MATLAB离散傅里叶变换及应用.docx
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MATLAB离散傅里叶变换及应用
MATLAB离散傅里叶变换及应用
一、DFT与IDFT、DFS、DTFT的联系
1、序列的傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
在实际中常常使用有限长序列。
如果有限长序列信号为x（n），则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为
（12-1）
（12-2）
已知x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x（n）的DFT和IDFT。
要求：
（1）画出序列傅里叶变换对应的|X（k）|和arg［X（k）］图形。
（2）画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X（k）］图形进行比较。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length（xn）;
n=0:
（N-1）;k=0:
（N-1）;
Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;
x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;
subplot（2,2,1）,stem（n,xn）;
title（'x（n）'）;
subplot（2,2,2）,stem（n,abs（x））;
title（'IDFT|X（k）|'）;
subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;
title（'|X（k）|'）;
subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;
title（'arg|X（k）|'）;
运行图如下：
从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。
因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N点的离散序列。
2、序列DFT与周期序列DFS
已知周期序列的主值x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x（n）周期重复次数为4次时的DFS。
要求：
（1）画出原主值和信号周期序列信号。
（2）画出序列傅里叶变换对应的
和
的图形。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length（xn）;
n=0:
4*N-1;k=0:
4*N-1;
xn1=xn（mod（n,N）+1）;
Xk=xn1*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;
subplot（2,2,1）,stem（xn）;
title（'原主值信号x（n）'）;
subplot（2,2,2）,stem（n,xn1）;
title（'周期序列信号'）;
subplot（2,2,3）,stem（k,abs（Xk））;
title（'|X（k）|'）;
subplot（2,2,4）,stem（k,angle（Xk））;
title（'arg|X（k）|'）;
运行结果如下：
由这个周期序列的实验我们可以看出，有限长序列x（n）可以看成是周期序列
的一个周期；反之，周期序列
可以看成是有限长序列x（n）以N为周期的周期延拓。
频域上的情况也是相同的。
从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。
3、序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系
求x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，0≤n≤7的DTFT，将（－2p，2p）区间分成500份。
要求：
（1）画出原信号。
（2）画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X（ejw）和相位谱arg［X（ejw）］图形。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length（xn）;
n=0:
N-1;
w=linspace（-2*pi,2*pi,500）;
X=xn*exp（-j*n'*w）;
subplot（3,1,1）,stem（n,xn,'k'）;
ylabel（'x（n）'）;
subplot（3,1,2）,plot（w,abs（X）,'k'）;
axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（abs（X））,1.1*max（abs（X））]）;
ylabel（'幅度谱'）;
subplot（3,1,3）,plot（w,angle（X）,'k'）;
axis（[-2*pi,2*pi,1.1*min（angle（X））,1.1*max（angle（X））]）;
ylabel（'相位谱'）;
运行结果如下：
由图12-3可以看出，两者有一定的差别。
主要原因在于，该例进行DTFT时，X（ejw）在单位圆上取250个点进行分割；而图12-1进行DFT时，X（k）是在单位圆上N＝8的等间距点上取值，X（k）的序列长度与X（ejw）相比不够长。
4仍然用x（n）＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，将x（n）的有限长序列后面补足至N＝100，求其DFT，并与例3进行比较。
程序源代码：
N=100;
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7,zeros（1,N-8）];
n=0:
（N-1）;k=0:
（N-1）;
Xk=xn*exp（-j*2*pi/N）.^（n'*k）;
x=（Xk*exp（j*2*pi/N）.^（n'*k））/N;
subplot（2,1,1）,stem（k,abs（Xk））;
title（'|X（k）|'）;
subplot（2,1,2）,stem（k,angle（Xk））;
title（'arg|X（k）|'）;
运行结果如下：
二、序列的移位和周期延拓运算。
已知
，利用MATLAB生成并图示序列
其中
程序清单如下：
N=24;
M=8;
m=3;
n=0:
N-1;
xn=0.8.^n.*（n>=0&nsubplot（3,1,1）;stem（n,xn,'.'）;grid;
axis（[0length（xn）,01]）;title（'序列x（n）'）;
xc=xn（mod（n,8）+1）;
subplot（3,1,2）;stem（n,xc,'.'）;grid;
axis（[0length（xc）,01]）;title（'序列x（n）的周期延拓序列'）;
xm=[xn（m+1:
M）xn（1:
m）];
xm=[xmzeros（1,N-length（xm））];
subplot（3,1,3）;stem（n,xm,'.'）;grid;
axis（[0length（xm）,01]）;title（'圆周移位序列x（n+m）'）;
运行结果如下：
三、利用MATLAB验证N点DFT的物理意义。
试绘制出
幅度频谱和相位频谱，并分别计算N=8和N=16时的DFT。
程序源代码：
N1=8;N2=16;%设置两种DFT的长度
n=0:
N1-1;
k1=n;k2=0:
N2-1;
w=（0:
2047）*2*pi/2048;
Xw=（1-exp（-j*4*w））./（1-exp（-j*w））;
xn=[n>=0&n<4];
Xk1=fft（xn,N1）;
Xk2=fft（xn,N2）;
subplot（3,1,1）;
plot（w/pi,abs（Xw））;
grid;title（'序列x（n）的幅频曲线|X（e^{j\omega}）|'）;
subplot（3,1,2）;
stem（k1*2/N1,abs（Xk1）,'.'）;
grid;title（'序列x（n）的8点DFT'）;
subplot（3,1,3）;stem（k2,abs（Xk2）,'.'）;
grid;title（'序列x（n）的16点DFT'）;
运行结果如下；
四、利用DFT计算线性卷积
已知序列x1（n）=0.9^n,n=[0:
11];h（n）=R9（n）求x1（n）*h（n）；x1（n）与h（n）的10点圆周卷积。
程序源代码:
n1=[0:
9];n2=[0:
11];m=0:
N1-1;n=[0:
N1-1];N=12;N1=10;x1=0.9.^n2;
x11=0.9.^n1;x2=ones（1,9）;x3=conv（x1,x2）
x5=[x11,zeros（1,N1-length（x11））];
x6=[x2,zeros（1,N1-length（x2））];
H=zeros（N1,N1）;
x6=[x6zeros（1,N1-length（x6））];
forn=1:
N1
H（n,:
）=x6（mod（n-m-1,N1）+1）;
end
x4=x5*H';
subplot（221）,stem（x1,'.'）;title（'原序列x1'）
axis（[-1,14,0.6*min（x1）,1.1*max（x1）]）;
subplot（222）,stem（x2,'.'）;title（'原序列x2'）
axis（[-1,11,0,1.1*max（x2）]）;
subplot（223）,stem（x3,'.'）;title（'x1卷积x2'）
axis（[-1,25,1.1*min（x3）,1.1*max（x3）]）;
subplot（224）,stem（x4,'.'）;title（'x110点圆周卷积x2'）
axis（[-1,15,0.975*min（x4）,1.01*max（x4）]）;
运行结果如下：
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