十九世纪几何学统一的途径.docx

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十九世纪几何学统一的途径

十九世纪几何学统一的途径

摘要

非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。

十九世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公理、公设，产生了各种新的几何学，加上与非欧几何并行发展的射影几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等，这个时期的几何学出现了百花齐放的局面。

由此，用统一的观点解释它们便成为数学家们的重要任务。

克莱因以变换群的思想统一几何学，但该思想却未能包括所有的几何学领域。

希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法，这种方法已经远远超出几何学的范围而和集合论思想成为现代数学统一化趋势的两大推手。

关键词：

几何学的统一；非欧几何；公理化方法

TheWayofUnifyingGeometryinthe19thCentury

Abstract

Thenon-EuclidgeometryappearancehasbrokenthesituationoftheonlykindofgeometrythatisEuclideangeometryforalongtime.Afterthemiddleofthenineteenthcentury,bydenyingalljusticeandaxiomofEuclideangeometry,allsortsofnewgeometry,projectivegeometry,differentialgeometrywhichisparallelwithnon-Euclidgeometryandtopologywhichemergedlateremerged,inthisperiodgeometrypossessedinfiniteandwidedevelopmentprospects.Thus,usingunifiedviewtoexplaintheirwillbecomeanimportanttaskofmathematicians.Kleinunifiedgeometrybythethoughtofthetransformationgroup,butthethoughtfailedtoincludeallofthegeometry.Hilbertputforwardanotherwaytounifygeometrywhichinfluencedmodernmathematicsprofoundly.Themethodthatisaxiomaticmethodhasgonefarbeyondthescopeofthegeometry.Axiomaticmethodandsettheorythoughtbecametwobigpushunifiedtrendofmodernmathematics.

Keyword:

Theunityofthegeometry;Non-Euclidgeometry;Axiomaticmet

十九世纪几何学统一两种途径

张俊青

18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学等应用问题紧密交织在一起，开创了许多数学研究新领域，成为由近代数学向现代数学过渡的重要阶段。

但这个时期的数学家将数学与天文和力学等同起来的反映论数学观也使数学渐渐走入了死胡同，数学内部积累的逻辑和现实的矛盾逐渐酝酿新的变革，并于19世纪初导致了数学研究的井喷式发展，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。

这一时期的几何学经历了由欧氏到非欧、由综合到解析、由平直到弯曲、由具体到抽象的革命性进展，在非欧几何、射影几何、微分几何、拓扑学等领域做出开创性的成绩。

这些进展使数学冲破了反映论、真理符合论的束缚，剥离了其同客观现实的关系，进而使其走下“真理的神坛”，逐渐转向抽象、可能的形式推理和计算的途径，表现出数学中的语言学转向。

[1]不仅如此，除了各种非欧几何外，数学家们还开创了诸如非阿基米德几何、非勒让德几何、非黎曼几何等新的研究方向和分支，将二维、三维几何学推广到n维、无限维几何学，空间元素也不再局限为点，而可以是线、圆、曲面等。

然而，几何学这种研究对象的扩展、研究手段的多样性以及层出不穷的研究成果也使其变得支离破碎，被分割成为许多几乎互不相干的分科，其中每一个分科几乎都是独立地发展着。

[2]在这样的形势下，寻找不同几何学分支之间的内在联系，用统一的思想和观点来统摄它们，便成为数学家迫切要解决的问题。

一、《爱尔兰根纲领》——变换群的观点

统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。

1865—1871年间，在普吕克、凯莱等数学家的工作的影响下，克莱茵首先借用凯莱绝对形的概念，将几种非欧几何统一在射影几何下，沟通了非欧几何与射影几何的联系，使得在射影几何的框架内也能研究非欧几何。

他把凯莱的绝对形二次曲面的性质具体化，当充当绝对形二次曲面是实椭球面，或实椭圆抛物面，或实双叶双曲面时，便得到罗巴切夫斯基非欧几何；而当绝对形二次曲面是虚的时，便得到狭义黎曼非欧几何（正的常曲率）；如果绝对形是球面虚圆，便得到通常的欧几里得几何。

于是欧几里得几何、罗巴切夫斯基非欧几何和狭义黎曼非欧几何等几种度量几何都被统一于射影几何而成为其特例。

在此背景下克莱因还把上述几何学予以重新命名，他把罗巴切夫斯基几何叫做双曲几何，正的常曲率曲面上的黎曼几何叫做椭圆几何，而把欧几里得几何称为抛物几何，克莱因对3种几何学的重新命名体现了他追求几何理论统一性的思想。

进一步，以他和数学家S·李关于群论的工作为基础，1872年克莱因在受聘为爱尔兰根大学教授的就职演说中提出了将群论应用于几何学，对几何学进行重新定义，并在此基础上整理分类的思想，开辟了研究几何学的新途径和方法，这就是后来所称的《爱尔兰根纲领》。

克莱因首先对变换群的概念做了较为明确的描述，即从集合S到它自身的所有变换的集合T如果对其上元素的乘积封闭，且包含任意变换的逆变换，则构成一个乘法运算下的群，简称为变换群。

在此概念基础上，他对几何学的定义是：

几何学是当集合S中的元素在某变换群T中所包含的变换作用下保持不变的性质或不变量的研究，相应的几何学可记为G（S,T）。

[3]

正是这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：

所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。

这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。

[6]

欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质。

平面中的平移和旋转（也称刚性运动）构成一个变换群，可以用代数式表示为：

其中

这些式子构成了一个群的元素，而将这种元素结合在一起的“运算”就是依次进行这种类型的变换。

容易看出，如果在进行上述变换后紧接着进行第二个变换：

其中

那么相继进行这两个变换的结果，就等价于某个单一的这一类型的变换将点（x,y）变成点（

）。

如果在上述变换中，将限制

用更一般的要求

来代替，那么这种新变换也构成一个群。

然而，在这样的变换下，长度和面积不再保持不变，不过一个已知种类的圆锥曲线（椭圆，抛物线或双曲线）经过变换后仍是同一种类的圆锥曲线。

这样的变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何。

因此，按照克莱因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特例。

仿射几何则是更一般的几何——射影几何的一个特例。

一个射影变换可以写成如下形式：

其中

的行列式必须不为零。

射影变换下的不变量有线性、共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等。

显然，如果

并且

，射影变换就成了仿射变换。

以射影几何为基础的克莱因几何学分类中，一些主要几何间的关系为：

射影几何分为仿射几何、单重椭圆几何、双重椭圆几何（黎曼几何）、双曲几何（罗巴切夫斯基几何）；仿射几何又分为抛物几何（欧几里得几何）、其他仿射几何。

在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何和拓扑学，克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限小变形组成的变换的不变性”。

这里“无限小变形”就是一一对应的双方连续变换。

拓扑学在20世纪才获得独立的发展并成为现代数学的核心学科之一，克莱因在1872年就提出把拓扑学作为一门重要的几何学科。

确实是有远见的看法。

艾尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认识的深化。

它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象，同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法。

并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。

二、《几何基础》——公理化方法

克莱因发表《爱尔朗根纲领》时年仅23岁。

1886年，他受聘到哥廷根大学担任教授。

他的到来，使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富科学魅力，在被引向哥廷根的许多年轻数学家中，最重要的一位是希尔伯特。

正是这位希尔伯特，在来到哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法。

公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。

这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理的观点下进行的。

在所有这些努力中，希尔伯特在《几何基础》中使用的公理化方法最为成功。

希尔伯特在总结了整个几何学发展的基础上提出了自己的公理系统和组织公理系统的原则。

在数学史上,希尔伯特的方法被称为现代公理化方法,以区别于欧几里得的公理化方法。

希尔伯特在《几何基础》中列出5组公理，分别是：

1）选择公理；2）顺序公理（含4个公理）；3）合同公理（含5个公理）；4）平行公理；5）连续公理在这样自然的划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确的提出了选择和组织公理系统的原则，即：

1、相容性。

从系统的公理出发不能推出矛盾，故亦称“无矛盾性”；

2、独立性。

系统的每一条公理都不能是其余公理的逻辑推论；

3、完备性。

系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。

在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。

例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平行公理，而保持其余所有公里不变，就可以得到双曲几何；如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭圆几何等等。

这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。

最有趣的例子便是“非阿基米德几何”，即通过忽略连续公理（亦称阿基米德公理）而建造的几何学，这是希尔伯特本人的创造，《几何基础》用整整5章的篇幅来展开这种新的几何学。

希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。

在数学科学领域,它孕育了抽象代数、实变函数论与泛函分析、拓扑学、公理化概率论等20世纪的纯粹数学核心领域。

在物理学领域，它影响了量子力学和相对论的产生与发展。

在经济学中，也引进了公理化，例如一般经济均衡理论的公理化基础。

当然，公理化方法也有其自身的局限。

公理化方法属于演绎思维的范畴。

演绎思维是重要的思维方式，但当然不是惟一的方式，它为人类提供了严格推理的模式，但也存在局限性。

笛卡儿就曾在他的一部生前未正式发表的著作《探求真理的指导原则》中深刻地批判了传统的、主要是希腊的研究方法，他认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，却不能帮助我们发现未知的事情。

[7]从方法论角度看,解析几何显然不是演绎思维和公理化方法的产物。

因此，演绎思维和公理化方法需要与其他科学思维方法相辅相成，相得益彰，科学的进步和发展是不同思维方法的交响乐。

1结语

克莱因的几何学群论思想，以简单明了的方式把相当多的几何学统一了起来。

他给已有的多种几何学提供了一个系统的分类方法，并提示了许多可供研究的问题。

它引导以后的几何学家的研究工作达50年之久，对几何学的发展产生了深刻的影响。

德国数学家希尔伯特于20世纪初发起了公理化运动，提出以“公理系统”作为统一各门数学的基础，更是极大地促进了数学的发展。

这种影响一直持续至今，成为数学家构建数学体系的典范。

统一几何学的思想在20世纪被进一步延伸到整个数学领域中。

20世纪30年代，美国数学家伯克霍夫提出用“格”来统一代数系统的理论；其后，法国的布尔巴基学派继承公理化运动，提出“数学结构”的思想，把数学的核心部分统一在结构概念之下，使之成为一个有机整体。

这些都是统一性思想和方法在数学领域获得的成功。

[5]袁小明,胡炳生,周焕山.数学思想发展简史[M].北京:

高等教育出版社,1993.

[6]张莫宙,朱成杰.现代数学思想史话[M].南京：

江苏教育出版社,1991.

[7]笛卡尔.探求真理的指导原则[M],管振湖译.北京：

商务印书馆,1991.

[8]