大一下高数下册知识点Word文档格式.docx
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f（\'
Xy,z）0
3、柱面：
的柱面
F（x,y）
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
z0
4、二次曲面
z2
b2
椭圆锥面：
2
y
2z2
1
椭球面：
22
c
z
旋转椭球面：
3）
单叶双曲面:
2c
双叶双曲面:
5）
椭圆抛物面:
6）
双曲抛物面
（马鞍面）
:
a2
y1b21
7）
椭圆柱面：
2a
8）
双曲柱面：
9）
抛物柱面：
（四）空间曲线及其方程
F（x,y,z）0
1、般方程：
G（x,y,z）0
x（t）
acost
2、参数方程：
y（t），如螺旋线：
asint
z（t）
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
H（x,y）0
F（x,y,z）0
G（x,y,z）0'
消去z，得到曲线在面xoy上的投影
（五）平面及其方程
1、
点法式方程:
A（xX。
）B（yyo）C（zZo）
2、
法向量：
n
（A,B,C），过点（Xo,yo,Zo）
般式方程:
Ax
ByCzD
截距式方程：
—
3、
两平面的夹角:
ni
（A1,B1,C1），n2
（A2，B2，C2），
cos
AA2
B1B2C1C2
Bi2Ci2,AfBf
C；
A|A?
B1B2C1C2
4、
i〃
△旦邑
A2B2C2
点Po（xo,yo,Z0）到平面Ax
By
CzD0的距离:
Ax。
By。
CzoD.A2B2C
（六）空间直线及其方程
A1x
B"
C1z
D1
A2x
B2y
C2z
D2
Xo
yyo
zz°
方程:
m
P
2、对称式（点向式）
方向向量：
S（m,n,p），过点（X。
y。
，z。
）
xx0mt
3、参数式方程：
yy。
nt
ZZopt
4、两直线的夹角:
Si（g,ni,Pi）,S2（m2,n2,P2）,
m1m2ngp1p2
222
p1\m2n2
P2
Li®
m1m2mn2
P1P20
m2
niPi
n2P2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin
AmBnCp
L//
AmBnCp0
ABC
L
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
（1）基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
zf（x,y），图形：
3、极限：
limf（x,y）A
（x,y）（X0,y°
4连续：
爲叽。
）"
"
）f（X0，y0）
5、偏导数：
fx（Xo,y。
limf（x。
X,y。
）f（x°
y。
x0x
fy（Xo,y°
lim込上
yo
y）f（x。
，y。
6、方向导数：
fff
——cos——COS其中,为丨的方向角。
ixy
7、梯度：
zf（x,y），则gradf（x°
）fx（x°
y°
）ify（xo,y°
）j
8全微分：
设zf（x,y），则dz-；
dx:
dy
xy
（二）性质
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
偏导数连续
闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则
zzuzvzzuzv
xuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（3）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
解方程组
fy
求出所有驻点，对于每一个驻点（X。
）,
Afxx（Xo
B
fxy（X°
）,Cfyy（x0,y°
①若AC
B2
A0，函数有极小值，
若AC
A0，函数有极大值；
②若AC
0,
函数没有极值；
③若AC
不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）0下的极值
令：
L（x,y）f（x,y）（x,y）Lagrange函数
Lx0
解方程组Ly0
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
xx（t）
曲线：
yy（t），贝S上一点M（Xo,yo,z°
）（对应参数为to）处的
zz（t）
切线方程为:
xXox（to）y（to）
ZZo
Z（to）
法平面方程为：
X（to）（XXo）
y（to）（yy°
）z（t°
）（zz°
）o
2）曲面的切平面与法线
Fx（Xo，y°
Zo）（X
曲面：
F（x,y,z）o，贝q上一点M（x°
yo,zo）处的切平面方程为:
X。
）Fy（Xo,yo,Z0）（yy。
）Fz（x。
，y°
z））（zzo）0
法线方程为:
xXo
zZ°
，z））
Fy（Xo，yo，zo）
Fz（Xo，yo，zo）
第十章重积分
定义：
D
性质：
（6
几何意义
计算：
直角坐标
（x,y）
（一）二重积分
f（X,y）d
lim
o
曲顶柱体的体积。
i（x）
2（X）
f（x,y）dxdy
dx
i（y）
f（k,k）
k1
f（x,y）dy
l（X）
x2（y）yd，
极坐标
d2（y）
cdyI（y）f（X，y）dX
i（
2（）
df（cos,sin）d
1（）
f（x,y,z）dv
叫f（k,k,k）Vk
0k1
f（xyz）dv
dxdy
Z2（x,y）
f（xyz）dz
后—二
\，J5—4
/、■\6y丁J）j〜
Z1（x,y）
先
f（x,y,z）dv
dz
f（x,y,7）dxdy
“先「
二后一
\7J1>
aDz
\JJJ/J
柱面坐标
f（x,y,z）dvf（cos,sin
z）dd
球面坐标
rsin
重积分
一\二
zrcos
f（x,y,z）dv
f（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
（三）应用
曲面S:
zf（x,y）,（x,y）D的面积:
A屮（：
）2（y）2dxdy
第十
早曲线积分与曲面积分
（-
'
）对弧长的曲线积分
Lf（x,y）dsli叫
f（i,i）s
i1
L[f（x,y）（x,y）]ds
Lf（x,y）ds
Lg（x,y）ds.
f（x,y）dslf（x,y）ds
LL1
f（x,y）ds.（L
L2
JL2）.
3）在L上，若f（x,y）g（x,y），则Lf（x,y）dsLg（x,y）ds.
4）Ldsl（l为曲线弧L的长度）
3、计算：
x（t）,
设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为（t
y（t）,
其中（t）,（t）在[,]上具有一阶连续导数，且2（t）2（t）0，则
Lf（x,y）dsf[（t）,（t）]J2（t）2（t）dt,（）
（二）对坐标的曲线积分
1、定义：
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P（x,y）,Q（x,y）
在L上有界，定义LP（x,y）dxlim0P（k,QXk,
LQ（x,y）dy
0k
Q（k,k）yk.
向量形式：
LF
dr
LP（x,y）dxQ（x,y）dy
2、性质：
用L表示L的反向弧，
则lF（x,y）drlF（x,y）dr
3、计算:
设P（x,y）,Q（x,y）在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为
（t:
），其中
（t）,
（t）
在［
］上具有一
阶连续导数，且
2（t）2（t）
0，则
LP（x,y）dx
Q（x,y）dy
{P[
（t）]
（t）Q[（t）,
（t）]（t）}dt
4、两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为L:
z-X>
L上点（x,y）处的切向量的方向角为
cos（t）
2（t）2（t）'
/2（t）2（t）'
则lPdxQdyL（PcosQcos）ds.
（三）格林公式
1、格林公式：
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P（x,y）,Q（x,y）在
2、G为一个单连通区域，函数P（x,y）,Q（x,y）在G上具有连续一阶偏导数，则
Q
曲线积分PdxQdy在g内与路径无关
曲线积分？
PdxQdy0
P（x,y）dxQ（x,y）dy在G内为某一个函数u（x,y）的全微分
（四）
对面积的曲面积分
1、定义：
D上具有连续一阶偏导数，则有
-PdxQdy
设为光滑曲面，函数f（x,y,z）是定义在上的一个有界函数，
定义f（x,y,z）dSlimf（i,i,i）Si
0i1
2、计算：
“一单二投三代入”
zz（x,y），（x,y）Dxy，则
f（x,y,z）dSDf[x,y,z（x,y）]（1zx2（x,y）Zy2（x,y）dxdy
Dxy
（5）对坐标的曲面积分
1、预备知识：
曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、定义：
设为有向光滑曲面，函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）是定义在上的有界函数,
定义R（x,y,z）dxdylim。
R（i,i,J（SJxy
同理，P（x,y,z）dydzlim。
P（i,i,J（SJyz
Q（x,y,z）dzdxlim。
R（i,i,J（S）x
3、性质:
1）12，则
PdydzQdzdxRdxdy
PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy
12
2）表示与取相反侧的有向曲面，贝SRdxdyRdxdy
4、计算：
一一“一投二代三定号”
zz（x,y），（x,y）Dxy，zz（x,y）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R（x,y,z）在
上连续，则R（x,y,z）dxdyDR[x,y,z（x,y）]dxdy,为上侧取“+”，
为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系：
PcosQcosRcos
dS
其中，，为有向曲面在点（x,y,z）处的法向量的方向角。
（6）高斯公式
高斯公式：
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,
的方向取外侧，
函数P,Q,R在
上有连续的一阶偏导数，则有
Rdxdydz-Pdydzz
Qdzdx
Rdxdy
通量与散度
R.
dxdydz：
Pcosz
Qcos
Rcos
量：
向量场A（P,Q,R）通过曲
定侧的通量为：
PdydzQdzdx
Rdxdy
PQ
散度：
divA-
（7）斯托克斯公式
1、斯托克斯公式：
设光滑曲面的边界是分段光滑曲线，的侧与的正向
符合右手法则，P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在包含在内的一个空间域内具有连续
阶偏导数,
则有
dydz——dzdx——dxdy二PdxQdyRdzzxxy
为便于记忆
斯托克斯公式还可写作：
dydz
dzdx
dxdy
环流量与旋度
环流量：
向量场A
-PdxQdy
Rdz
（P,Q,R）沿着有向闭曲线
的环流量为门PdxQdyRdz
…RQPRQP
旋度：
rotA,,
yzzxxy
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1）无穷级数：
UnU1U2U3Un
部分和：
SnUkU1U2U3Un,
正项级数：
5,Un0
n1
交错级数：
（1）nUn,Un0
Un发散
2）级数收敛：
若limSnS存在，则称级数Un收敛，否则称级数
nn1n
3）条件收敛：
Un收敛，而|片|发散；
n1n1
绝对收敛：
|Un|收敛。
2、性质：
1）改变有限项不影响级数的收敛性；
2）级数a.，bn收敛，则（anS）收敛；
n1n1n1
3）级数an收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4）必要条件：
级数Un收敛limUn0.（注意：
不是充分条件！
n1n
3、审敛法
Un，Un0
1）定义：
limSnS存在；
2）Un收敛Sn有界；
3）比较审敛法：
Un，Vn为正项级数，且UnVn（n1,2,3,）
Un
若Vn收敛，则Un收敛；
若Un发散，则£
发散.
比较法的推论：
Un，
kVn，而Vn收敛，则
Vn发散，则Un发散.
比较法的极限形式:
Vn为正项级数，若存在正整数m，当nm时,
Un收敛；
若存在正整数m，当n
Un，
Vn为正项级数，若
limU
nV
m时,
l（0
kVn,
Vn收敛，则Un收敛；
若”m
1n1
Vn
0^或lim
Vn发散,
Un发
比值法：
Un为正项级数，设
lim山
nUn
1，则当
I1时，级数
Un收敛;
则当I1时，级数Un发散；
当I
1时，级数
Un可能收敛也可能发散.
根值法：
I，则当I1时，级数Un收敛；
则
1时，级数Un发散；
当I1时，级数
极限审敛法:
n1Un为正项级数，若limnUn
0或limnu
，则级数
发散；
若存在P
1，使得lim
npUnI（0
），则级数
Un收敛.
交错级数:
莱布尼茨审敛法:
（1）nUn
Un0满足：
Un1
Un（n1,2,3,
且nimUn0，则级数1
（1）nUn收敛。
任意项级数:
un绝对收敛，则Un收敛。
收敛，
q|1
常见典型级数：
几何级数：
aq
发散，
iq1
n0
p1
p-级数：
cp
n1【1
（二）函数项级数
函数项级数Un（X），收敛域，收敛半径，和函数;
2、幕级数：
anX
收敛半径的求法:
an1
an
，则收敛半径R0,
3、泰勒级数
f（X）牛xX0）
n0n!
f（n1）（）
nimRn（x）nimN（xx0）n10
展开步骤：
（直接展开法）
1）求出f（n）（x）,n1,2,3,；
2）求出円化），n0,1,2,；
（n）
3）写出
（Xo）
n!
（x
间接展开法：
（利用已知函数的展开式）
1nx,on!
sinx
1）n
112n
x（2n1）!
cosx
（2n）!
1x
x（1,1）；
nn
1）x,x
1,
ln（1
x）
1,1]
1x2
2n
1）x,
（1,1）
（1x）
m（m
（mn1）n!
x（1,1）
傅里叶级数
定义:
正交系：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个
函数的乘积在区间［
］上积分为零。
傅里叶级数：
f（x）a0（ancosnxbnsinnx）
2n1
anf（x）cosnxdx（n0,1,2,）
系数：
bhf（x）sinnxdx（n1,2,3,）
2）收敛定理：
（展开定理）
设f（x）是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷（Dirichlet）条件:
1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2）在一个周期内只有有限个极值点，
则f（x）的傅里叶级数收敛，且有
ao
ancosnx
f（x）,
bnsinnx
f（X）f（X）
傅里叶展开:
f（x）cosnxdx（n
X为连续点
x为间断点
1,2,）
①求出系数：
bn
f（x）sinnxdx（n
1,2,3,）
②写出傅里叶级数
f（x）
亚（ancosnx
bnsinnx）；
③根据收敛定理判定收敛性。
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