七年级周末培优2利用绝对值的几何意义解题Word格式.docx

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8．若|a+1|+|a﹣2|=5，|b﹣2|+|b+3|=7，则a+b=　　．

9．【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．

【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是　　；

若图3，是一个“幻方”，则a=　　．

10．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“

站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣

，

处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“　　站台”．

11．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是

，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是

，则点A2018在数轴上表示的数是　　．

三．解答题（共13小题）

12．若|a|+|b|=4，且a=﹣1，求a﹣b的值．13．已知|a﹣1|=5，|b|=2，|a+b|≠a+b，求ab的值．

14．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：

（1）求|5﹣（﹣2）|=　　．

（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=　　．

（3）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是　　．

15．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．

（1）当x=　　秒时，点P到达点A．

（2）运动过程中点P表示的数是　　（用含x的代数式表示）；

（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．

16．在一个3×

3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×

3的方格称为一个三阶幻方．

（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；

（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．

17．已知：

数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．

（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？

（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．

18．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．

（1）点A所对应的数是　　，点B对应的数是　　；

（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．

19．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6

（1）点B表示的数是　　；

（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　　；

（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．

20．观察下面的等式：

﹣1=﹣|﹣

+2|+3；

3﹣1=﹣|﹣1+2|+3；

1﹣1=﹣|1+2|+3；

（﹣

）﹣1=﹣|

（﹣2）﹣1=﹣|4+2|+3

回答下列问题：

（1）填空：

　　﹣1=﹣|5+2|+3；

（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是　　；

（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．

22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．

（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　　；

（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．

23．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，

（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值；

（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=

AB？

若存在，求此时满足条件的b的值；

若不存在，说明理由．

24．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．

（1）点C表示的数是　　；

（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，

①点C表示的数是　　（用含有t的代数式表示）；

②当t=2秒时，求CB﹣AC的值；

③试探索：

CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？

若变化，请说明理由；

若不变，请求其值．

参考答案与试题解析

【分析】若a，b互为相反数，则a+b=0，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数．

【解答】解：

∵a，b互为相反数，∴a+b=0．

A中，﹣2a+（﹣2b）=﹣2（a+b）=0，它们互为相反数；

B中，a+1+b+1=2≠0，即a+1和b+1不是互为相反数；

C中，a+1+b﹣1=a+b=0，它们互为相反数；

D中，2a+2b=2（a+b）=0，它们互为相反数．

故选：

B．

【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质：

只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；

一对相反数的和是0．

【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．

设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，

8﹣3=5，

8+x﹣3﹣6=x﹣1，

8+x﹣2﹣（x﹣1）=7，

5+6+7﹣7﹣3=8，

如图所示：

P+6+8=7+6+5，

解得P=4．

C．

【点评】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．

A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0

【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．

A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0正确，故本选项错误；

B、若a＜b，b＞0，则a﹣b＜0正确，故本选项错误；

C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0正确，故本选项错误；

D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0错误，故本选项正确．

D．

【点评】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

的最大值是　1　．

【分析】此题要分三种情况进行讨论：

①当x，y中有二正；

②当x，y中有一负一正；

③当x，y中有二负；

分别进行计算．

①当x，y中有二正，

=1+1﹣1=1；

②当x，y中有一负一正，

=1﹣1+1=1；

③当x，y中有二负，

=﹣1﹣1﹣1=﹣3．

故代数式

的最大值是1．

故答案为：

1．

【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．

5．若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n=　4或8　．

【分析】根据|m|=3，|n|=2且m＞n，可得：

m=3，n=±

2，据此求出2m﹣n的值是多少即可．

∵|m|=3，|n|=2且m＞n，

∴m=3，n=±

2，

（1）m=3，n=2时，

2m﹣n=2×

3﹣2=4

（2）m=3，n=﹣2时，

3﹣（﹣2）=8

4或8．

【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是　4　．

【分析】根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：

数轴上一点到﹣2，2和1距离的和，当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小．

|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|表示：

数轴上一点到﹣2，2和1距离的和，

当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小，是4．

4．

【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键．

7．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n=　±

1　．

【分析】由于|m﹣n|+|p﹣m|=1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：

①|m﹣n|=1，p﹣m=0；

②m﹣n=0，|p﹣m|=1；

这两种情况都可以得出p﹣n=±

1；

从而求解．

因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|=1，则有：

解得p﹣n=±

②|p﹣m|=1，m﹣n=0；

综合上述两种情况可得：

p﹣n=±

±

【点评】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键．

8．若|a+1|+|a﹣2|=5，|b﹣2|+|b+3|=7，则a+b=　±

1或±

6　．

【分析】先根据绝对值的性质分类讨论求得a、b的值，再分别代入a+b计算可得．

当a≤﹣1时，﹣a﹣1+2﹣a=5，解得a=﹣2；

当﹣1＜a＜2时，a+1+2﹣a=3≠5，舍去；

当a≥2时，a+1+a﹣2=5，解得a=3；

当b≤﹣3时，2﹣b﹣b﹣3=7，解得b=﹣4；

当﹣3＜b＜2时，﹣b﹣3+b﹣2=﹣5≠7，舍去；

当b≥2时，b﹣2+b+3=7，解得b=3；

综上a=﹣2或a=3，b=﹣4或b=3；

当a=﹣2、b=﹣4时，a+b=﹣6；

当a=﹣2、b=3时，a+b=1；

当a=3、b=﹣4时，a+b=﹣1；

当a=3、b=3时，a+b=6；

即a+b=±

6；

6．

【点评】本题主要考查有理数的加法和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质求得a、b的值及分类讨论思想的运用．

【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是　每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等　；

若图3，是一个“幻方”，则a=　﹣3　．

【分析】根据题意确定出“幻方”需要的条件，确定出a的值即可．

【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．

【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；

若图3，是一个“幻方”，则4+1+（﹣2）=4+2+a，即a=﹣3，

每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；

﹣3

【点评】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．

处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“　

　站台”．

【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP=2PB求得AP的长度，再用﹣

加上该长度即为所求．

AB=

﹣（﹣

）=

AP=

×

=

P：

﹣

+

．

故P站台用类似电影的方法可称为“

站台”．

【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

，则点A2016在数轴上表示的数是　﹣1　．

【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．

∵点A1在数轴表示的数是

∴A2=

=2，

A3=

=﹣1，

A4=

A5=

A6=﹣1，

…，

2016÷

3=672，

所有点A2016在数轴上表示的数是﹣1，

﹣1．

【点评】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．

12．若|a|+|b|=4，且a=﹣1，求a﹣b的值．

【分析】根据已知条件求出b的值，再代入要求的式子，然后进行计算即可．

∵|a|+|b|=4，a=﹣1，

∴b=±

3，

∴a﹣b=﹣1﹣3=﹣4或a﹣b=﹣1+3=2，

∴a﹣b的值是﹣4或2．

【点评】此题考查了有理数的加减，解题的关键是求出b的值，是一道基础题．

13．已知|a﹣1|=5，|b|=2，|a+b|≠a+b，求ab的值．

【分析】先由绝对值的性质求得a、b的值，然后根据|a+b|≠a+b可得到a=﹣4，b=﹣2或a=﹣4，b=2，最后代入计算即可．

∵|a﹣1|=5，|b|=2，

∴a=6或﹣4，b=±

2．

∵|a+b|≠a+b，

∴a=﹣4，b=﹣2或a=﹣4，b=2．

当a=﹣4，b=﹣2时，ab=8；

当a=﹣4，b=2时，ab=﹣8，

综上所述，代数式的值±

8．

【点评】本题主要考查的是求代数式的值、绝对值的定义和性质，求得a=﹣4，b=﹣2或a=﹣4，b=2是解题的关键．

（1）求|5﹣（﹣2）|=　7　．

（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=　1　．

（3）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是　﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　．

【分析】

（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；

（2）根据题意可得方程x﹣3+x+1=0，再解即可；

（3）由于|x+5|表示x与﹣5两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x﹣2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而|x+5|+|x﹣2|=7，则x表示的点在﹣5与2表示的点之间．

（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，

7；

（2）由题意得：

x﹣3+x+1=0，

解得：

x=1，

（3）∵|x+5|表示x与﹣5两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x﹣2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而﹣5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2﹣（﹣5）=7，|x+5|+|x﹣2|=7，

∴﹣5≤x≤2．

∴x=﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，

﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．

【点评】本题考查了绝对值和数轴，关键是掌握绝对值的性质：

若a＞0，则|a|=a；

若a=0，则|a|=0；

若a＜0，则|a|=﹣a．

（1）当x=　5　秒时，点P到达点A．

（2）运动过程中点P表示的数是　2x﹣4　（用含x的代数式表示）；

（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；

（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；

（3）利用当点C运动到点P左侧2个单位长度时，当点C运动到点P右侧2个单位长度时，分别得出答案．

（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，

∴AB=10，

∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴运动时间为10÷

2=5（秒），

5；

（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴运动过程中点P表示的数是：

2x﹣4；

（3）点C表示的数为：

[6+（﹣4）]÷

2=1，

当点C运动到点P左侧2个单位长度时，

2x﹣4=1﹣2

x=1.5，

当点C运动到点P右侧2个单位长度时，

2x﹣4=1+2

x=3.5

综上所述，x=1.5或3.5．

【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出PC的长是解题关键．

（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；

（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求x+y的值．

（1）2+3+4=9，

9﹣6﹣4=﹣1，

9﹣6﹣2=1，

9﹣2﹣7=0，

9﹣4﹣0=5，

（2）﹣3+1﹣4=﹣6，

﹣6+1﹣（﹣3）=﹣2，

﹣2+1+4=3，

x=3﹣4﹣（﹣6）=5，

y=3﹣1﹣（﹣6）=8，

x+y=5+8=13．

【点评】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．

（1）根据题意可以列出相应的等式，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以用代数式表示出点M和点N表示的数，从而可以求得MN的长度．

（1）设经过t秒，点P位于点Q左侧2个单位长度，

6t﹣[4t+8﹣（﹣4）]=2，

解得，t=7

答：

经过7秒，点P位于点Q左侧2个单位长度；

（2）由题意可得，

经过时间t，点P表示的数为：

8﹣6t，

∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，

∴点M表示的数是：

点N表示的数是：

∴MN=|（8﹣3t）﹣（2﹣3t）|=|8﹣3t﹣2+3t|=6，

即线段MN的长度是6．

【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数轴的知识解答．

（1）点A所对应的数是　﹣5　，点B对应的数是　27　；

（1）根据题意找出A与B点对应的数即可；

（2）设经过x秒F追上点E，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数．

（1）根据题意得：

A点所对应的数是﹣5；

B对应的数是27；

（2）