第3讲 相交线及三线八角尖子班.docx

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第3讲相交线及三线八角尖子班

第3讲相交线及三线八角

知识点1对顶角和邻补角

对顶角

1.对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.

2.对顶角的性质：

对顶角相等.

邻补角

1.邻补角：

两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2.邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3.邻补角的性质：

两个角的和为180°.

【典例】

1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．

【方法总结】

由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度，两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知∠1等于所求的直线a与直线b之间的角度，从而得解.

本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键．

2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．

（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；

（2）若∠AOC：

∠AOE=2：

1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.

【方法总结】

本题主要考查了对顶角、邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．

总结：

两条直线相交所形成的4个角中，只要知道其中一个，就可以求出另外3个.

【随堂练习】

1．（2017秋•海港区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=70°，则∠COE的度数是（　　）

A．110°B．120°C．135°D．145°

2．（2017秋•香洲区期末）如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（　　）

A．44°B．56°C．45°D．34°

3．（2018春•固始县期末）如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度数是（　　）

A．90°B．150°C．180°D．不能确定

4．（2018春•宜城市期末）如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：

∠BOE=5：

2，则∠AOF等于（　　）

A．140°B．130°C．120°D．110°

知识点2垂线

垂线

1.两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2.垂直的模型：

说法：

①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：

两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1.过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2.垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：

垂线段最短.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：

距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.

2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.

（1）写出图中与∠1互为余角的角；

（2）若∠AOC：

∠2=3：

2，求∠1的度数．

【方法总结】

总结：

在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性，过一点作已知直线的两条垂线，这两条直线必重合.

方法：

找一个角的余角时，先找与它相邻的（从垂直和90°角入手），再找与它补相邻的，做到不重不漏.

3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.

4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．

【方法总结】

总结：

①直角三角形中，直角边的长可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离；

②直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高为

，即直角顶点到斜边的距离.

【随堂练习】

1．（2018春•微山县期中）如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，

（1）与∠1互为补角的角是______；

（2）若∠AOC：

∠2=3：

2，求∠1的度数．

2．（2018春•武清区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．

（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；

（2）若∠1=

∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．

3．（2018春•东莞市校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．

（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有___________．

（2）若∠1=

∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．

知识点3三线八角

模型：

1.同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2.内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3.同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

【典例】

1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.

2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

【方法总结】

判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：

①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.

【随堂练习】

1．（2018春•涟源市期末）如图所示，下列说法中：

①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2018春•厦门期中）如图，点E在BC的延长线上，则下列两个角是同位角的是（　　）

A．∠BAC和∠ACDB．∠D和∠BADC．∠ACB和∠ACDD．∠B和∠DCE

3．（2018春•无锡期中）如图，按各组角的位置判断，下列结论：

①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

综合运用

1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．

2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.

3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．

4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．

5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.

6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.

7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．

8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．

9.如图所示：

（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？

（2）与∠C是内错角的有哪些角？

它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？