八年级数学特殊的平行四边形冀教版知识精讲Word文档下载推荐.docx

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②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线；

④菱形的周长等于边长的4倍．

⑤菱形的面积等于对角线乘积的一半．

（3）菱形的识别：

①四条边都相等的四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

3.菱形与矩形的区别与联系：

菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等，这一点一般平行四边形不具有，对角相等这一特征一般平行四边形也具有；

而矩形是在内角上有不同于一般平行四边形的特征，即四个角都是直角．另外菱形具有的而一般平行四边形不具有的还有对角线互相垂直，矩形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上的相同之处是都具有平行四边形所具有的性质．

4.正方形

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质．

①正方形各边的性质：

四条边相等，对边平行．

②正方形各角的性质：

四个角都是直角．

③正方形对角线的性质：

正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角．

④正方形的对称性：

正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

（3）正方形的识别：

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②对角线互相垂直的矩形是正方形；

③一个内角是直角的菱形是正方形；

④对角线相等的菱形是正方形；

⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；

⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

5.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

三.重点难点：

重点是掌握矩形、菱形、正方形的性质和识别方法；

难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．

【典型例题】

例1.如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°

，AB＝4cm．

（1）判定△AOB的形状；

（2）求对角线的长．

分析：

要判定△AOB的形状，由于∠AOB＝60°

，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：

OA＝OB，即△AOB是等边三角形．由“有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形”得出结论；

要求对角线的长可直接应用矩形的性质求出．

解：

（1）由于四边形ABCD是矩形，

所以对角线AC与BD互相平分且相等，即OA＝OB．又∠AOB＝60°

．

所以△AOB是等边三角形．

（2）OA＝AB＝4cm，DB＝CA＝2OA＝8cm．

因此对角线的长为8cm．

评析：

利用矩形的性质；

矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4个等腰直角三角形，然后再加以利用．

例2.如图所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，试说明BE＝CF．

BE和CF分别为Rt△BEO和Rt△CFO中的一边，可通过证三角形全等来证BE＝CF

因为四边形ABCD是矩形．

所以AC＝BD，所以BO＝CO．

因为BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．

所以∠BEO＝∠CFO＝90°

又因为∠BOE＝∠COF，

所以△BOE≌△COF．

所以BE＝CF．

矩形对角线相等且互相平分的性质，为证三角形全等提供了条件．

例3.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°

，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，试说明四边形AEFG是菱形．

由已知可知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

因为∠BAC＝90°

，EF⊥BC，∠1＝∠2，

所以AE＝EF，∠3＝∠4，

因为AD⊥BC，EF⊥BC，

所以EF∥AD，所以∠4＝∠5，

所以∠3＝∠5，所以AE＝AG．

所以EF∥AG且EF＝AG，

所以四边形AEFG是平行四边形．

又因为AE＝EF，

所以平行四边形AEFG是菱形．

在识别菱形时，容易犯忽视前提条件的错误，如对于四边形，已知一组邻边相等，或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形．事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下，才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形．若不具备这一前提，一定要先证明这个四边形是平行四边形．

例4.如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．试说明AE＝FG．

由EF⊥BC，EG⊥CD可得矩形EFCG，则FG＝EC，再证△ABE≌△CBE，得AE＝EC，即可得到AE＝FG．

连结EC，因为四边形ABCD是正方形，

EF⊥BC，EG⊥CD，

所以四边形EFCG为矩形．

所以FG＝CE．

因为BD是正方形ABCD的对角线．

所以∠ABE＝∠CBE．

又BE＝BE，AB＝CB，

所以△ABE≌△CBE．

所以AE＝EC，

所以AE＝FG．

用CE沟通AE和FG之间的联系．

例5.

（1）下列命题中正确的是（）

A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．两条对角线相等的四边形是矩形

C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

（2）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是__________（只填一个条件即可）．

（3）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°

，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________．（写出一种情况即可）

（1）这个问题可以这样考虑：

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A．

（2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？

有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是∠BAD＝90°

或AD⊥AB；

考虑对角线补充：

AC＝BD．（3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形．可添加的条件是∠A＝90°

或∠B＝90°

，AD＝BC，AB∥CD等．

（1）A

（2）∠BAD＝90°

（或AD⊥AB，AC＝BD等）（3）∠A＝90°

或AD＝BC或AB∥CD

例6.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求对角线AC的长；

（3）求菱形ABCD的面积．

本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解．

（1）连结BD，交AC于点O．

因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB．

因为E是AB的中点，且DE⊥AB，

所以AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，

所以∠ABC＝60°

×

2＝120°

（2）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC、BD互相垂直平分，

所以OB＝BD＝AB＝a．

所以OA＝＝＝a，

所以AC＝2AO＝a．

（3）S菱形ABCD＝AC·

BD＝·

a·

a＝a2．

菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形面积公式可得菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半．

【方法总结】

这部分内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大．相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是学习的难点．因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象．在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错、多用、少用条件的错误．学习中要注意分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，克服这一难点．

【模拟试题】

（答题时间：

60分钟）

一.选择题

1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角

2.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角线是否互相垂直D.测量其中三角是否都为直角

3.下列判断中正确的是（）

A.四边相等的四边形是正方形B.四角相等的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB＝CDB.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD

5.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）

6.已知：

如图所示，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

*7.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F为垂足，且E、F又分别是BC、CD的中点，则∠EAF的度数为（）

A.75°

B.60°

C.45°

D.30°

**8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；

②AE⊥BF；

③AO＝OE；

④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题

1.已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A∶∠ABC＝1∶2，则对角线BD的长等于__________cm．

2.正方形是特殊的平行四边形，请写出一条正方形具有而平行四边形不具有的性质：

__________．

3.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF＝3cm，则P点到AB的距离是__________cm．

4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOD＝120°

，AB＝2.5，则AC的长为__________．

5.如图，正方形ABCD中，AB＝1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________．

6.如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：

（1）AB∥CD；

（2）AB＝BC；

（3）AB⊥BC；

（4）AO＝OC．

其中正确的结论有__________（把你认为正确的结论的序号都填上）．

7.任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_______度时，就变成了矩形；

当它的一组邻边变到_______时，就变成了菱形；

当它的两条对角线变到______时，就变成了正方形．

8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是_____________．

三.解答题

1.已知：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．试说明四边形AFCE是菱形．

2.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：

OE＝OF．

*3.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．

（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：

AE＝FC+EF．

4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：

（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形．

*5.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

【试题答案】

1.C2.D3.D4.D5.D6.B7.B8.A

1.5

2.四边相等；

对角线相等；

对角线互相垂直等．

3.34.55.46.

（1）

（2）（4）

7.90，相等，互相垂直且相等

8.5（提示：

取CD的中点K，则点K和点N关于直线AC对称，PM＋PN的最小值即为KP＋PM的最小值，点K、P、M在同一直线上时，其和最小）

三.解答题

1.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥FC，∠DAC＝∠BCA．因为EF垂直平分AC，所以∠AOE＝∠COF＝90°

，AO＝CO，所以△AOE≌△COF．所以AE＝CF，所以四边形AFCE是平行四边形，又EF⊥AC，所以四边形AFCE是菱形．

2.在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝∠EOB＝90°

．又因为∠OCF＝∠OBE，所以△OCF≌△OBE，所以OE＝OF．

3.

（1）ΔAED≌ΔDFC．因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝DC，∠ADC＝90°

．又因为AE⊥DG，CF∥AE，所以∠AED＝∠DFC＝90°

，所以∠EAD＋∠ADE＝∠FDC＋∠ADE＝90°

，所以∠EAD＝∠FDC．所以ΔAED≌ΔDFC（AAS）．

（2）因为ΔAED≌ΔDFC，所以AE＝DF，ED＝FC．因为DF＝DE＋EF，所以AE＝FC＋EF．

4.

（1）在平行四边形ABCD中，AB＝CD；

因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF=CE；

又AF＝DE．所以△ABF≌△DCE．

（2）由

（1）知∠B＝∠C，又因为AB∥CD，∠B＋∠C＝180°

，所以∠B＝90°

，所以平行四边形ABCD是矩形．

5.

（1）因为E、F分别是BC、AD的中点，所以BE＝DF．又因为AB＝CD，∠B＝∠D．所以△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为，所以菱形AECF的面积为2．