极限证明精选多篇.docx
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极限证明精选多篇
极限证明(精选多篇)
第一篇:
极限证明
极限证明
1.设f(x)在(?
?
?
?
)上无穷次可微,且f(x)?
?
(xn)(n?
?
?
),求证当k?
n?
1时,?
x,limf(k)(x)?
0.x?
?
?
2.设f(x)?
?
0sinntdt,求证:
当n为奇数时,f(x)是以2?
为周期的周期函数;当n为
偶数时f(x)是一线性函数与一以2?
为周期的周期函数之和.x
f(n)(x)?
0.?
{xn}?
3.设f(x)在(?
?
?
?
)上无穷次可微;f(0)f?
(0)?
0xlim求证:
n?
1,?
?
?
?
n,0?
xn?
xn?
1,使f(n)(xn)?
0.
sin(f(x))?
1.求证limf(x)存在.4.设f(x)在(a,?
?
)上连续,且xlim?
?
?
x?
?
?
5.设a?
0,x1?
2?
a,xn?
1?
2?
xn,n?
1,2?
证明权限limn?
?
xn存在并求极限值。
6.设xn?
0,n?
1,2,?
.证明:
若limxn?
1?
x,则limxn?
x.n?
?
xn?
?
n
7.用肯定语气叙述:
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
.
8.a1?
1,an?
1?
1,求证:
ai有极限存在。
an?
1
t?
x9.设函数f定义在?
a,b?
上,如果对每点x?
?
a,b?
极限limf?
t?
存在且有限(当x?
a或b时,
为单侧极限)。
证明:
函数f在?
a,b?
上有界。
10.设limn?
?
an?
a,证明:
lima1?
2a2?
?
?
nana?
.n?
?
2n2
11.叙述数列?
an?
发散的定义,并证明数列?
cosn?
发散。
12.证明:
若?
?
?
af?
x?
dx收敛且limx?
?
?
f?
x?
?
?
,则?
?
0.
11?
an?
收敛。
?
n?
1,2,?
.求证:
22an?
1an13.a?
0,b?
0.a1?
a,a2?
b,an?
2?
2?
n
14.证明公式?
k?
11k?
2n?
c?
?
n,其中c是与n无关的常数,limn?
?
?
n?
0.
15.设f?
x?
在[a,?
?
)上可微且有界。
证明存在一个数列?
xn?
?
[a,?
),使得limn?
?
xn?
?
?
且limn?
?
f’?
xn?
?
0.
16.设f?
u?
具有连续的导函数,且limu?
?
?
f’?
u?
?
a?
0,d?
?
x,y?
|x2?
y2?
r2,x,y?
0
?
?
?
r?
0?
.
i
?
1?
证明:
limu?
?
f?
u?
?
?
?
;?
2?
求ir?
?
?
f’?
x2?
y2?
dxdy;?
3?
求limr2
r?
?
d
r
17.设f?
x?
于[a,?
?
)可导,且f’?
x?
?
c?
0?
c为常数?
证明:
?
1?
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
;?
2?
f?
x?
于[a,?
?
)必有最小值。
18.设limn?
?
?
an?
a,limn?
?
?
bn?
b,其中b?
0,用?
?
n语言证明lim
ana?
.
n?
?
?
bbn
?
sn?
x?
?
19.设函数列?
sn?
x?
?
的每一项sn?
x?
都在x0连续,u是以x0为中心的某个开区间,
在u?
?
x0?
内闭一致收敛于s?
x?
又limn?
?
sn?
x0?
?
?
?
证明:
lims?
x?
?
?
?
.
x?
x0
20.叙述并证明limx?
?
?
f?
x?
存在且有限的充分必要条件?
柯西收敛原理?
?
?
a
23.设?
f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?
a,?
?
?
上一致连续,?
?
?
24.设a1>0,an?
1=an+,证明=1nan25.设f?
x?
在a的某领域内有定义且有界,对于充分小的h,m?
h?
与m?
h?
分别表示f?
x?
在
?
a?
h,a?
h?
上的上、下确界,又设?
hn?
是一趋于0的递减数列,证明:
1)limn?
?
m?
hn?
与limn?
?
m?
hn?
都存在;
2)limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
;
3)f?
x?
在x?
(本文来源好)a处连续的充要条件是llimn?
?
m?
hn?
?
imn?
?
m?
hn?
26设?
xn?
满足:
|xn?
1?
xn|?
|qn||xn?
xn?
1|,|qn|?
r?
1|,证明?
xn?
收敛。
27.设an?
a,用定义证明:
limn?
?
?
an?
a
28.设x1?
0,xn?
1?
31?
xn
(n?
1,2,?
),证明limxn存在并求出来。
n?
?
3?
xn
?
?
29.用“?
?
?
语言”证明lim30.设f(x)?
(x?
2)(x?
1)
?
0
x?
1x?
3
x?
2
,数列?
xn?
由如下递推公式定义:
x0?
1,xn?
1?
f(xn),(n?
0,x?
1
n?
?
1,2,?
),求证:
limxn?
2。
31.设fn(x)?
cosx?
cos2x?
?
?
cosnx,求证:
(a)对任意自然数n,方程fn(x)?
1在[0,?
/3)内有且仅有一个正根;
(b)设xn?
[0,1/3)是fn(x)?
1的根,则limxn?
?
/3。
n?
?
32.设函数f(t)在(a,b)连续,若有数列xn?
a,yn?
a(xn,yn?
(a,b))使
limf(xn)?
a(n?
?
)及limf(yn)?
b(n?
?
),则对a,b之间的任意数?
,
可找到数列xn?
a,使得limf(zn)?
?
33.设函数f在[a,b]上连续,且
f?
0,记fvn?
f(a?
v?
n),?
n?
?
exp{
b?
a
,试证明:
n
1b
lnf(x)dx}(n?
?
)并利用上述等式证明下?
ab?
a
式
2?
?
2?
ln(1?
2rcosx?
r2)dx?
2lnr(r?
1)
f(b)?
f(a)
?
k
b?
a
34.设f‘(0)?
k,试证明lim
a?
0?
b?
0?
35.设f(x)连续,?
(x)?
?
0f(xt)dt,且lim
x?
0
论?
’(x)在x?
0处的连续性。
f(x)
,求?
’(x),并讨?
a(常数)
x
36.给出riemann积分?
af(x)dx的定义,并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim?
()s。
n?
?
ni?
0n
?
x322
x?
y?
0?
2
37.定义函数f?
x?
?
?
x?
y2.证明f?
x?
在?
0,0?
处连续但不可微。
?
0,x?
y?
0?
n?
1
b
38.设f是?
0,?
?
上有界连续函数,并设r1,r2,?
是任意给定的无穷正实数列,试证存在无穷正实数列x1,x2,?
使得:
limn?
?
?
f?
xn?
rn?
?
f?
xn?
?
?
0.
39.设函数f?
x?
在x?
0连续,且limx?
0
f?
2x?
?
f?
x?
?
a,求证:
f’?
0?
存在且等于a.
x
1n
40.无穷数列?
an?
?
bn?
满足limn?
?
an?
a,limn?
?
bn?
b,证明:
lim?
aibn?
1-i?
ab.
n?
?
ni?
1
41.设f是?
0,?
?
上具有二阶连续导数的正函数,且f’?
x?
?
0,f’’有界,则limt?
?
f’?
t?
?
0
42.用?
?
?
分析定义证明limt?
?
1
x?
31
?
x2?
92
43.证明下列各题
?
1?
设an?
?
0,1?
,n?
1,2,?
试证明级数?
2nann?
1?
an?
n收敛;
n?
1
?
?
2?
设?
an?
为单调递减的正项数列,级数?
n2014an收敛,试证明limn2014an?
0;
n?
?
n?
1
?
?
3?
设f?
x?
在x?
0附近有定义,试证明权限limx?
0f?
x?
存在的充要条件是:
对任何趋于0的数列?
xn?
?
yn?
都有limn?
?
?
f?
xn?
?
f?
yn?
?
?
0.
?
1?
44.设?
an?
为单调递减数列的正项数列,级数?
anln?
1?
an?
0?
?
?
收敛,试证明limn?
?
n?
n?
1?
a?
1。
45.设an?
0,n=1,2,an?
a?
0,(n?
?
),证limn
n?
?
?
46.设f为上实值函数,且f
(1)=1,f?
(x)=〔1,+?
〕
limf(x)存在且小于1+。
x?
+?
4
,证明x?
1)2
x2+f(x)
?
47.已知数列{an}收敛于a,且
a?
a?
?
?
asn?
,用定义证明{sn}也收敛于a
n
48.若f?
x?
在?
0,?
?
?
上可微,lim
n?
?
f(x)
?
0,求证?
0,?
?
?
内存在一个单
x?
?
x
调数列{?
n},使得lim?
n?
?
?
且limf?
(?
n)?
0
n?
?
x?
?
e?
sinx?
cosx?
x?
0
49.设f?
x?
?
?
2,确定常数a,b,c,使得f’’?
x?
在?
?
?
?
?
处处存在。
?
?
ax?
bx?
c,x?
0
第二篇:
极限的证明
极限的证明利用极限存在准则证明:
(1)当x趋近于正无穷时,(inx/x)的极限为0;
(2)证明数列{xn},其中a>0,xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛,并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x>0,故lnx/x>0
且lnx1),lnx/x故(inx/x)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-x(n-1)=/2且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第三篇:
数列极限的证明
数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在,并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|以此类推,改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……
|x2-a|向上迭代,可以得到|xn+1-a|2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法:
①证明{x(n)}单调增加。
x
(2)=√=√5>x
(1);
设x(k+1)>x(k),则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x
(1)=1设x(k)x(k+1)=√3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a(0
令t=1/a,则:
t>1、a=1/t
且,f(x)=x*(1/t)=x/t(t>1)
则:
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以,对于数列n*a
,其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明:
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题,帮个忙。
。
。
lim就省略不打了。
。
。
n/(n+1)=0
√(n+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题,只不过题目把答案告诉你了,你把过程写出来就好了
第一题,分子分母都除以n,把n等于无穷带进去就行
第二题,利用海涅定理,把n换成x,原题由数列极限变成函数极限,用罗比达法则(不知楼主学了没,没学的话以后会学的)
第三题,n趋于无穷时1/n=0,sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n+1)=lim(1/n)/(1+1/n)=lim(1/n)/(1+lim(1+n)=0/1=0
lim√(n+4)/n=lim√(1+4/n)=√1+lim(4/n)=√1+4lim(1/n)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第四篇:
函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第五篇:
函数极限证明
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