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和倍问题差倍问题和差问题

和倍问题

学法指导

已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题，简称和倍问题。

首先我们要并清几个问题：

两个数相比，以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样的一倍数，就是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。

它们之间的数量关系式是：

一倍数×倍数=几倍数t

几倍数÷一倍数=倍数

几倍数÷倍数=一倍数

在解决和倍问题时，先要确定一个数为标准（通常以较小的数为标准），即一倍数，再根据较大的数与较小的数之间的倍数关系，确定总和相当于一倍数（较小的数）的多少倍，然后求出一倍数（较小的数），再算出其他各数量。

和倍问题的数量关系式是：

和÷（倍数+1）=一倍数即较小的数

和一较小的数=较大的数，或较小的数×倍数=较大的数

甲、乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍，甲、乙两车间各有工人多少人

【分析与解答】我们可以用线段图表示题中的已知条件与问题：

乙车间：

甲车间：

从上图看出，甲车间的人数是乙的3倍，那么把乙车间的人数看作1份，甲就有这样的3份，总人数664人占了1+3=4份，把664人平均分成4份，l份就是乙车间的人数，3份就是甲车间的人数。

664÷（1+3）=166（人）

166x3=498（人）或664-166=498（人）

答：

甲车间有工人498人，乙车间有166人。

试一试1

华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍。

华强和建军各有图书多少本

【例题】

果园里有梨树、苹果树、桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，苹果树的棵数是桃树的2倍。

三种果树各多少棵

【分析与解答】我们把桃树的棵数看作1份，苹果树的棵数就是这样的2份，梨树的棵数就是桃树的2x3=6倍，三种果树的总棵数就是桃树的6+2+1=9倍。

可以先求出桃树有207÷9=23（棵），苹果树有23×2=46（棵），梨树就是46x3=138（棵）。

207÷（2x3+2+1）=23（棵）

23x2-46（棵）

46x3=138（棵）

答：

梨树有138棵，苹果树有46棵，桃村有23棵。

试一试2

一所小学共有学生868人，中年级的学生人数是高年级的2倍，低年级的人数是中年级的2倍。

这所学校高、中、低年级各有学生多少人

【例题】

两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克到乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有茶叶各多少千克

【分析与解答】从甲箱取出15千克放入乙箱后，两箱茶叶的总重量没有变，它相当于甲箱的3+1=4倍，这时甲箱有茶叶88÷4=22（千克），那么甲箱原有茶叶22+15=37（千克），乙箱原有88-37=51（千克）茶叶。

88÷（3+1）+15=37（千克）

88-37=51（千克）

答：

甲箱原有茶叶37千克，乙箱原有茶叶51千克。

试一试3

小明、小玲两人共有糖果63块，如果小明给小玲9块糖果，小玲的块数就是小明的2倍。

他们两人原有糖果各多少块

【例题】

有两袋大米，第一袋97千克，第二袋44千克。

从第一袋中取出多少千克大米放人第二袋，就能使第一袋大米的重量是第二袋的2倍

【分析与解答】根据题意可知，两袋大米的总千克数始终未变。

要使第一袋的千克数是第二袋的2倍，把97+44=141（千克）大米平均分成2+1=3份，求出的141÷3=47（千克）是一倍数，也就是第二袋犬米后来的千克数，所以从第一袋中取出47-44=3（千克）大米放入第二袋中，就可以使第一袋大米的千克数是第二袋的2倍。

【例题】

某畜牧场有山羊、绵羊共670只，如果绵羊减少30只，山羊增加200只，则山羊的只数就是绵羊的3倍。

求原来山羊、绵羊各多少只

【分析与解答】依题意，绵羊减少30只，山羊增加200只，这时羊的总数为670-30+200=840（只），而且山羊的只数是绵羊的3倍，就可求出此时绵羊有840÷（3+1）=210（只），那么原来绵羊有210+30=240（只），山羊有670-240=430（只）。

（670-30+200）÷（3+1）+30=240（只）

670-240=430（只）

答：

原来山羊有430只，绵羊有240只。

试一试5

有两堆棋子共49个，如果第一堆增加15个，第二堆减少4个，则第二堆的个数是第一堆的2倍。

求两堆棋子原来分别有多少个

【例题】

两数相除商3余2，已知被除数、除数、商与余数的和是115，被除数

是多少

【分析与解答】依题意可知，被除数÷除数=3……2，即被除数=3×

除数+2，也可以理解为被除数比除数的3倍多2。

由此画出线段图。

除数：

被除数：

商：

余数：

可以首先求出被除数与除数的和为115-3-2=110;从图中看出，

若被除数减去2，就正好是除数的3倍，把除数看作1份，110-2=108就

是这样的3+1=4份，l份就是108÷4=27，即除数，被除数为27x3+2

=83或110-27=83。

（115-3-2-2）÷（3+1）=27

110-27=83

答：

被除数是83。

试一试6

两数相除商为4，余数是9，被除数、除数、商和余数的和为177，求被除数是多少

课内练习

1．城北小学买来足球和排球共36个，其中足球的个数是排球的2倍。

城北小学买来足球和排球各多少个

2．庆祝元旦，四

（1）班同学共做红、黄、绿花279朵，红花的朵数是黄花的3倍，黄花的朵数是绿花的2倍。

三种花各做了多少朵

3．兄弟两个去钓鱼，共钓了27条，若哥哥取4条给弟弟，那么哥哥钓的条数就正好是弟弟的2倍。

问兄弟俩各钓了多少条鱼

4．甲部队有52名士兵，乙部队有23名士兵，从乙部队调走多少名士兵到甲部队，甲的人教就是乙的4倍

5．书架上、下两层共有书169本，如果把新买的15本书放人上层，从下层中取出9本，则上层的本数是下层的4倍。

求上、下两层原来各有书多少本

6．两数相除商8余1，已知被除数、除数、商与余数的和是118，求被除数与除数分别是多少

7．小明、小红、小玲共有73块糖。

如果小玲吃掉了3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的2倍，问三人原来各有多少块糖

课外练习

1．-所小学共有学生810人，其他年级的学生是六年级学生人数的5倍，六年级有学生多少人其他年级有学生多少人

2．人民路小学共有篮球、足球和排球95个。

又知排球的个数是篮球的2倍。

足球比排球少5个，求篮球、足球和排球各多少个

3．小英、小红两人共有气球20只，若小英给小红3只，则小英气球的只数就正好是小红的4倍。

问小英、小红原来各有气球多少只

4．大、小两船，大船载客110人，小船载客58人。

从小船上调几人到大船，大船上的人数就是小船的3倍

5．四（3）班有学生50人，若女生增加14人，男生增加2人，女生的人数就是男生的2倍。

求四（3）班男、女学生各多少人

6．两数相除，商和余数均为5，被除数、除教、商、余数的和为129，被除数、除数分别是多少

7*.-个正方形铁丝框周长为48厘米。

若把这根铁丝重新折成一个长方形，长正好是宽的2倍（接缝处长度忽略不计）。

问这个长方形的长比原来正方形的边长增加了多少厘米

8*.甲、乙、丙、丁四个人一起做了370个零件，如果把甲做的个数减去3，乙的个数乘2，丙的个数除以2，丁的个数加上2，则四人做的零件个数正好相等。

问四个人分别做了多少个零件

差倍问题

学法指导

前面我们学习了用画线段图的方法来解答和倍应用题，这种画线段图的方法能使问题具体化、形象化，从而容易找到解题的思路。

通过学习，我们尝到了线段图带给我们的乐趣。

下面，我们再来学习与和倍问题有相似之处的差倍问题。

什么是差倍应用题呢已知两数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题就叫做差倍应用题。

差倍应用题的解题规律是：

t

两数之差÷（倍数-1）=1倍数

解题关键是确定“1倍数”和“差”是多少。

对于一些较复杂的差倍问题，我们可以借助线段图来进行分析。

小明买了一枝钢笔和一枝圆珠笔。

已知钢笔比圆珠笔贵4元，且钢笔的价钱正好是圆珠笔的3倍，求每枝钢笔和每枝圆珠笔各多少元

圆珠笔：

钢笔：

【分析与解答】

从图中可以看出，把圆珠笔的单价看作1倍，那么4元就相当于圆珠笔单价的（3-1）倍。

这样，把4元平均分成2份，l份就是圆珠笔的价钱，3份就是钢笔的价钱。

4÷（3-1）=2（元）

2x3=6（元）

答：

每枝钢笔6元，每枝圆珠笔2元。

试一试1

四年级参加踢毽子比赛的女生人数是男生人数的3倍，已知女生比男生多38人，求参加踢毽子比赛的男生和女生各有多少人

【例题】

两根同样长的铁丝，第一根剪去180厘米，第二根剪去260厘米，余下的部分第一根是第二根的3倍。

原来两根铁丝各长多少厘米

【分析与解答】

第一根：

第二根：

图中虚线部分表示剪去的。

由于第二根比第一根多剪去260-180=80厘米，所以，剩下的铁丝第一根就比第二根多80厘米，正好多2倍，因此，现在第二根的长度就是80÷2=40（厘米）。

原来长40+260＝300厘米。

（260-180）÷（3-1）=40（厘米）

40+260=300（厘米）

答：

原来两根铁丝各长300厘米。

试一试2

甲班和乙班的人数同样多。

如果从甲班调出20人，从乙班调出38人去大扫除，甲班剩下的人数正好是乙班的2倍。

原来两班各有多少人

【例题】

四年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的3倍多8人，已知做游戏的比打球的多64人，打球的和做游戏的各有多少人

【分析与解答】

打球：

做游戏：

从图中可以看出：

把打球的人数看作1倍，那么，做游戏的就是这样的3倍多8人。

而（64-8）人正好相当于打球人数的2倍。

因此，打球的人数是（64-8）÷（3-1）=28（人），做游戏的有28+64=92（人）。

（64-8）÷（3-1）=28（人）

28+64=92（人）

答：

打球的有28人，做游戏的有92人。

试一试3

果园里种了一批苹果树和杏树。

已知苹果树比杏树多1800棵，苹果树的棵数比杏树的3倍多200棵。

苹果树和杏树各有多少棵

【例题】

小张有存款5400元，小王有存款3800元。

两人各取出同样多的钱后，小张的存款是小王的3倍。

问：

取款后两人各有存款多少元

【分析与解答】

小王：

小张：

从图中可以看出，由于两人的取款数相同，所以，两人的存款差不变，还是相差5400-3800=1600（元）。

取钱后，小王的钱是l倍数，小张的钱就是3倍数，用差除以倍数之差就能得1倍数，即小王取款后的钱数了。

（5400-3800）÷（3-1）=800（元）

800x3=2400（元）

答：

取款后，小王有800元，小张有2400元。

试一试4

甲箱有苹果45个，乙箱有苹果25个。

从两箱取出同样多的苹果后，甲箱的苹果是乙箱的5倍。

求后来两箱各有多少个苹果

【例题】

有两筐橘子，如果从甲筐拿出18个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出13个放进甲筐，甲筐里的橘子就是乙筐的3倍。

甲、乙两筐原来各有橘子多少个

【分析与解答】

根据“从甲筐拿出18个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐的橘子多18x2=36（个）。

如果“从乙筐拿出13个放进甲筐”，这时，甲筐就比乙筐多36+13x2=72（个）橘子。

根据差倍问题的解题规律，乙筐里后来有橘子72÷（3-1）=36（个），原来有36+13=49（个）。

而甲筐里原来应该有49+36=85（个）橘子。

（18x2+13x2）÷（3-1）=36（个）

36+13=49（个）

49+18x2=85（个）

答：

甲筐原来有85个，乙筐原来有49个橘子。

试一试5

甲、乙两仓都存有货物。

若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓存货同样多；若从乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓货物是乙仓的4倍。

原来两仓各存货物多少吨

【例题】

学校体育器械室里的红皮球是黄皮球个数的5倍。

如果红皮球和黄皮球各购进4个，那么红皮球的个数是黄皮球的4倍。

原来红皮球和黄皮球各有多少个

【分析与解答】根据题意可知，如果黄皮球购进4个，红皮球购进4×5=20（个），那么红皮球还是黄皮球的5倍。

现在，红皮球只购进了4个，所以，红皮球就是黄皮球的4倍了。

现在有黄皮球（20-4）÷（5-4）=16（个）。

原来有黄皮球16-4=12（个），红皮球有12x5=60（个）。

（4x5-4）÷（5-4）-4=12（个）

12x5=60（个）

答：

黄皮球原来有12个，红皮球原来有60个。

试一试6

学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍，如果这两种粉笔各买进12盒，那么白粉笔的盒数就是彩色粉笔的3倍。

原来学校里两种粉笔各有多少盒

☆课内练习

1．新华书店运进一批新书，其中《数学奥林匹克》的本数是《新华字典》的6倍，比《新华字典》多2000本。

两种书各进了多少本

2．甲、乙两仓存的水泥同样多，从甲仓运出65吨，从乙仓运出9吨水泥后，乙仓的水泥是甲仓的3倍。

两仓原来典存水泥多少吨

3．-台彩色电视机比一台黑白电视机贵1900元，一台彩色电视机的价钱比黑白电视机的5倍少100元。

每台彩色电视机多少元

4．食堂里原有大米560千克，面粉340千克。

吃掉同样多的大米和面粉后，大米是面粉的3倍。

现在食堂里还有大米、面粉各多少千克

5．兄弟二人各有存款若干元，若哥哥给弟弟45元，二人的钱数就同样多；若弟弟给哥哥45元，则哥哥的钱正好是弟弟的2倍。

兄弟两人各有存款多少元

6．师徒二人生产一批零件，前3天师傅生产的个数是徒弟的4倍。

后来师徒二人各自又生产了18个，这时师傅生产的正好是徒弟的2倍。

师徒前3天各生产了多少个零件

7．某小队队员提着一篮苹果和梨去敬老院慰问老人。

每次从篮里取2个梨、5个苹果送给老人，最后梨正好分完，苹果还剩下11个。

这时他们才想起原来苹果的个数是梨的3倍。

问：

他们把水果分给了几位老人

★课外练习

1．兄弟两人各有若干元钱，已知哥哥比弟弟多240元，并且哥哥的钱正好是弟弟的5倍。

兄弟两人各有多少元钱

2．一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。

原来每筐水果有多少个

3．用大、小两辆车装货，大车装的比小车的3倍少2吨，大车比小车多装12吨。

两辆车各装了几吨货物

4．四

（1）班有男生28人，女生32人。

选出同样多的男生和女生排练节目后．剩下的女生是男生人数的2倍。

还剩下多少个同学没有参加排练节目

5．学校组织夏令营活动。

如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；若参加的男生名额给4个女生，则男生人数是女生人数的一半。

原定夏令营中男、女生各多少人

6．今年，爸爸的年龄是小明的6倍。

再过4年，爸爸的年龄恰好是小明的4倍。

今年小明多少岁

7*．小华做一道加法算术题，由于粗心把一个加数个位上的零漏掉了，结果比正确答案少了225。

这个加数应该是多少

8*．饲养场的白兔是黑兔的5倍。

后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在的白兔是黑兔的7倍。

饲养场原来有白兔和黑兔各多少只

和差问题

知识点：

和差问题

和差应用题是指已知大小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少的应用题，简称和差问题。

由于和差问题中的两个数不相同，我们可以用假设的方法使两个数变成相等的数。

首先，我们可以先根据题意判断应该怎样假设，一般可假设要求的两个或几个未知数相等，然后根据所作的假设，注意数量关系发生了什么变化，怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中作出适当的调整，从而求出正确的答案。

和差问题中大小两数的关系可以用下图表示：

较大数=（和+差）÷2较小数=（和一差）÷2

【例题】养鸡场养了540只鸡，其中母鸡比公鸡多50只。

和母鸡各有多少只

【分析与解答】

公鸡：

母鸡：

从图中可以看出：

假如增加50只公鸡，公鸡的只数就和母鸡同样多了。

但如果增加50只公鸡，养鸡场的鸡的只数就是540+50=590（只），用590÷2=295（只）就是养鸡场母鸡的只数。

知道了母鸡的只数，就能很方便地求出公鸡的只数了。

（540+50）÷2=295（只）

295-50=245（只）

答：

养鸡场养公鸡245只，母鸡295只。

想一想：

假设减少50只母鸡，又该怎样求出公鸡和母鸡的只数呢

请试一试。

【试一试】

果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树比梨树多36棵，两种树各有多少棵

【例题】老师把140块糖分给了大班和中班的小朋友。

如果从大班拿12块糖给中班，两个班分得的糖就同样多。

求大班和中班各分得多少块糖

【分析与解答】

根据题意可知，大班减少12块糖，中班增加12块糖后，两个班分得的糖就一样多，就是说大班比中班多分得‘12x2=24（块）糖。

假如从140块糖中去掉24块，剩下的糖就是中班分得糖的2倍，由此先求出中班分得的块数，再求出大班分得的块数。

（140-12x2）÷2=58（块）

140-58=82（块）

答：

大班分得82块，中班分得58块。

想一想：

还可以怎样解答

【试一试】

两个班共有学生92人，如果从一班调2人到二班，则两班人数同样多。

两个班各有多少个同学

【例题】一个书架分上、下两层，共放有图书100本。

如果从上层取出5本放入下层，那么上层比下层还多6本。

问原来上、下两层各有图书多少本

【分析与解答】

先求出原来上、下两层所放图书的差。

因为上层减少5本，下层增加5本后，上层还比下层多6本，所以，原来上层比下层多5×2+6=16（本）。

假如上层减少16本，则上、下两层的书就同样多，即（100-16）相当于下层本数的2倍，由此求出下层的本数，再求上层的本数。

（100-5x2-6）÷2=42（本）

100-42=58（本）

答：

原来上层有图书58本，下层有图书42本。

【试一试】

两箱零件共102个。

从甲箱拿24个放入乙箱后，甲箱还比乙箱多4个。

原来两箱各放有多少个零件

【例题】李明每天早晨沿着长和宽相差50米的长方形小路跑步。

已知他每天跑4圈，共跑了1200米。

问这条长方形路的长和宽各是多少米

【分析与解答】

根据题意可知，李明沿长方形路跑四周共跑了1200米，长方形周长是1200÷4=300（米），长与宽的和是300÷2=150（米）。

假设长减少50米，那么，（150-50）米就正好是宽的2倍。

由此先求出宽，再求出长。

（1200÷4÷2-50）}2

=（150-50）÷2

=50（米）

50+50=100（米）

答：

这条长方形路长100米，宽50米。

【试一试】

王师傅和李师傅4小时共做纸箱180只。

王师傅比李师傅每小时少做5只。

他们每小时各做多少只纸箱

【例题】食堂共有三种蔬菜，其中茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克，茄子、黄瓜共重60千克。

请你算一算三种蔬菜各有多少千克

【分析与解答】

因为“茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克”，而辣椒的重量是一定的，所以，70千克比50千克多的20千克，就是黄瓜比茄子多的千克数。

再由“茄子、黄瓜共重60千克”就转化为和差问题了。

假如减少20千克黄瓜，（60-20）千克就正好是茄子的2倍，由

此求出茄子的重量，再求出黄瓜的重量，最后求出辣椒的重量。

黄瓜与茄子的重量差：

70-50=20（千克）

茄子的重量：

（60-20）÷2=20（千克）

黄瓜的重量：

20+20=40（千克）

辣椒的重量：

50-20=30（千克）

答：

茄子有20千克，黄瓜有40千克，辣椒有30千克。

【试一试】小华参加了三门功课的考试，已知语文、数学共186分，数学、英语共188分，语文、英语共182分。

求三门功课分别得了多少分

【例题】学校三个运动队共有队员80人；已知田径队人数比足球队和篮球队人数的和还多8人，足球队人数又比篮球队多4人。

三个队各有多少人

【分析与解答】

根据题意，田径队人数比其他两队人数的总和多8人，假设篮球、足球两队人数再增加8人，那么三队的总人数是80+8=88（人），这个人数正好是田径队人数的2倍，所以，田径队的人数是88÷2=44（人），篮球队和足球队共有80-44=36（人）。

再根据“足球队人数比篮球队多4人”来假设篮球队增加4人，则（36+4）÷2=20（人）就是足球队的人数，最后用（36-20）求出篮球队人数。

（80+8）÷2=44（人）………田径队

（80-44+4）÷2=20（人）………足球队

80-44-20=16（人）………篮球队

答：

学校田径队有44人，足球队有20人，篮球队有16人。

【试一试】

红花、绿花和黄花共有78朵。

红花和绿花的总朵数比黄花多6朵，红花比绿花多6朵。

三种花各有多少朵

【课内练习】

1．学校买回故事书和科技书共106本，其中故事书比科技书多24本。

两种书各买了多少本

2．两个车队共有54辆汽车，若从一队调3辆车到二队后，两队的汽车就同样多。

求两个车队各有几辆汽车

3．甲、乙两筐水果共重40千克。

从甲筐取6千克放到乙筐后，甲箧里的水果比乙筐多2千克。

求两筐原有水果多少千克

4．甲、乙两个工程队6天合修了一条长480米的公路，已知甲队比乙队每天少修18米，求两队每天各修多少米

5．有三种水果，已知苹果和梨共95千克，苹果和橘子共重80千克，梨和橘子共重75千克。

问：

三种水果各有多少千克

6．学校四、五、六年级同学共植树80棵，已知六年级同学比另两个年级植树棵数的和少植8棵，四年级同学比五年级同学少植4棵。

三个年级同学各植树多少棵

7*．两车站相距110千米，甲、乙两车分别从两站同时出发，相向而行，经1小时相遇。

如果两车从其中的一个站同时出发，同向而行。

那么经11小时甲车追上乙车。

求甲、乙两车的速度。

【课外练习】

1．爷爷家养了100只山羊和绵羊，已知山羊比绵羊多64只，两种羊各养了多少只

2．一根电线长84米，把它截成了两段，如果从第一段上剪15米接在第二段上，这两段电线就一样长。

求这两段电线的长度。

\3．两包茶叶共850克，从乙包中取15克放入甲包，则乙包里的茶叶比甲包里的茶叶多6克。

原来两包茶叶各多少克

4．快、慢两车同时从相距560米的两地相向而行，4小时相遇。

已知快车每小时比慢车多行30千米，求两车每小时各行多少千米

5．工地上运来了三种建筑材料，已知水泥和黄沙共200吨，黄沙和石子共230吨，水泥和石子共270吨。

求工地运来水泥、黄沙、石子各多少吨

6．某工厂的三个车间共有工人220人，其中，第二车间比另两个车间的总人数少20人，第一车间又比第三车间