平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题Word文件下载.docx

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∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（　　）

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（　　）

∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．

（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．

（1）求证：

∠BFA+∠BAC=180°

；

（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；

（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．

（1）若E是AB，CD一点．

①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．

②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．

（2）若E是AB，CD外一点．

①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．

②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：

∠GND的值．

17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若∠EAF=30°

，∠EDG=40°

，则∠AED=　　°

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：

∠BAI=1：

2，∠AED=22°

，∠I=20°

，求∠EKD的度数．

18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：

在平面，直线AB∥CD，E为平面一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．

（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：

图①中：

　　；

图②中：

　　，图③中：

　　．

（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：

如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°

，∠BPC的度数是　　．（直接写出结果，不用写计算过程）

19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．

（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

（2）如图2，当∠ADC=120°

时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；

（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．

20．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　　；

（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=　　．

21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．

∠MAG+∠PBG=90°

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；

（3）若直线AD的位置如图3所示，

（2）中的结论是否成立？

若成立，请证明；

若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

（1）如图①，求证：

∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：

∠BE2C=∠BEC；

（3）猜想：

若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？

（直接写出结论）．

23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：

∠BAN=2：

1．

（1）填空：

∠BAN=　　°

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°

，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；

若改变，请说明理由．

24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°

，∠DCP=20°

时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？

并说明理由．

25．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　　．

（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？

请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　　．

26．已知AM∥CN，点B为平面一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　　；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：

∠ABD=∠C；

（3）如图3，在

（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°

，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．

EM∥NG；

（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．

28．已知，∠AOB=90°

，点C在射线OA上，CD∥OE．

（1）如图1，若∠OCD=120°

，求∠BOE的度数；

（2）把“∠AOB=90°

”改为“∠AOB=120°

”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；

（3）在

（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

AB与CD的关系为　　，∠B与∠D的大小关系为　　

（2）如图2，若∠B=60°

，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在

（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=　　．

30．已知：

如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°

，试回答下列问题：

（1）如图①所示，求证：

OB∥AC．（注意证明过程要写依据）

（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．

（ⅰ）求∠EOC的度数；

（ⅱ）求∠OCB：

∠OFB的比值；

（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于　　．（在横线上填上答案即可）

31．数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．

推广延伸：

（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．

拓展应用：

（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为　　

A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°

﹣α﹣γ+βD.180°

+α+β﹣γ

②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°

，∠FGH=90°

，∠HMN=30°

，∠CNP=50°

，则∠GHM的大小是　　．

32．已知，直线AB∥CD

（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；

那么第

（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？

如果成立，请证明；

如果不成立，请写出你的猜想，并证明．

33．阅读下列材料并填空：

（1）探究：

平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？

我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面有5个点时，一共可以画　　条直线，…平面有n个点时，一共可以画　　条直线．

（2）迁移：

某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？

有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行　　场比赛，…那么有20个球队时，要进行　　场比赛．

34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？

（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是　　．（用α、β表示）

（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；

依此类推，则∠P5=　　．（用α、β表示）

35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：

∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：

∠CDI=2：

1，∠AED=20°

，∠I=30°

，求

∠EKD的度数．

36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．

（1）探究发现：

（填空）

填空：

如图1，过P作PQ∥AB，

∴∠A+∠1=　　°

（　　）

∵AB∥CD（已知）

∴PQ∥CD（　　）

∴∠C+∠2=180°

结论：

∠A+∠C+∠APC=　　°

（2）解决问题：

①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；

②如图3，若∠APC=100°

，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为　　（直接写出结果）．

37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：

射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2．

（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°

，则∠2=　　°

，∠3=　　°

．

（2）在

（1）中m∥n，若∠1=55°

，则∠3=　　°

若∠1=40°

（3）由

（1）、

（2），请你猜想：

当两平面镜a、b的夹角∠3=　　°

时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？

（4）如图3，两面镜子的夹角为α°

（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°

（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．　　．

39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°

（1）如图1，若∠1=60°

，则∠2=　　度；

（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°

．则∠2=　　度；

（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．

40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面一点．

（1）如图1所示，求证：

∠ADB=∠B+∠BFE．

（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：

∠ADG=2：

1，∠B=20°

，∠DGF=30°

，求∠BHD的度数．

1.（﹣5，2）或（5，2）;

2.（1，3）或（5，1）

3.B;

4.（8，3），（5，0）;

5.（8052，0）

6.（2007，1）7.45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．

10.（﹣5，13）．11.（14，10）;

12.（32，3），（64，0）;

13.（﹣1009，1009）

参考答案与试题解析

1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为　（﹣5，2）或（5，2）　．

【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．

【解答】解：

∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，

∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．

∴y=2．

∵点N到y轴的距离为5，

∴|x|=5．

得，x=±

5．

∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．

故答案为：

（﹣5，2）或（5，2）．

【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为　（1，3）或（5，1）　．

【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．

①如图1，当A平移到点C时，

∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），

∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，

平移后的B坐标为（1，3），

②如图2，当B平移到点C时，

∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，

∴平移后的A坐标为（5，1），

（1，3）或（5，1）．

【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；

纵坐标上移加，下移减．

3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是　B　（填A、B、C、D或E）．

【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．

∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．

∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），

∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，

∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），

∴点B经过点（75，0）．

B．

【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．

4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　（8，3）　；

点P2014的坐标是　（5，0）　．

【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．

如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），

当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：

（8，3）；

∵2014÷

6=335…4，

∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，

点P的坐标为（5，0）．

（8，3），（5，0）．

【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．

5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　（8052，0）　．

【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．

∵点A（﹣3，0）、B（0，4），

∴AB==5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个