电磁感应中的杆+导轨类问题3大模型解题技巧Word格式文档下载.docx

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根据牛顿第二定律有mgsinθ－

＝ma

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsinθ，方向沿导轨平面向下

当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度vm＝

，方向沿导轨平面向下。

（2）杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q总＋

mvm2

又Q杆＝

Q总，所以Q杆＝

mgxsinθ－

。

【内化模型】

单杆+电阻+导轨四种题型剖析

题型一（v0≠0）

题型二（v0＝0）

题型三（v0＝0）

题型四（v0＝0）

说明

杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L

轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定

倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，两导轨间距为L

竖直轨道光滑，杆cd质量为m，两导轨间距为L

示意图

力学观点

杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝

，安培力F＝BIL＝

杆做减速运动：

v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止

开始时a＝

，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsinα－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

图像观点

能量观点

动能全部转化为内能：

Q＝

mv02

F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：

WF＝Q＋

重力做的功（或减少的重力势能）一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：

WG＝Q＋

【应用模型】

【变式】：

此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。

现用沿导轨平面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求cd的最大加速度和最大速度。

见解析

电源输出的电能转化为动能：

W电＝

F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：

WF＝

mv2＋EC

重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：

WG＝

例题2第（3）问变成，图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。

v＝

t

导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为：

E＝BLv

电容器所带电荷量为：

Q＝CE＝CBLv

再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为ΔU＝ΔE＝BLΔv

ΔQ＝CΔU＝CBLΔv

流过导体棒的电流：

I＝

＝

＝CBLa

导体棒受到的安培力：

f1＝BIL＝CB2L2a

导体棒所受到的摩擦力：

f2＝μmg

由牛顿第二定律得：

F－f1－f2＝ma

联立以上各式解得：

a＝

显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为：

t。

类型三：

双杆+导轨模型类

【例题3】

（1）如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。

在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。

（2）如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。

若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。

（1）金属杆甲运动产生感应电动势→回路中有感应电流→乙受安培力的作用做加速运动→可求出某时刻回路中的总感应电动势→由牛顿第二定律列式判断。

（2）导体棒ab运动，回路中有感应电流→分析两导体棒的受力情况→分析导体棒的运动情况，即可得出结论。

（1）设某时刻甲和乙的速度大小分别为v1和v2，加速度大小分别为a1和a2，受到的安培力大小均为F1，则感应电动势为：

E＝Bl（v1－v2）①

感应电流为：

②

对甲和乙分别由牛顿第二定律得：

F－F1＝ma1，F1＝ma2③

当v1－v2＝定值（非零），即系统以恒定的加速度运动时a1＝a2④

解得a1＝a2＝

⑤

可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。

（2）ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。

ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。

两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v水平向右做匀速运动。

三大观点透彻解读双杆模型

导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动

棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热

两棒以相同的加速度做匀加速直线运动

外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热

若例题3

（1）中甲、乙两金属杆受恒力作用情况如图所示，两杆分别在方向相反的恒力作用下运动（两杆不会相撞），试分析这种情况下甲、乙金属杆的收尾运动情况。

设某时刻甲和乙的速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，甲、乙受到的安培力大小均为F1，则感应电动势为：

②

对甲和乙分别应用牛顿第二定律得：

F1－BIl＝ma1，BIl－F2＝ma2③

解得：

a1＝a2＝

可见甲、乙两金属杆最终做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。

电磁感应中的“杆＋导轨”类问题（3大模型）解题技巧训练题

1．如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻。

一质量m＝0.1kg、电阻r＝0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4T。

棒在水平向右的外力作用下由静止开始以a＝2m/s2的加速度做匀加速运动，当棒的位移x＝9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1。

导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。

（1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；

（2）撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2；

（3）外力做的功WF。

2．（2017·

常州检测）如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d＝0.5m，左端接有容量C＝2000μF的电容。

质量m＝20g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。

整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2T。

现用一沿导轨方向向右的恒力F1＝0.44N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v＝5m/s。

此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。

求

（1）导体棒运动到B处时，电容C上的电量；

（2）t的大小；

（3）F2的大小。

3．如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨ab和cd相距L＝0.2m，另外两根水平金属杆MN和PQ的质量均为m＝10kg，可沿导轨无摩擦地滑动，MN杆和PQ杆的电阻均为R＝0.2Ω（竖直金属导轨电阻不计），PQ杆放置在水平绝缘平台上，整个装置处于垂直导轨平面向里的磁场中，g取10m/s2。

（1）若将PQ杆固定，让MN杆在竖直向上的恒定拉力F＝0.18N的作用下由静止开始向上运动，磁感应强度B0＝1.0T，杆MN的最大速度为多少？

（2）若将MN杆固定，MN和PQ的间距为d＝0.4m，现使磁感应强度从零开始以

＝0.5T/s的变化率均匀地增大，经过多长时间，杆PQ对地面的压力为零？

4．如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°

，两导轨之间相距为L＝1m，两导轨M、P间接入电阻R＝0.2Ω，导轨电阻不计。

在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度为B0＝1T，磁场的宽度x1＝1m，在cd连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度为B1＝0.5T。

一个质量为m＝1kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2Ω。

若将金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动。

金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时系统达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2＝8m。

（g取10m/s2）

（1）求金属棒从开始静止到在磁场Ⅱ中达到稳定状态这一过程中电阻R产生的热量；

（2）求金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ中达到稳定状态所经过的时间。

训练题参考答案

1．【答案】：

（1）4.5C；

（2）1.8J；

（3）5.4J。

（1）设金属棒做匀加速运动的时间为Δt，回路中磁通量的变化量为ΔΦ，回路中产生的平均感应电动势为

，则由法拉第电磁感应定律得

，其中ΔΦ＝Blx

设回路中的平均电流为

，则由闭合电路欧姆定律得

通过电阻R的电荷量q＝

Δt

联立以上各式，代入数据解得q＝4.5C。

（2）设撤去外力时棒的速度为v，在棒做匀加速运动的过程中，由运动学公式得v2＝2ax

设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做的功为W，由动能定理得W＝0－

mv2

撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2＝－W

代入数据解得Q2＝1.8J。

（3）由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，

可得Q1＝3.6J

在棒运动的整个过程中，由功能关系可知WF＝Q1＋Q2＝5.4J。

2．【答案】：

（1）1×

10－2C；

（2）0.25s；

（3）0.55N。

（1）当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为U＝Bdv＝2×

0.5×

5V＝5V

此时电容器的带电量q＝CU＝2000×

10－6×

5C＝1×

10－2C。

（2）棒在F1作用下有F1－BId＝ma1，

又I＝

，a1＝

联立解得：

a1＝

＝20m/s2

则t＝

＝0.25s。

（3）由

（2）可知棒在F2作用下，运动的加速度a2＝

，方向向左，

又

a1t2＝－

将相关数据代入解得F2＝0.55N。

3．【答案】：

（1）0.8m/s；

（2）10s。

（1）MN杆切割磁感线产生的感应电动势为E1＝B0Lv

由闭合电路欧姆定律，得I1＝

MN杆所受安培力大小为F安＝B0I1L

对MN杆应用牛顿第二定律，得F－mg－F安＝ma

当MN杆速度最大时，MN杆的加速度为零，联立解得，MN杆的最大速度为

vm＝

m/s＝0.8m/s。

（2）回路中的感应电动势为E2＝

由闭合电路欧姆定律得I2＝

t时刻的磁感应强度为B＝

PQ杆对地面的压力恰好为零时，由平衡条件，有mg＝BI2L

联立解得t＝

s＝10s。

4．【答案】：

（1）7.5J；

（2）3.1s。

（1）金属棒进入磁场Ⅰ区域匀速运动，则I＝

mgsin30°

＝B0IL

v1＝2m/s

金属棒在未进入磁场前做初速度为0的匀加速直线运动，则mgsin30°

a＝5m/s2

由运动学公式，有2ax0＝v12

x0＝0.4m

金属棒在通过磁场Ⅱ区域达到稳定状态时，重力沿斜轨道向下的分力与安培力相等。

I′＝

＝B1I′L

v2＝8m/s

金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ区域中达到稳定状态过程中，根据动能定理，有

mg（x0＋x1＋x2）sin30°

＋W安＝

mv22－0

产生的热量：

Q＝－W安＝15J

QR＝

Q＝7.5J。

（2）v1＝at1，t1＝0.4s，x1＝v1t2，t2＝0.5s

金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态前的过程中取任意微小过程，设这一微小过程的时间为Δti，速度为vi，速度的变化量为Δvi，则由牛顿第二定律，有：

－

＝m

Δti－

＝mΔvi

金属棒从进入磁场Ⅱ到在磁场Ⅱ中达到稳定状态的过程中，有：

∑Δti－

＝m∑Δvi

t3－

＝m（v2－v1）

t3＝2.2s

所以：

t＝t1＋t2＋t3＝3.1s。