教资数学简答题论述题汇总.docx
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国家教师资格证冲刺讲义
科目三数学学科
（简答题&论述题）
初级中学课标和教学知识
涉及的简答题论述题综合整理
1. 请阐述义务教育课程标准的性质。
（1） 基础性
基础性主要指初中阶段的数学课程是学生全面发展的重要基础。
（2） 普及性
普及性指初中阶段属于义务教育阶段。
（3） 发展性
发展性指的是初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生的可持续发展而设置的。
2. 请阐述义务教育课程标准的基本理念。
（1） 教学对象
要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：
人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
（2） 课程内容
课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。
（3） 教学活动
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者。
（4） 学习评价
学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
（5） 信息技术
信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。
3. 阐述确定数学课程内容的依据（影响因素）
（1） 数学的学科特点。
由于数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择数学知识点最本质的东西作为教学的重点，有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
（2） 数学内容要符合学生的年龄和心理特征。
数学课程内容应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。
（3） 数学内容的选择还要兼顾社会发展的需求。
数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
（4） 数学内容的选择要考虑其他学科应用的需求。
数学课程是学习物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。
同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。
4. 数学中常见的学习方式有哪些？
（1） 自主学习：
自主学习关注的是学习者的主体性与能动性，是学生自主而不受他人支配的学习方式。
（2） 探究学习：
探究学习也称为发现学习。
学习过程除了被动接受知识外，还存在大量的发现与探究等认识活动。
（3） 合作学习：
合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式。
合作学习的展开往往是在自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。
5. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中每个核心理念的含义是什么？
（每个核心可单独考察一个简答题）
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
例如：
教师在教学有理数加减时，应加强估算教学，引导学生培养估算意识,发展猜想估算能力。
进一步增强学生的数感意识。
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
“符号意识”表现在：
数学思想：
通过从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，有助于学生初步形成数学模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
数学表达：
通过学习知识技能，体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数。
例如，理解符号V,=,>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小，符号">”或“V”表述的是数量间的大小关系，希望学生能够理解符号的含义并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感，形成对数学的初步认识，学会数学表达的方法。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
例如：
初中学习的三视图和投影。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
例如：
研究一次函数时，借助画图像的方法研究其性质。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
数据分析观念包括：
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
6.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“四基”的课程目标，“四基”的内容是什么？
分别举例说明“四基”的含义。
四基内容指的是数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等。
例如，正数与负数的概念、直角三角形三边之间的关系、有理数运算的法则、完全平方公式等。
基本技能内容包括基本的运算、测量、绘图等技能。
在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。
例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理；对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由。
数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。
例如，分类是一种重要的数学思想。
学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。
在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。
数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。
是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。
例如，在统计教学中，设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题。
学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法。
7.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性。
我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，因此规定''从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过学生实践，培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题；培养学生的问题意识、应用意识和创新意识；积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。
为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这些知识性的领域外，设置了“综合与实践”这一数学学习领域。
8. 教师的主导作用如和体现？
（案例分析经常运用的理论）
（1） 教师的“组织”作用主要体现在两个方面：
第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。
（2） 教师与学生的“合作”主要体现在：
教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
（3） 教师的“引导”作用主要体现在：
通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。
9. 对学生数学学习的评价，既要关注学习结果，也要关注学习过程，你认为对学生数学学习过程的评价应关注哪些方面？
试举例说明。
（读一读，案例分析有话可答）
《课程标准》指出：
数学学习的评价既要重视结果，又要重视过程。
对学生数学学习过程的评价，包括学生参与数学活动的动机和态度，完成数学学习的自信，独立思考的习惯，合作交流的意识，数学认知的发展水平等方面。
（1） 关注学生的知识准备状态
在学习即将进行时，应充分调动学生的积极情绪和思维，唤起学习的欲望。
此项活动应包括原有知识的储备、相应的能力态度、激活的思维等。
为学习活动的顺利进行作好心理的准备后，有助于学生愉快而高效率地学习。
比如在学习勾股定理一节，对于第三边的计算，教学中不直接给出方法，而是先让学生动手画，测量，从学生最直观的经验入手，首先得到猜想，再经过思考，学生很快就会得到解决问题的方法，调动了学生学习的积极性。
（2） 关注对学生学习动机和合作精神的评价
在评价中应关注学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意与同伴交流数学学习的体会，与他人合作探究数学问题.在评价过程中应努力引导学生正确认识数学的价值，产生积极的学习态度、动机和兴趣。
例如在教学四边形性质的推导，要思考性质是如何推导而来，学生之间可相互合作讨论，发表见解，这样，学生学习时就会有动机，能够知其然，也能够知其所以然。
既提高了学生学习的动机，又加强了学生团队合作意识。
（3） 关注学生学习数学的独立思考和学习能力的评价。
独立思考和独立学习是数学学习的基本特征之一，在教学中，应建立评价学生是否独立思考的方法与过程，从根本上提高学生的独立思考、独立学习的能力。
例如在教授多边形内角和一节时，针对内角和公式的多种证法，在课堂中给学生足够的时间先独立思考，然后再进行小组分工讨论，让他们能独立的发表自己的见解，然后再让学生小组合作上台演示。
（4） 关注学生学习数学的差异性。
由于认知基础和情感准备以及学习能力倾向不同，不同的学生对同样的内容和学习速度和掌握所需要的时间及需要的帮助不同。
因此每个学生具体的数学学习方式是不同的。
例如，有的学生接受问题的能力强就可以针对他的特点及时进行题目的变式及拓展和发散训练，而有的学生则反之，需要我们留给他们一定的思考和反思时间，真正达到因材施教的目的。
（5） 关注学生对数学思想方法的学习评价。
学习基本的数学思想方法是形成和发展数学能力的基础。
在课堂中要注意对数学思想方法学习的评价。
例如，在教授函数部分让学生经历数形结合思想的使用过程，让学生体会这种思想方法的运用；再如，平方差和完全平方公式的推导让学生经历从特殊到一般的探究过程，掌握从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。
10.《义务教育数学课程标准（2011年版）》有两类行为动词，其中一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，其中另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“探索”，请通过举例说明各含义。
了解：
从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。
例如：
“了解等腰三角形的概念”的具体含义为：
一个三角形中如果有两条边相等，那么这个三角形称为等腰三角形。
相等的两边称为等腰三角形的腰，另一条边称为底边；两腰的夹角称为顶角，两腰与底边的夹角称为底角。
理解：
描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
例如：
以“平行四边形概念”为例，教学目标中理解平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。
这些都属于“理解”的目标层次。
学生在学习过程中，能够把握平行四边形的概念，通过内在逻辑联系，以此为前提进行推导，得到平行四边形的对边、对角等的性质。
掌握：
在理解的基础上，把对象用于新的情境。
例如：
以“认识万以内的数”，教学目标中学生能认、读、写万以内的数，能用数表示实际生活中物体的个数或事物的顺序和位置。
运用：
综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。
例如：
证明“角角边”定理：
两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
经历：
在特定的数学活动中，获得一些感性认识。
体验：
参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。
实例：
以“整数四则运算”为例，学生结合具体情境，根据教师提出的问题，列出式子进行计算的过程中，体会整数四则运算的意义。
探索：
独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。
11. 请阐述评价主体的多元化的含义。
评价主体的多元化是指教师、家长、同学及学生本人都可以作为评价者，可以综合运用教师评价、家长评价、学生相互评价、学生自我评价等方式，对学生的学习情况和教师的教学情况进行全面的考查。
12. 阐述“预设”与“生成”的关系
（1） 教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。
理解和钻研教材，应以本标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，集中表现在：
能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和课程内容规定的要求。
（2） 实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。
在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果。
13. 如何认识数学的抽象性？
在数学教学中如何处理抽象与具体之间的关系，请结合实例谈谈你的看法。
（1）正确认识数学的抽象性：
数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学抽象性。
表现为：
数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性。
数学的学习从具体对象入手，适时上升为抽象理论；认识数学的抽象性要坚持抽象与具体相结合原则。
数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，因此认识数学的抽象性要以具体形象为基础。
例如：
三角形的内角和的证明过程中，不仅仅是通过测量角的度数，而是需要通过一些逻辑证明方法证明三角形内角和是180。
的结论。
（2）数学教学中处理抽象与具体之间的关系的手段：
直观教学：
通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。
例如：
在讲授三角函数值只与角度有关而与三角形的大小无关时，可以利用两个相似但大小不同的三角板，使学生通过模型直观更深刻的体会所学知识点，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。
数形结合：
可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化。
注重观察：
对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。
重视教学手段改革：
运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学手段现代化。
例如：
通过几何画板展示二次函数的画图过程以帮助学生更好的理解函数的形成过程。
14.如何认识数学的严谨性？
在数学教学中如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则？
（加举例）
（1） 正确认识数学的严谨性：
数学的严谨性体现在数学概念的严谨性，数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定。
数学结论的严谨性，数学结论的叙述必须准确、精练。
数学推理、论证的严谨性，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使是数学计算也要求无可争辩。
例如：
通过观察、分析比较得到某数列的通项公式，对于其猜想结果的正确性，必须予以一定的逻辑证明，此时可以采用数学归纳法的方法进行证明，体现了数学的严谨性。
（2） 在教学中贯彻严谨性与量力性相结合的原则的要求：
①明确要求，谨慎处理，在教学中注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手，根据数学课程标准制定恰当、合理的课堂教学目标，妥善处理好数学知识体系，学生的年龄特征、课程目标之间的关系，把握严谨性和与量力性相结合的原则，制定符合本班学生认知水平的目标；②从开始抓起，持之以恒，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后呼应，数学知识的发生不是按逻辑方法建立的，而是实验归纳、类比联想，直觉猜测得到的，严格的逻辑证明和演绎体系常常是后来补上的；③要求学生周密思考、言必有据，通过对学生严谨性的培养，使学生养成良好的思考习惯。
15. 教学原则中，教师应该如何在教学过程中体现理论与实践原则？
（1）正确处理理论知识与实际经验之间的关系。
重视理论知识，并注重在联系实践中进行教学。
（2）注重讲练结合。
做到精讲多练、精讲巧练。
（3）培养学生运用知识的能力。
教师要勇于放手，鼓励学生去尝试和探索，运用所学知识解决实际问题，同时在解决问题的过程中获取新的知识，补充书本知识的不足,从而使各种能力得到锻炼、发展。
（4）联系实际应当多方面入手。
首先，应当尽可能广泛地让学生接触社会生活的各个方面；其次，应当尽可能结合本地区的特点；再次，应当注重学生发展的实际。
（5）帮助学生总结收获。
教师要加以引导，提供机会并提出要求，让学生及时交流体验，表达感受。
（6）补充必要的实际知识（7）理论联系实际可以有多种多样的方式，无论用哪一种方式，教师都必须有明确的教育目的。
16. 常用教学方法有哪些？
至少写出两种并举例。
常用的教学方法有：
讲授法、谈话法、讲练结合法和发现法等。
讲授法是教师通过语言，系统地、有重点地传授知识的一种教学方法。
它的优点是能保证教师传授知识的系统性、主动性与连贯性，易于控制课堂教学，充分利用时间。
例如：
初中数学《完全平方公式》。
通过学生对导入4个式子的具体计算，学生发现了许多的规律，教师指明这就是我们这节课要学习的完全平方公式并讲授定义：
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍，叫做完全平方公式。
给出公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2。
发现法又叫问题教学法，是倡导让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。
它的优点是激发其学习数学的兴趣，增强自信心，使学生深刻而牢固地理解知识,培养学生掌握探索问题的方法与研究问题的能力，特别是自学能力。
例如：
在初中数学《完全平方公式》篇目的试讲中，教师带领同学推导出了完全平方公式，引导学生分组讨论归纳出完全平方公式的完整形式。
给学生3分钟时间进行分组讨论，将刚才得到的两个式子进行归纳整理，得到完全平方公式的完整形式，讨论过程中教师巡视指导，讨论结束后请小组代表上台板演最终结果，师生共同评价总结、板书。
17. 常见的定义方式及举例？
（备考选择）
1. 属加种差定义法（最常用的定义方式）对某一概念有若干属概念，从最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属概念）。
被定义的概念=最邻近的属概念+种差。
概念的种差，就是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。
例如：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例如：
一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形。
邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：
（1） 发生式定义方法。
它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。
例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。
在其中，种差是描述圆的发生过程。
（2） 关系定义法。
它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或
若=N,则log"N=b（a>0,a#=1）
它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
例如
2. 外延式定义：
（1）逆式定义法，例如：
实数是有理数和无理数的总称；整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等
（2）约定定义法，例如：
/=1（"0）,0!
=1
18. 阐述数学文化对学生数学学习的作用。
在数学课程中，强调数学的文化价值，是本次数学课程改革的一个亮点。
①数学文化的培养，有助于激发学生的求知欲。
数学并不是枯燥乏味的而是充满生机和活力的，它有着它的神秘美。
比如数学中还存在一些猜想，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想、四色猜想的书面证明问题等都未得到彻底解决，在引导学生试图解决这些猜想的过程中，既可以向学生传播数学文化，又可以让学生漫步在变化发展着的数学文化形态之中，在潜移默化中激发学生求知欲。
② 数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神。
新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。
培养学生的数学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。
在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。
③ 数学文化的培养，有助于提高学生的数学素养。
在教学中要充分挖掘教材的文化价值，充分揭示数学知识产生、发展的全过程，探寻数学知识的源泉，重建被割裂的数学知识与现实背景的联系，让学生能够主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质。
④ 数学文化的培养，有助于学生深入了解数学的特点。
通过对数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展，以及数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系的学习，可以使所学的数学知识更加系统。
学生能够在数学文化的培养中深入了解数学的特点：
数学是比较抽象的。
具有逻辑的严密性和结论的确定性，应用的广泛性和一定的预见性。
因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系。
增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。
19. 阐述利用反证法证明一个命题的一般步骤
（1） （反设）假设命题的结论不成立；
（2） （推理）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；
（3） （归谬）断言假设不成立；
（4） （结论）肯定原命题的结论成立。
20. 推理一般包括合情推理与演绎推理。
（1） 请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；
（2） 举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用，并阐述两者之间的关系。
合情推理：
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类匕然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
包括类比推理和归纳推理。
演绎推理：
从一般性原理出发，推出某个特
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