDE=60°

∴△CPF是等边三角形．

∴∠CPF=∠CFP=60°

∴∠BFC=∠DPC=120°

∴在△BFC和△DPC中，

∴△BFC≌△DPC．

∴BF=PD=2PE．

∴PB=PF+BF=PC+2PE．

24.阅读以下材料：

利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：

“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和”

设a，b，c，d为有理数，则

（a2+b2）（c2+d2）

＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）

＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2

请你解决以下问题

（1）填空：

（a2+b2）（c2+d2）＝（ac﹣bd）2+（　　）2

（2）根据阅读材料，

130＝13×

10＝（22+32）（12+32）＝（2×

1+3×

3）2+（2×

3﹣3×

1）2＝112+32

仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和

（3）将20182018表示成两个正整数的平方和（直接写出一种答案即可）．

（1）ad+bc；

（2）650＝112+232；

（3）20182018＝43132+12572．

（1）根据材料可得结论；

（2）（3）根据

（2）中材料的形式多次计算可得结论．

（1）设a，b，c，d为有理数，则

＝（a2c2﹣2abcd+b2d2）+（a2d2+2abcd+b2c2）

＝（ac﹣bd）2+（ad+bc）2

ad+bc；

（2）650＝65×

10＝（64+1）（1+9）＝（82+12）（12+32）＝（8×

1+1×

3）2+（8×

3﹣1×

1）2＝112+232；

（3）20282018＝2018×

10001

＝（432+132）（1002+12）＝（43×

100+1×

13）2+（43×

1﹣13×

100）2

＝43132+12572．

【点睛】本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．

四、附加题（1-3每小题3分，第4题5分，第5题6分共20分

25.若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2＝　　．

【答案】5

设x2+y2＝z，则原方程左边变为：

z（z﹣4）＝5，解方程可得z的值即可．

z（z﹣4）＝5，

整理得，z2﹣4z﹣5＝0，

∴（z﹣5）（z+1）＝0，

解得z＝5或z＝﹣1，

∵x2+y2＝z≥0，

∴x2+y2＝5，

故答案为5．

【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

26.等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°

，则顶角的度数为　　．

【答案】100°

或80°

分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．

①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：

AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°

，∠EHD＝80°

∴∠BAC＝∠EAD＝360°

﹣90°

﹣80°

＝100°

②当∠A是锐角时，由题意：

AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°

，∠CHE＝80°

∴∠DHE＝100°

∴∠A＝360°

﹣100°

＝80°

故答案为100°

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

27.（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1＝　　．

【答案】9×

216-8

原式补上一个因式（2﹣1），利用平方差公式计算即可求出值．

原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（22﹣1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（24﹣1）（23+1）（24+1）（28+1）+1

＝（28﹣1）（23+1）（28+1）+1

＝（216﹣1）（23+1）+1

＝9×

216﹣8，

9×

216﹣8.

【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

28.已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，请你探究a，b，c之间满足的等量关系，并说明理由．

【答案】a+c﹣3b＝0．

由完全平方公式和平方差公式可得（a+2b+c﹣5b）（a+2b﹣c+5b）＝0，即可求a，b，c之间满足的等量关系．

∵a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，

∴（a+2b）2﹣（c﹣5b）2＝0，

∴（a+2b+c﹣5b）（a+2b﹣c+5b）＝0，

∴（a+c﹣3b）（a+7b﹣c）＝0，

∵a+b＞c，

∴a+7b﹣c＞0，

∴a+c﹣3b＝0．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，平方差公式是本题的关键．

29.在等边△ABC外侧作直线AP，点B