立体几何三大公理应用超级全面.docx

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立体几何三大公理应用超级全面

立体几何三大公理的应用

公理仁如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直

线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：

如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一

条通过这个点的公共直线。

公理3：

过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平

推论1：

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平

推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.

如图，在正方WABCD-A'B'CP中，P是BTy的中点，

对角线力乙Z7平而AB'D二0•求证：

A,Q,P三点共

线.

2.如图所示，在正方体ABCD—ABCD中，E为AB的中点，F为力/的中点，求

证:

（I）E,FfD,C四点共而:

（2）CE,DHZM三线共点.

3.

如图，在正方WABCD-ABCD中，设线段4]C与平WiABC.D,交于点

Q求证：

B,@久三点共线.

4.如图所示，在正方体ABCD—ABCD中，£F分别是AB和加的中点.求

（1）F,C9DIfF四点共而：

⑵CE,D,F,DA三线共点.

5.如图，正方"ABCD-ABCD中，E,F分别为C0t叭CI的中点.

⑴求证：

EtFfBfQ四点共而:

PfOrR三点

⑵若MCC3D二P,A,G,r\昭0.力G与平而EFBD交于点/?

求证:

共线.

6・在正方体力Cl中，E、F分别为DG,ECI的中点，ACnBD=P9A.C.nEF=

⑴若％C交平而EFBD于点乩则D0R三点共线.

⑵证明DE、BF、CCI三线共点.

7.如图，空间四边形力3〃中，H、G分别是力0CD的中点，E、F分别在AB、

%上磅鞘弓・

（1）求证：

E、F、G、H四点共而：

⑵求证：

FG、HE、BD三条直线交于一点.

8.已知空间四边形朋〃中，EH分别"ABfAD的中点，EG分別是％,〃上的点,

CBCD3

求证：

胎四点共面；

⑵三条直线EFfGHfAC交于一点

9.如图所示，在空间四边形力3〃中，E,F分别为AB,AD的中点，G,H分别在

BC,CD±，且BG/GC=DH：

HC=!

：

2-

（1）求证：

EfF,G9H四点共而;

⑵求证：

直线EG、FH、AC交于一点.

10.正三棱柱ABC—ABC,的棱长都为2,D、E、F分别是AB、AG.BC的中点•

（1）证明：

久、G.D、F四点共而：

（2）求异面直线叭C与DE所成角余弦值:

（3）证明：

40CF、厉3三线共点•

11.如图，已知平面a,0?

且0=/?

设梯形力％。

中，ADIIBC、且朋ua,

求证：

AB.CD,/共点（相交于一点）・

12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，△BAD二△FAB二9CL

BCgAD,BEsFA,G,H分别为FA,FD的中点

22

（1）证明：

四边形30胎是平行四边形

（2）C,D,F,E四点是否共而？

为什么？

13•如图，四棱7+0〃中，底而加〃为矩形，P力丄底而ABCD,AB=PA

1,AD二晶E,F分别为棱PDPA的中点.

（1）求证：

B、UE、F四点共而；

（2）求异面直线刖与AE所成的角.

能力提升

一、共线问题

例］•若AABC所在的平面和△ARG所在平面相交，并且直线AAi、BBt.g相交于一点

0,求证:

⑴AB和Ab、BC和BISAC和扎G分别在同一平面内:

（2）如果AB和Ab、BC和BG、AC和AC分别相交,那么交点在同一直线上（如图）・

0

例2•点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQnBC二X,QRACD=ZfPRABD二Y.求证：

X、Y、Z三点共线.

例3・已知△ABC三边所在直线分别与平面。

交于P、Q、R三点，求证：

P、Q、R三点危JU

二.共面问题

例4.直线叭n分别和平行直线a、b、C都相交，交点为A、B、C、D、E、F,如图，求证：

直线a、b、c、m、n共而.

例5・证明两两相交而不共点的四条直线在同一平而内•已知：

如图，直线h,1：

15>两两相交，且不共点.

求证：

宜线h,L,L,L在同一平而内

①®

例6・已知：

AL.B-G和矩、B：

.C：

分别是两条异而直线1,和L上的任意三点，M.

N、R、T分别是AA.BA.B.B:

.CQ的中点•求证：

M、心R、T四点共面.

AMCN例7.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足而二丽

QDPD

（1）求证：

M、N、P.Q共而.

⑵当对角线AC二a,BD二b,且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值佣a,b表示）

答案解析

K⑴证明:

VA^HBBfO,

AAA,.BB：

确定平而BAO,

VA.A,.B、Bi都在平面ABo内，

・・・ABu平而ABO；AbU平面ABO.

同理可证,BC和BC、AC和AlG分别在同一平面内.

（2）分析：

欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内•那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

2证明：

如虱设ABCIAR=P:

acnaicTr：

:

•而ABCnmiAXBICiTR.

・/BCU面ABC；BCU而ABCI,且BCnBG二Q・・・QePR，即P、R、Q在同一直线上・

3解析:

VA.B、C是不在同一直线上的三点

••・过A、B、C有一个平而“

又…•ABrya=P,SlABa0

…•点P既在阳又在M设QCO二则PE/.hU理可证•Q"Rw!

•••PQR三巨共线4解析：

证明若干条直线共面的方法有两类：

一是先确圧一个平而，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平而，然后证明这些平面重合.

证明Va//b,Aiia、b可以确泄一个平而a.

VAEa,aua,AAEa，同理BS

又VAEm.BEm,Amua•同理可证nu（］•

・.・b〃c,・•.过b,C可以确泄平而（3，同理可证mup.

J平而Cl、B都经过相交直线b、m,

・’•平而Cl和平而B重合，即直线a、b、c"InXn共而.

5、解析：

证明几条直线共而的依据是公理3及推论和公理1•先证某两线确定平而a,然后证其它宜线也在U内.

证明：

图①中，LnL=P,

1,丄确泄平而0.

又LAL=A,inm5=C,・・・C,AUa•

故ISU<1.

同理1ca.

:

•IL6Is,Ii共面.

图②中，h,L,Wh的位置关系，同理可证11tL,13,L共而.

所以结论成立•

6、证明如图，连结MN、NR,则MN〃：

U\R〃：

L,且爪N、R不在同一直线上（否则，根据三线平行公理，知1i/71=与条件矛盾）.・•・MN、NR可确泄平而0,连结BC,取其中点S.连RS、ST,则RS〃咕又RNV1=,AN、R、S三点共线.即有SWB，又ST//h9MNV11,AMN//ST,又SWp,.\STuB.

・・・M、N.R、T四点共而.

7解析:

（l）V

AMAO

=k

14BQD

MQ/7BD,且

AMk

・'—

AM+MB1+1

MQ_AM_k~BD~AB7+1

NBPD

PN/7BD,且

CN+NB

NP_CNll

第。

CB—从而NP二BD

I#丄彳，八

・・.MQ£NP,MQ,NP共而，从而爪N、P、Q四点共面.

BM_\BN_\AM"F*

IVC八「

BM_BN_IBM1

MAIVCTBM+MAITT

・・・MN/7AC,又NP〃BD•

MN与NP

所成的角等于AC与BD所成的角.

IMNPQ是正方形，・•・ZMNP二90°•••AC与BD所成的角为90°

又AC二a,BD二b,

••=二I

•—r1—t

又MQfb,HMQ二MN,

即k二-.b

答案和解析

1.【答案】证明：

嵌。

为正方形，

P为刖”的中点，

所以平、AACCC平而>130'二APf

/1S/7平面血Zy二Q,

所以0即在平、ABD±,也在平而缶TGC±,

则0在平而力80,与平^AAeC的交线上，

所以0在AP±,

所以久0P三点共线.

【解析】先证明AP是平*CC与平抽的交线，再证明0是上述两平而的公共

点，则QG>1P-所以A,Q、P三点共线・

2.

【答案】证明:

⑴如图，分别连接EF,A1B,DIC

-EfF分别是M和AAI的中点，

...EF八AB审\D\八fICPBet

・••四边形AIDICB为平行四边形.

aA\B//CD\,aEFIICD

•・EF与CD\确泄一个平而,

•••£庁DhQ四点共而.

（2）•••EF二iCDr•••直线DIF和CE必相交.

设DIFACE二P,

・・•DIFu平面AA1D1D,PEDIF,

••-PW平而AA\D\D.

又CEU平而ABeDPWEC.

••-PW平而ABCD・

・・•P是平面ABCD与平而AAIDID的公共点.

又平而力BCDC平而AAIDID二AD.

••・PWAD,・・・CE,DIF,DA三线共点.

【解析】

【分析】本题主要考查平而的基本性质，解答本题的关键是知道直线与直线、直线与平

面、平而与平而的位置关系，属于中档题.

⑴分别连接EF,A!

BfD1C.E,F分别是AB和加】的中点，EF'二\AB5L

AlDl—BlCl—3CT3边ADCB为平行四边形•证明E,F,D$,C四点共而・

（2）EF二/如直线6F和CE必相交•设D.FnCE=PfDfc平而AAQD证明CE,D£DA三线共占

3.【答案】证明：

在正方WABCD-ABCD中，

M3GQ是矩形，3。

鉄巨形所在平面a内，

人3%是矩形，B久在矩形的所在平而内，

・・・BDI是平而a与平面“相交直线（平而a与平面a的交集）

>4C与平WtIFCQ交于点0,（直线与平而的交集）

•••8、0DI三点

P

（1）如图，连结CDltAB

•・Q是矩^A,BCD,对角线4疋的中点,

矩形AG力另一对角线3久，必过0点

（同矩形的二对角线只有一个交点且平分二对角线）

【解析】本题考査三点共线的证明，是中档题，解题时要认貞・审题，注意空间思维能力的培养•ABCD是矩形，A3C0是矩形,由已知条件得0是矩为％0对角线列C的中点，矩形A（BCD「

一对角线BD-必过。

点，由此能证明反0久三点共线.

4.【答案】证明：

•••E9F分别是AB,4血的中点,

•••EF//BA：

•

HB//D’C9・•・EFIICDv•••£C,E>F四点共而.

（2）・・・EF//CDf9

EF

••CE与DF必相交,

设交点为P,如图所示.

则由PECE.CEu平而ABCD,得PG平IfiiABCD.

同理PG平而4DDVh・

又平而ABCDT7ITADDA=DA,

•••PW直线

•••CE、D,F9ZM三线共点.

【解析】本题考査平面的基本性质和应用.

（1）连结EF,CD,AB推导出AE//DC,从而EF//CD,,由此能证明E,Cf久

F四点共而；

⑵推导出CE与6F必相交，设交点为P,推导出P是平旳朋CD与平八ADDA的公共点，由此能证明CE,DF,ZM三线共点.

5.【答案】证明：

（1）连如图：

在正方WABCD-ABCQ中，EfF分别为CD.的中点

•••EF是卜B（CQ的中位线，•••EF//BD.

又・••为BQ//BD,aEFIIBD,

•••B、D,E,T四点共而.

（2）在正方WABCD-AtBLCLDL中，ACnBD二P,ALG,nEF=Q,

・・・PQ是平而朋/GQ与平而3好的交线，

又因为力Cl交平而3好于点&

・・・R是平而如hGC与平面BDEF的一个公共点.

因为两平面相交的所有公共点都在这两个平而的交线上,

・・.P,0,R三点共线.

【解析】本题考査四点共而的证明及三点共线的证明，关键是利用平面的基本性质及正方体的特征，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养.

⑴由中位线及正方体的特征，可得曰％%，由此能证明D、B、F、E共而；

（2）首先可知％是平而加ICIC与平面G7矿的交线，然后通过/?

是平J/IQQ与平而BDEF的一个公共点，即可得证.

6.【答案】证明：

（1）正方八ABCD-ABCD中，

设44CCI确左的平面为a,又设平而3QFF为0,•••QEAG,.•.QEa,

又QWEF,.・.Q

则0是a与“的公共点，

同理，P点也是a和的公共点，

Aar\p=P09又4C/~\（3二R9

•••RGAG••-REa且RE/?

则REPQ、

故P、0、R三点共线.

（2）VEF//BD.且EF工BD,

•・•DE与肌左相交，设交点为M,

7BFuY三FCCF,QFu平而DCGD"

且平而BCCLBIC平而DCCtD,=CCU

•••MUCC1,

・•・DE,BFtCCI三线共点.

【解析】本题主要考查了三点共线，三线共点的证明，考查点与而，点与线之间的位宜

关系，属于中档题.

（1）由题A,ACGI确定的平而为a,平而BDEF为B■可得aC”二PQ,又J?

Ea且RGQ可得

RWPQ,即可得证：

⑵证明DE与BF的交点M在平而BCCIBI与平三CDDG的交线上即可•

7.【答案】证明：

（1）如图所示，

空间四边形力3〃中，H.G分别是〃.仞的中点，••・HGIIACX

AE

EB

•…EFHAC、

•••EFHHG>

所以£、F、G、H四点共面：

（2）设EH与FG交于点P,

•…EHU平面ABD,

・••P在平而ABD内，同理P在平而BCD内，且平而48DC平面3CD二BD,

•••点P在直线BD±,

.・.直线G7,FG相交于一点.

【解析】本题考査了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确左平面的条件以及三线共点的应用问题.

（1）利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例左理，得到£F、GH都平行于AC,由平行线的传递性得到EF//GH,

根据两平行线确定一平而得出证明；

（2）利用分別在两个平而内的点在这两个平而的交线上，即可证明.

8.【答案】证明：

（I）在ZkMBD和\如中,•・•E、H分别是AB和AD的中点小EH二八BD

2

II2

FG=二

■…eh//fg9

所以，E、F、G、H四点共面.

（2）由

（1）可知，EH//FG,旦_EH^FG,即直线肋，GH是梯形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点P.

・・・/1C是矿和G"分别所在平面力％和平而肋C的交线，而点P是上述两平而的公共

点9

•…由1公理3知IPEAC・

所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.

【解析】本题考査了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、平行线的传递性、以及三线共点的问题.

（1）根据中位线左理，以及平行线分线段成比例立理的引理，我们可得彩仁?

易得

CG、H四点共而；

⑵由⑴的结论，直线EF,GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P,然后结合公理3即可得解.

9.【答案】证明：

（1）・・・E*F分别是AB、AD的中点，

■■■EFIIBDy

•…BG：

GC=DH：

胎二仁2,

•••GHIIBD,

■■

・•・E,F,G9H四点共面：

（2）・・•GH不是BC、CD的中点，

aEF//GH9且EF工GH?

•••EG与阳必相交，设交点为厂

•••EGU面ABC,

・・・P在而力％内,

同理P%三DAC内，

又・••面A8CC'DAC=AC,

・・・P在直线AC±,

.・.直线EG、FH、AC交于一点.

【解析】本题主要考查了平面的基本性质，属于基础题.

（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例左理，得到£F、GH都平行

于BD,利用平行线的传递性得到EFHGH,据两平行线确龙一平而得证.

（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平而的交线上，得证.

10.【答案】⑴证明：

连接”，因为在三角形ABC中，D,F分別是AB和BC的中点，则QF

二IACt又在正三棱柱ABC-ARG中，四边"ACCA为平行四边形，则AC=ACe所以

DF二川/久所以如、5、0F四点共而：

（2）解：

如下图所示，连接DF、GF,

设ClFcIBIC=0,

•・•D、F分别为A乩BC的中点,

Adf//ac9df=^ac9

在正三棱八ABC-AACuG殳AC.

・・・E为41CI的中点，・•・CiE//4C且CIE二£力（？

，

//

•…C.E=D厂

.・.四边形C.EDF为平行四边形，

・••DE//CH

•・•CTARC二0,则异面直线BIC与DE所成角为"0F或其补角,

在RtZkCGF中，八CICF二，CF=1,CC1二2,GF二J5>

//厂CF/厂匚'cWI-\/5

etKiZCFC.二一二一，sU.ZCFCi二一二

又/ZBCT.二2,

4

-WS乙CoF=Wfi（n-（-十ZCFC.）I二—cow匸十ZCFCL）二芈SillZcFCI—半COfiZeTCI

4422

二匹X迺一空X空二迺.

252510

（3）证明：

由题可知四边形A.DFC.为梯形，故4]D与CIF交于一点0,则

0EA,D.A,D[\ABBA,,E'iABBA.

同理可得0G平面BCCLB-

又・••平而ABBAAip=FCCiBi二BBz

•♦•0WBBi,

所以4卩、CF.3丄3三线共点.

【解析】本题考査求证四点共面、三线共点和求异而直线的夹角，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于一般题.

（1）通过求证DF=!

AlC^可求证41、C］、D、F四点共而：

（2）取BC的中点F,连接M\CIF,设C.FnB.C=0,说明异而直线厉C与DE所成

角为ZCOF或其补角，利用三角恒等变换即可求解；

（3）先设仏D与CIF交于一点0,证明0G平八ABBA-0G平而BCCI眄，结合平面ABBA与平而BCCB的交线可知0e加乡从而得证.

11-【答案】证明•••在梯形ABCD中，AD//BC,

AB,〃是梯形力〃的两条腰，

.-・AB,CD必定相交于一点，

设AB「\CD二M・

又・・•ABUa,CDu/?

>

・••MGa,且Me/?

・•・Me（an/?

）.

又・・•aC\P=l9AMEIf

即AB,CDJ共点.

【解析】本题考査平而的基本性质，属于基础题.

由题意和平而的基本性质，证明AB与CD的公共点为两个平而的公共点即可.

12-【答案】⑴证明：

由题意知・FG=GAfFH=HD所以

GH=IAL又％二IAD"故bc所以四边形％胎是平行四边形.

（H）C,DrF,E■四点共而.理由如下：

由3F二G是FA的中点知，二QT即有

//

BE=GF"所以四边形3FFG是平行四边形,所以EF//BG由⑴知BG//CH,所以EFUCHy故EGFH共而・

又点D在直线FH上

所以C,D,FfE四点共而.

【解析】⑴由已知得GH="ADXBC=\肋＞故GHU疋八由此能证明四边形

BCHG是平行四边形.

（U）由BE=!

AFfG是FA的中点知，*/少＞从而得到四边形BEFG是平行四边形，由此能推导出C,D,

F,E四点共而.

本题考査了平而的基本性质，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，属于基础题.

13.【答案】解：

⑴在AMD

7八

中，由E、F为PD,PA中点

Ax

得，EF为中位线,即EF//

AD,又•…底面为矩形，ADH

/:

\、

BC,aEF//BC,

•••由平行线确左唯一平而得E、

/”二yr

F、ByC在同一平而上•

（2）如图，以A为原点，AB为兀

轴，AD为y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系,

依题意得:

4（0,0,0）,8（1,0,0）,

P（0,0,1）,E（0,裁），

PB-（%。

0,—1）,乔二（0罟,》，

0\PBAE\TV2

"S&二\飞\二八二十

•••异面直线PB与胚夹角为：

arccos手.

【解析】

（1）要证B、C、E、F四点共而，只需证明&力G进而求解：

（2）以A为原点，AB为X轴，AD为y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系，进而求解；

考查空间内的点共面的证明，异而宜线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题;