XX年中考数学平行四边形专题复习导学案.docx

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XX年中考数学平行四边形专题复习导学案

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　　XX年中考数学专题练习22《平行四边形》

　　【知识归纳】

　　一、多边形

　　．多边形的性质：

n边形的内角和为；任意多边形的外角和为；对角线条数为。

　　．正多边形的定义及性质：

　　定义：

各个角，各条边的多边形叫做正多边形；

　　性质：

每一个内角的度数为；

　　正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是图形.

　　．平面图形的密铺：

　　密铺的条件：

围绕一个点拼在一起的所有角度之和为.

　　常见的密铺图形：

等边三角形，正方形，正六边形.

　　平行四边形

　　平行四边形的概念

　　两组对边分别平行的四边形叫做。

　　平行四边形的性质

　　平行四边形的互补，相等。

　　平行四边形的对边。

　　推论：

夹在两条平行线间的平行线段。

　　平行四边形的对角线互相。

　　若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

　　平行四边形的判定

　　定义：

两组对边分别平行的四边形是形

　　定理1：

两组对角分别的四边形是平行四边形

　　定理2：

两组对边分别的四边形是平行四边形

　　定理3：

对角线互相的四边形是平行四边形

　　定理4：

一组对边且的四边形是平行四边形

　　两条平行线的距离

　　两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的。

　　平行线间的距离处处。

　　【基础检测】

　　．下列判断错误的是

　　A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　B．四个内角都相等的四边形是矩形

　　c．四条边都相等的四边形是菱形

　　D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

　　．下列命题中，真命题是

　　A．对角线相等的四边形是矩形

　　B．对角线互相垂直的四边形是菱形

　　c．对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

　　．下列说法：

　　①三角形的三条高一定都在三角形内

　　②有一个角是直角的四边形是矩形

　　③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

　　④两边及一角对应相等的两个三角形全等

　　⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

　　其中正确的个数有

　　A．1个B．2个c．3个D．4个

　　如图，在平行四边形ABcD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，Ec，DB请你添加一个条件

　　使四边形DBcE是矩形．

　　如图，▱ABcD的对角线Ac、BD相交于点o，且Ac+BD=16，cD=6，则△ABo的周长是

　　A．10B．14c．20D．22

　　如图，在▱ABcD中，BE⊥AB交对角线Ac于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为

　　．

　　.如图，平行四边形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o，请你添加一个适当的条件

　　使其成为菱形．

　　如图，在▱ABcD中，Bc=2AB=4，点E、F分别是Bc、AD的中点．

　　求证：

△ABE≌△cDF；

　　当四边形AEcF为菱形时，求出该菱形的面积．【达标检测】

　　一．选择题

　　若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是

　　A．13B．14c．15D．16

　　9，4分）如图，在平行四边形ABcD中，点E在AD上，连接cE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，cD＝3c，则AF的长为

　　A．5cB．6cc．7cD．8c

　　．如图，在平行四边形ABcD中，AB＝4，∠BAD的平分线与Bc的延长线交于点E，与Dc交于点F，且点F为边Dc的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为

　　A．2B．4c．4D．8

　　二．填空题

　　一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为

　　．

　　．如图，在▱ABcD中，BE⊥AB交对角线Ac于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为

　　．

　　如图，在Rt△ABc中，∠B＝90°，AB＝4，Bc＞AB，点D在Bc上，以Ac为对角线的所有平行四边形ADcE中，DE的最小值是_____________．

　　如图，先将一平行四边形纸片ABcD沿AE，EF折叠，使点E，B′，c′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=

　　度．

　　0.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.

　　三．解答题

　　1.如图，E，F是四边形ABcD的对角线Ac上两点，AF＝cE，DF＝BE，DF∥BE．

　　求证：

△AFD≌△cEB；

　　四边形ABcD是平行四边形．

　　如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．

　　以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，c，D；

　　证明四边形ABcD是平行四边形．

　　3.如图，在ABcD中，点E在边Bc上，点F在Bc的延长线上，且BE=cF。

求证：

∠BAE=∠cDF

　　如图1，在Rt△ABc中，∠ABc=90°，以点B为中心，把△ABc逆时针旋转90°，得到△A1Bc1；再以点c为中心，把△ABc顺时针旋转90°，得到△A2B1c，连接c1B1，则c1B1与Bc的位置关系为

　　；

　　如图2，当△ABc是锐角三角形，∠ABc=α时，将△ABc按照中的方式旋转α，连接c1B1，探究c1B1与Bc的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

　　如图3，在图2的基础上，连接B1B，若c1B1=Bc，△c1BB1的面积为4，则△B1Bc的面积为

　　．【知识归纳答案】

　　一、多边形

　　．多边形的性质：

n边形的内角和为•180°；任意多边形的外角和为360°；对角线条数为

　　．正多边形的定义及性质：

　　定义：

各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形；

　　性质：

每一个内角的度数为；

　　正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是轴对称图形.

　　．平面图形的密铺：

　　密铺的条件：

围绕一个点拼在一起的所有角度之和为360°.

　　常见的密铺图形：

等边三角形，正方形，正六边形.

　　平行四边形

　　平行四边形的概念

　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

　　平行四边形的性质

　　平行四边形的邻角互补，对角相等。

　　平行四边形的对边平行且相等。

　　推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

　　平行四边形的对角线互相平分。

　　若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

　　平行四边形的判定

　　定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

　　定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

　　两条平行线的距离

　　两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

　　平行线间的距离处处相等。

　　【基础检测答案】

　　．下列判断错误的是

　　A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　B．四个内角都相等的四边形是矩形

　　c．四条边都相等的四边形是菱形

　　D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

　　【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．

　　【解答】解：

A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；

　　B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；

　　c、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；

　　D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．

　　故选D．

　　【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．

　　．下列命题中，真命题是

　　A．对角线相等的四边形是矩形

　　B．对角线互相垂直的四边形是菱形

　　c．对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

　　【分析】A、根据矩形的定义作出判断；

　　B、根据菱形的性质作出判断；

　　c、根据平行四边形的判定定理作出判断；

　　D、根据正方形的判定定理作出判断．

　　【解答】解：

A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；

　　B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

　　c、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；

　　D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；

　　故选c．

　　【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．

　　．下列说法：

　　①三角形的三条高一定都在三角形内

　　②有一个角是直角的四边形是矩形

　　③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

　　④两边及一角对应相等的两个三角形全等

　　⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

　　其中正确的个数有

　　A．1个B．2个c．3个D．4个

　　【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．

　　【解答】解：

①错误，理由：

钝角三角形有两条高在三角形外．

　　②错误，理由：

有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．

　　③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

　　④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．

　　⑤错误，理由：

一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．

　　正确的只有③，

　　故选A．

　　【点评】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

　　如图，在平行四边形ABcD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，Ec，DB请你添加一个条件　EB=Dc　，使四边形DBcE是矩形．

　　【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．

　　【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBcE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．

　　【解答】解：

添加EB=Dc．理由如下：

　　∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴AD∥Bc，且AD=Bc，

　　∴DE∥Bc，

　　又∵DE=AD，

　　∴DE=Bc，

　　∴四边形DBcE为平行四边形．

　　又∵EB=Dc，

　　∴四边形DBcE是矩形．

　　故答案是：

EB=Dc．

　　如图，▱ABcD的对角线Ac、BD相交于点o，且Ac+BD=16，cD=6，则△ABo的周长是

　　A．10B．14c．20D．22

　　【考点】平行四边形的性质．

　　【分析】直接利用平行四边形的性质得出Ao=co，Bo=Do，Dc=AB=6，再利用已知求出Ao+Bo的长，进而得出答案

　　【解答】解：

∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴Ao=co，Bo=Do，Dc=AB=6，

　　∵Ac+BD=16，

　　∴Ao+Bo=8，

　　∴△ABo的周长是：

14．

　　故选：

B．

　　如图，在▱ABcD中，BE⊥AB交对角线Ac于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

　　【考点】平行四边形的性质．

　　【分析】首先由在▱ABcD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．

　　【解答】解：

∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴AB∥cD，

　　∴∠BAE=∠1=20°，

　　∵BE⊥AB，

　　∴∠ABE=90°，

　　∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．

　　故答案为：

110°．

　　【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．

　　.如图，平行四边形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o，请你添加一个适当的条件　Ac⊥Bc或∠AoB=90°或AB=Bc　使其成为菱形．

　　【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．

　　【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．

　　【解答】解：

如图，平行四边形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o，添加一个适当的条件为：

Ac⊥Bc或∠AoB=90°或AB=Bc使其成为菱形．

　　故答案为：

Ac⊥Bc或∠AoB=90°或AB=Bc

　　如图，在▱ABcD中，Bc=2AB=4，点E、F分别是Bc、AD的中点．

　　求证：

△ABE≌△cDF；

　　当四边形AEcF为菱形时，求出该菱形的面积．

　　【分析】第问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．

　　第要求菱形的面积，在第问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．

　　【解答】证明：

∵在▱ABcD中，AB=cD，

　　∴Bc=AD，∠ABc=∠cDA．

　　又∵BE=Ec=Bc，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△cDF．

　　解：

∵四边形AEcF为菱形时，∴AE=Ec．

　　又∵点E是边Bc的中点，

　　∴BE=Ec，即BE=AE．

　　又Bc=2AB=4，∴AB=Bc=BE，

　　∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，

　　▱ABcD的Bc边上的高为2×sin60°=，

　　∴菱形AEcF的面积为2．

　　【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．

　　用SAS证全等；

　　若四边形AEcF为菱形，则AE=Ec=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．

　　【达标检测答案】

　　一．选择题

　　若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是

　　A．13B．14c．15D．16

　　【答案】c.

　　【解析】∵一个正多边形的每个内角都为156°，

　　∴这个正多边形的每个外角都为：

180°-156°=24°，

　　∴这个多边形的边数为：

360°÷24°=15，

　　故选c．

　　9，4分）如图，在平行四边形ABcD中，点E在AD上，连接cE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，cD＝3c，则AF的长为

　　A．5cB．6cc．7cD．8c

　　【答案】B．

　　【解析】由平行四边形ABcD，得AF∥cD，所以∠F＝∠EcD，∠FAE＝∠D，则有△AFE∽△DEc，从而得到＝＝2，即＝2，解得AF＝6．故答案选B．

　　【方法指导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形．本题图形中蕴涵两个相似三角形基本图：

1.“X”型，即△AFE∽△DEc．2.“A”型，即△FAE∽△FBc．

　　．如图，在平行四边形ABcD中，AB＝4，∠BAD的平分线与Bc的延长线交于点E，与Dc交于点F，且点F为边Dc的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为

　　A．2B．4c．4D．8

　　【解析】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

　　由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABcD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为Dc中点，AB＝cD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形EcF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．

　　【解答】解：

∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，

　　∵Dc∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，

　　又F为Dc的中点，∴DF＝cF，∴AD＝DF＝Dc＝AB＝2，

　　在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG＝，则AF＝2AG＝2，

　　在△ADF和△EcF中，

　　∴△ADF≌△EcF，∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4．

　　【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．　

　　二．填空题

　　一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．

　　【考点】多边形内角与外角．

　　【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

　　【解答】解：

∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

　　则内角和是720度，

　　20÷180+2=6，

　　∴这个多边形是六边形．

　　故答案为：

6．

　　．如图，在▱ABcD中，BE⊥AB交对角线Ac于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

　　【考点】平行四边形的性质．

　　【分析】首先由在▱ABcD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．

　　【解答】解：

∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴AB∥cD，

　　∴∠BAE=∠1=20°，

　　∵BE⊥AB，

　　∴∠ABE=90°，

　　∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．

　　故答案为：

110°．

　　【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．

　　如图，在Rt△ABc中，∠B＝90°，AB＝4，Bc＞AB，点D在Bc上，以Ac为对角线的所有平行四边形ADcE中，DE的最小值是_____________．

　　【知识点】直线射线和线段——垂线段最短、图形的相似——平行线分线段成比例定理、平行四边形——平行四边形的性质、

　　【答案】4.

　　【解析】根据“垂线段最短”，可知：

当oD⊥Bc时，oD最短，DE的值最小.

　　当oD⊥Bc时，oD∥AB.∴cDBD＝cooA＝1.∴oD是△ABc的中位线.∴oD＝12AB＝2.∴DE的最小值＝2oD＝4.

　　【点拨】将求DE的最小值转化为求Do的最小值，Do的最小值就是点D到Bc的距离，由此可解.

　　如图，先将一平行四边形纸片ABcD沿AE，EF折叠，使点E，B′，c′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=

　　度．

　　【答案】45.

　　【解析】根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△cEF≌△c′EF，

　　∴∠AEB=∠AEB′，∠cEF=∠c′EF，

　　∵∠AEB+∠AEB′+∠cEF+∠c′EF=180°，

　　∴∠AEB′+∠c′EF=90°，

　　∵点E，B′，c′在同一直线上，

　　∴∠AEF=90°，

　　∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，

　　∴∠AEG=∠GEA′=∠AEF=45°

　　0.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.

　　【答案】67.5.

　　【解析】∵正八边形的每个内角为，且该图案由8个全等的等腰梯形拼成，

　　∴.

　　三．解答题

　　1.如图，E，F是四边形ABcD的对角线Ac上两点，AF＝cE，DF＝BE，DF∥BE．

　　求证：

△AFD≌△cEB；

　　四边形ABcD是平行四边形．

　　【解析】平行四边形的判定；全等三角形的判定．利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理容易证明△AFD≌△cEB．

　　由△AFD≌△cEB，容易证明AD＝Bc且AD∥Bc，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

　　解答：

证明：

∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．

　　又∵AF＝cE，DF＝BE，∴△AFD≌△cEB．

　　由知△AFD≌△cEB，∴∠DAc＝∠BcA，AD＝Bc，

　　∴AD∥Bc．∴四边形ABcD是平行四边形．

　　点评：

此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

　　如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．

　　以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，c，D；

　　证明四边形ABcD是平行四边形．

　　【答案】答案见解析；证明见解析．

　　【解析】如图，四边形ABcD为平行四边形；

　　∵AB=cD，AB∥cD，∴四边形ABcD为平行四边形．

　　3.如图，在ABcD中，点E在边Bc上，点F在Bc的延长线上，且BE=cF。

求证：

∠BAE=∠cDF

　　【答案】证明见解析.

　　【解析】∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴AB=cD，AB∥cD，

　　∴∠B=∠DcF，

　　在△ABE和△DcF中，

　　∴△ABE≌△DcF，

　　∴∠BAE=∠cDF．

　　如图1，在Rt△ABc中，∠ABc=90°，以点B为中心，把△ABc逆时针旋转90°，得到△A1Bc1；再以点c为中心，把△ABc顺时针旋转90°，得到△A2B1c，连接c1B1，则c1B1与Bc的位置关系为　平行　；

　　如图2，当△ABc是锐角三角形，∠ABc=α时，将△ABc按照中的方式旋转α，连接c1B1，探究c1B1与Bc的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

　　如图3，在图2的基础上，连接B1B，若c1B1=Bc，△c1BB1的面积为4，则△B1Bc的面积为　6　．

　　【考点】几何变换综合题．

　　【分析】根据旋转的性质得到∠c1Bc=∠B1Bc=90°，Bc1=Bc=cB1，根据平行线的判定得到Bc1∥cB1，推出四边形BcB1c1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

　　过c1作c1E∥B1c于E，于是得到∠c1EB=∠B1cB，由旋转的性质得到Bc1=Bc=B1c，∠c1Bc=∠B1cB，等量代换得到∠c1Bc=∠c1EB，根据等腰三角形的判定得到c1B=c1E，等量代换得到c1E=B1c，推出四边形c1EcB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

　　设c1B1与Bc之间的距离为h，由已知条件得到=，根据三角形的面积公式得到=，于是得到结论．

　　【解答】解：

平行，

　　∵把△ABc逆时针旋转90°，得到△A1Bc1；再以点c为中心，把△ABc顺时针旋转90°，得到△A2B1c，

　　∴∠c1Bc=∠B1Bc=90°，Bc1=Bc=cB1，

　　∴Bc1∥cB1，

　　∴四边形BcB1c1是平行四边形，

　　∴c1B1∥Bc，

　　故答案为：

平行；

　　证明：

如图②，过c1作c1E∥B1c，交Bc于E，则∠c1EB=∠B1cB，

　　由旋转的性质知，Bc1=Bc=B1c，∠c1Bc=∠B1cB，

　　∴∠c1Bc=∠c1EB，

　　∴c1B=c1E，

　　∴c1E=B1c，

　　∴四边形c1EcB1是平行四边形，

　　∴c1B1∥Bc；

　　由知c1B1∥Bc，

　　设c1B1与Bc之间的距离为h，

　　∵c1B1=Bc，

　　∴=，

　　∵S=B1c1•h，S=Bc•h，

　　∴===，

　　∵△c1BB1的面积为4，

　　∴△B1Bc的面积为6，

　　故答案为：

6．