华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习.docx
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《解直角三角形》全章知识点
精讲与练习
【问题探索】
A
B
B1
B2
C
C1
C2
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：
成立吗？
（1）当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？
（2）上面等式的值随∠A的变化而变化吗？
【新课引入】
由前面的探索可以看出：
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。
1、在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA即：
同理：
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：
sinA＝________=________.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：
cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？
）试试看____________________.
思考：
你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？
并填写下表：
三角函数值
三角函数
θ
30°
45°
60°
sinθ
cosθ
tanθ
（根据一付三角板的三边关系进行计算）
【总结归纳】
1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；
2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。
【精选例题】
（一）锐角三角函数的概念
例1、
（1）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（）
A．8cmB．C.D.
（3）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BC=6cm，那么tan为（）
A．B．C．D.
解析：
（1）角A的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt△ABC各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。
故选A；
（2）画直角三角形草图，根据cosA=可知，，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。
故选A；
（3）画菱形ABCD，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan=。
故选A。
前思后想：
解答锐角三角函数题时，要把握几点：
解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。
牛刀小试：
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值（）
A
B
C
D
A．都缩小B．都不变
C．都扩大3倍D．无法确定
2．如图，在正方形网格中,直线AB．CD相交所成的锐角为α，则sinα的值是（）
A.B.C.D.
3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）
A． B． C． D．
6
8
C
E
A
B
D
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=则cosB=.
5．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则tanB=．
答案：
1．B；2.C；3.C；4.；5.
（二）特殊角的三角函数值
例2计算下面各式：
①②
解析：
①==
②==
前思后想：
关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。
记住三角函数值最关键。
例3.已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
解析：
根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°=，进行反推，可知∠A=60°，故选C。
前思后想：
对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。
牛刀小试：
1．计算：
（1）
（2）
2.已知为锐角，当无意义时，求tan（+15°）—tan（-15°）的值。
3.若，则=,
4．在△ABC中，若，则∠C的度数为．
5.在△ABC中，若│sinA—│+（—cosB）2=0，则∠C=_______度．
答案：
1．
（1）=4+—1=；
（2）=+4=3+
2．无意义，tan1，
tan（+15°）—tan（-15°）=tan60°—tan30°==。
3．，tan2=，，。
4．，，，A=45°，B=30°，∠C=105°。
5．│sinA—│+（—cosB）2=0，sinA=，cosB=。
A=30°，B=30°，∠C=120°。
（三）锐角三角函数的大小比较
1、当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
2、当角度在0°<α<90°间变化时，
0cosα>0.
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0.
例4.
（1）化简＝（）。
A．B.C.D.
（2）当锐角α>30°时，则cosα的值是（）
A．大于B．小于C．大于D．小于
解析：
（1）＝
就要讨论tan30°—1的正负性
tan30°=<1，tan30°—1<0，
=
故选A
（2）因为cos30°=，且当0°<<90°时，cos随着的增大而减小，所以锐角α>30°时，cos<。
故选D
前思后想：
可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。
牛刀小试：
1.用不等号“＞”或“＜”连接：
sin50°________cos50°。
2.已知30°<<<90°，则＝。
3.若太阳光线与地面成角，30°＜＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高的范围是（）（取）
A、3＜＜5B、5＜＜10C、10＜＜15D、＞15
4.若0°<<45°，则下列各式中正确的是（）
A.sin>cosB.cos>sinC.tan>1D.tan>tan-1
答案：
1．因为sin45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号；
2．因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<<<90°，
所以cos—cos<0，cos—cos30°<0，1—cos>0，
＝cos—cos—（—cos）+1—cos
＝1—
3．h=10tan，且30°＜＜45°，，故选B。
4．因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<<45°”，故选B。
（四）互余的两个角的三角函数
sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα，
例5.若sin28°=cosα，则α=________．
解析：
因为“cos（90°-α）=sinα”，所以α=90°—28°=62°.
前思后想：
sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。
牛刀小试：
1．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________．
2.已知tan＝1（0°≤≤90°）则＝。
3.若=_____.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sinA=，cosA=，sin2A+cos2A==1，=÷==tanA，其中sin2A+cos2A=1，=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值．
解法一：
∵sin2A+cos2A=1；
∴cos2A=1－sin2A=1－（）2=．
∴cosA=，tanA==÷=．
解法二：
∵∠C=90°，sinA=．
∴可设BC=4k，AB=5k．
由勾股定理，得AC=3k．
根据三角函数概念，得cosA=，tanA=．
运用上述方法解答下列问题：
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值；
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA，tanA的值；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosA的值；
（4）∠A是锐角，已知cosA=，求sin（90°－A）的值．
答案：
1．cos30°，；sin30°，；
2．tan＝1（0°≤≤90°），，=。
3．，，
4．
（1）∠C=90°，sinA=．
∴可设BC=3k，AB=5k．由勾股定理，得AC=4k．
根据三角函数概念，得cosA=，tanA=．
（2）∠C=90°，cosA=．∴可设AC=k，AB=5k．
由勾股定理，得BC=k．根据三角函数概念，得sinA=，tanA=．
（3）∠C=90°，tanA=．∴可设BC=k，AC=2k．
由勾股定理，得AB=k．根据三角函数概念，得sinA=，cosA=．
（4）sin（90°—A）=cosA=.
（五）三角函数在平面直角坐标系中的应用
例6.如图，角的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角的三个三角函数值．
解析：
P（2，2），OP=4，sin=，cos=，tan=。
前思后想：
在平面直角坐标系中，求直线与x轴夹角的三角函数值，过直线上的点作x轴的垂线段，与x轴和直线一起构成直角三角形，根据该点的横坐标和纵坐标可以求出该三角形的三边长度，从而求出三角函数值。
牛刀小试：
1.点关于y轴对称的点的坐标是
2.已知锐角的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r＝,则sin=，cos＝.
3.（此题为补充题，用到一元二次方程的根与系数关系）如图，点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角；
（1）若二次函数y=－x2－kx+（2+2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式。
（2）点C在
（1）中求出的二次函数的图象上吗?
请说明理由。
答案：
1．M（，），它关于y轴对称的点的坐标为（，）；
2．根据画图，由勾股定理可求x=3，所以sin=，cos＝；
3．
（1）在直角三角形ABC中，由于∠α+∠β=90°，因此tanα•anβ=1，而A、B是抛物线与x轴的交点，根据韦达定理可得出tanα•tanβ=-（2+2k-k2）=1，据此可求出k的值，然后根据tanα+tanβ＞0，将不合题意的k值舍去，即可求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是求出C点坐标，根据
（1）可求出tanα、tanβ的值，以及A、B的坐标，过C作CD⊥AB，可在直角三角形ACD中，用tanα和CD表示出AD，同理可表示出BD的长，根据A、B的坐标可得出AB的长，根据AD+BD=AB即可求出CD的长，进而可求出AD和OD的长，即可得出C点坐标，代入抛物线的解析式中进行判断即可．
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