炎德英才大联考长郡中学届高三高考模拟一文科数学试题含答案和解析Word格式.docx
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近线的平行线，与两条谶近线的交点分别为A.B■若平行四边形PAoB的面枳为「
则双曲线的标准方程是
1
11.巳知圆偉Sol的頂点和JS面圆周均在球O的球面上■且该圆锥的ι⅛为8,母线SA=12,点B在SA上，且SB≈2BA.则过点B的平面袖该球O裁得的截面面积的嚴小值为
A.27«
B32κC.45λD.81兀
数学〈文科〉试题（长郡版）第2页（共5页〉
12•已知甬数/（M）=FrlT*r>
°
'
/若方程Jf（Z）—工一α=0有3个不同实数根•则实—J—（IJCII
数α的取值范围是
A,<
0J>
C.（-1,0）
B.（-2,-1）D.（—∞f-l）
15.已知椭圆^+g=l（α>
6>
0）的离心率为纺短轴长为2,点P为椭圆上任意一点.则τ⅛r+τ⅛τ的最小值是
16•阿波罗尼斯（古希腊数学家,约公元前262—190年啲菁作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果•它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地•他证明
后人将这个圆称为阿氏圆•现有ΔΛBCfAC=6.sinC=2sinAt则当ZkABC的面积最
三、解答題:
共70分.解答应写出文字说朋、证朋过程或演算步■•第17-2IH为必垮题•每个试題寿生都必殖作答.第22.23題为选希JH,君生根揭宴求作答.
（一）必考题;
共60分
17.C本小題满分12分）
已知数列U,｝中g=l∙qt>
O∙前刃项和为S.,若Λw=√⅛+√SZ7（n∈N∙•且刃N2）・
（1）求数列｛α.｝的通项公式；
⑵记G=荟花求数列｛Q的前rτ项和7\・
18.
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥M-ABCD中.AB丄ADlAB=AM=AD=2,MB=MD=辺.
（1）证明;
平面AEM丄平面ABCDi
（2）若CD∕∕AB.2CD=ΛB.E为线段BM上一点，且BE=2EM,求三棱锥D-CEM的体积.
19・（本小题满分12分）
已知抛物线Cly2=4工的備点为F■点A（α∙2）∙点P为抛物线C上的动点.
⑴若IPA∣+1PFI的最小值为4•求实数Q的值；
（2）设线段OP的中点为M,其中O为坐标原点•若ZMOA=ZMAO=OF.求
ΔOPA外接圆的方程.
20.（本小題满分IZ分）
为推进中小学体育评价体系改革,某调研员从一中学4000名学生中按照男、女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试（满分100
分叭记录他们的成绩，将记录的数据分成7组；
（30,40],（40,50],C50,60],（60,70],（70,80]t（80r90],＜90t100]r并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据该频率分布直方图•估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩〈同一
组中的数据用该组区间的中点值作代表）（辖确到0.01＞；
（2）已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相
等,试估计该校男生和女生人数的比例,
数学（文科＞试题（长郡版》第4页（共5页）
⑶若测试成绩j<
J~25（Λ中孑是成绩的平均值“是标准差）・则认为该生测试成绩不达标•试估计该中学测试成绩不达标人数.
参考公式!
S2=Σ（x.-i）2A（A是第j组的频率），其中√2¾
1.4,∕∏7≈10.&
21•（本小题满分12分）
已知函数f（J）=Inx÷
^χ÷
2>
⅛∈R.
（1）讨论函数八工）的单调性：
⑵若函数$（工）=三一工十2・当上=—1且O<
α≤灵求证∙^（x）>
∕（x）.
OJCW
（二）选考题:
共10分•请考生衽第22.23题中任选一题作答•如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小題满分10分）选修4-4：
坐标系与暮数方程
在平面直角坐标系XCb中，曲线Cl的參数方程为r=j+2cosP9为参数以坐Iy=ZSlnφ
标原点为极点,工轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为P=4s⅝nBi
（1）写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程$
设点M的极坐标为〈4,0）,射线G=α（θVαV于）分别交G,C2于A,B两点（异于极点）•当ZAMB=于时,求tanα.
23.（本小题満分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知x,y9z均为正数.
（ID若证明:
∣x+ε∣・Iy+zJ>
4j∙w;
⑵若工f=*•求2"
・旷∙2r*的最小值・
UI•英彳2黑考长郡中学2020届高考模拟卷
（一）
数学（文科）参考答案
一・选择题
題号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
LC【解析】由∙r（∙r-2〉<
0・解得M={χ∣O<
x<
2>
•所以MnN={1}•故选C.
2.B【解析】由（l-2i）r=2+αi,得曲黑：
；
黑=+
（2-2α=Ot
••I为纯虚数即α=l.故选K
4+α≠O>
3∙A【解析】山題盘得α+b=（2A+2M+l>
.∙∙∙（α+b>
丄a,∙∙.3（2Zr+2>
+d+l）=0∙解得怡=一1・故逸A.
4.B【解析】从写有1,2,3,4的1张卡片中随机抽取1张,放回£
再随机抽取1张，基本事伴的个数为4X4=】6•抽碍的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）共6个，因此抽得的第一张卡片上的哉大于第二张卡片上的数的概率为斋=寻•故选B.
5.D【解析】T3“cosC=4csinAt∙∖dj正孩定理可碍3sin∕∖cosC=4sinCSinA»
VSinAMO・Λ3∞sC==4sinG即CoSC=-JrSinCt
（舍夫）•
ΛsiI?
C+cossC=sin2C÷
ysin2C=ysin2C=1,解得Sin（：
=#或SinC=-I
∙"
=4∙ZVW（:
的面积S=IO=4^'
nC=4-×
Λ×
4×
⅜∙.∙.if得°
=年・故选D.乙乙心d
6.
C【解析】眼据趙意画出图形•取ED的中点P■连AIWF.
・・・PD//FC卫PD=FC,・・・四边形PDCF是平行四边形，PF^DCAPF=DC・
又•・・四边形ABCD是正方形•可AB//ΓX'
XLAB=DC,itAB//PF且AB=PF.
・・・四边形PABF是平行四边形，・•・BF//AP且BF=AP,故ZEAP为异面克线AE与BF所成角.
在RIAAPD中•根据勾股定理可得:
ΛP=√ΛD2÷
DP2=√27÷
1γ=√5.
8+5-1
在RtΔEAD中•根捋勾股定理可彳FAE=√W十EDZ=√2H7F=2√2.在ZsEAP中•报据余弦定理:
EP∙=EΛ2÷
ΛP2-2EA∙AP∙CoSZEAP∙
可goMEAP=字灼7尹=牢宀=宀=噜•故选C
2EA∙AP2∙2√2∙√5√2∙√5】。
7.C【解析】函ft/Cr）==In（X2÷
1）
则/（-j∙）=■£
（Ll）—/（工），所以/（∙τ）为奇岳∙U・排除B选项；
当∙r→+χ时∙7-→÷
∞•所以排除A选项；
当El时J（l）=i⅛=⅛UA¾
pU3∙4.排徐D选项；
综上可知∙C为正确逸项•故选C.
&
A【解析W=IW8满足•执行第一次循环.S=0+（-n,×
l2=-l.∣=l÷
］=2;
i=2≤8成立,执行第二次循环,S=-1÷
C-1）2×
22=3J=2+1=3∣
i=3≤8成立•执行第三次循环tS=3÷
（-l）3×
32=-6J=3÷
l=4∣
i=4≤8成立•执行第四次循环tS=-6÷
（-l）4×
42=lOu=1÷
l=5;
∣=5≤8成立■执行第五次猫环■S=10+（—1）s×
5*=-15u=5-1=6；
∕=6≤8成立.执行第六次猶环,S=-15+（-1）∙×
62=21J=6-1=7;
i=7≤8成立，执行第七次猫环,S=21÷
<
-l>
τ×
7τ=-28U=7-l=8∣
i=8≤8成立•执行务八次緒环∙S=—28+（—1+X8'
=36M=8—1=9；
i=9≤8不成立.眺出循环体•输出S的值为36•故选A.
9.Λ【解析】法一:
∕3*n（g+∙∣）的图象向右平移晋个单位攻度得到Z〉=Sin［缶一弩）+青］・Xa）与f<
j∙）关于工轴对称，则g（x>
÷
∕（x）=0»
令Car+-^-=Q.则Sinα+sin（α-警）=0,于是一警=2虹+2WZ〉・解得s=-3A~∣∙gZ）,故3的遥小正值是务故选A.
法二：
图象向右平移誓个单位长度后与原函敎的图SL关于才轴对称.则平移了半个周期的奇软倍.于是有李=JL（2Λ+1）"
"
）∙即©
=%+孕以"
》，故3的遥小正伉是斗•故选A.
OU）LL
10.C【解析】据赵意.双曲线的半c=√5•
可设一条平行线方租为J-ZW=-Acr-√5）.d,.
I洛-a∕∕r÷
>
∕56
WrfTJ"
λ—stI）LZb
y≈m（χ-√5）♦
ma+頁b.加I=I矽一m2/I=3
~2Λ~∙Va1+lr—2ab一刁
K-⅝~T^r=l=>
5^2-a2mz=a2lr∙.IaO=寻•
QrIrL
又c=√5,解得a=警M=攀.所以双曲找的标准方程是γ--ξ-=l.故选C.
T~2
11.B【解析】知图所示：
设球的球心为O.半径为R•则Sol=8.0A=R,AO1=VSAI-W=4Λ・所以（3A2=∞γ÷
AQ2,即Λ2=<
Λ-8）2÷
（4√5）∖解得尺=9,
取SA的中点N•则BN-2,
所以（）N=√R2-AN2≡3Λ,O∕3≡√OΛ,2÷
Bλr2≡7.
设点C为哉面圆周上一点
若哉面面积股小，則OlJ丄戢面•此时裁面S）半径为r-√∕<
--OB-=4√2,
所以截面而积的妊小值为πr≡-32π.故逸B
12.D【解析】当克钱y=ι∙+α与曲线y=lnX相切时，
设切点为（/Unf）,则切线斜■率Zr=（Inχ）'
r=f=^-=1»
所Λ∕=l∙Fpl+u=0>
解得a=-}.
又当∙r≤0⅛√（χ）=^+α<
=>
Cλ∙+1）（χ÷
β）=0.所以：
（1）当U=-I时∙lnH=A+o（h>
0）有1个实数檻•此时（x+l）（x+u>
=0（^≤0）有1个实数根•不滿足題意；
（2）当α<
~lfl∙ΓJnj∙=x+α（∙r>
O）有2个实数根•此时（βr+1>
（x+α>
=O（j≤（）>
有1个实数根•满足¾
⅛*
（3）当u>
~∖时Jnx=x÷
^（x>
0）Λ实数根•此时（x+l）（x÷
α）=（）（x≤0）有2个实数根.不满足题意.
煤上得«
-b故选D.
二、填空题
{log3（3—1
13.Iofo3【解析】函数/Cr）=若/（α-l）=⅛∙
∣2j-Uτ>
0f2
当4—1≤0即α≤l时,log√3-“+1）=*,解得«
=4—√f2>
lt舍去.
当α-l>
O即QI时.2--,-l=y,解符α=log23>
l,成立.
14∙⅛【解析JvSinα=2cosα,Λtanα=2∙则Ian2α=τw■；
—?
-=―•
∖LI-UIrra3
.sin?
2q—2c∙os^2α=$in?
2g—2COS'
2α=sin?
2a—2co"
2g=mn?
2a—2=（3）?
=J_
∙Sin（Jr—4a）Sin4a2stn2a∞s2a2tan2a∙2χ（）12*15•晋【解析】据題对=彎』=1・解得a=2∙c=√J•于是IPFl|+∣PF2∣=2u=4,
所以IPLl卜Ipf2I=~4（IPFIl+IPkP（I/，F,1+1PFZ1）=÷
（≡÷
≡÷
W）H^>
=÷
当且仅当IPFzI=2IPF】I,即IPF2∣=y,∣PFl∣=*时等号戒立.
16.√5-1【解析】・・・sinC=2sinA,・••懦j∙=紿=2为非常数，故点B的铁迹是圆.以线段AC中点为原Λ,AC所在比饯为才轴Jt立直向坐标系•则Λ<
-3∙0）.C（3.0）.设B5y）,•・TABI=21CBI,√（x÷
3）2÷
y=2√<
r-3）2+y,
jj+jς—l（λr+9=0•整理得（工一5F+y=16・
因此，当△八BC曲积最大时，AC边上的高为圆的半径4.此时IBCl=√22+l2=2ΛtIAB∣=4√5,设內切圓的半径为r.fi∙Jy×
6×
4=y×
（4√5÷
2√5+6）r.解得r=石*=岛一1・
三、解答题
17.【解析J（I）M列｛“・｝中心=S∙-S"
τ5W2、J.«
2）①,
又^=√^÷
√S^7（m∈N∙,Λ∕∕≥2）②•
•1分
①÷
②可得：
/可一Jr=I•则数列｛√sj是以血=1为首项•公差为1的等差数刊・则√S7=l+（w-l）=∕N则S.=√,
当m≥2时,“（I=SIt—S._i=2n-l,a】=1也轩合该式，
则at9=2n-l.
⑵由
（1）的结论碍宀=2”一1,则G==
则τ∙=⅛÷
⅛÷
⅞1÷
∙∙∙+2^"
n
4分
】&
【解析I（I）V在四ABCD中丄八DJB=AM=人D=2∙MB=MD=2Q∙
AAB2+AA护=BlVf∙AD?
+AM2=DM•
ΛAB丄AM∙AD丄AM∙
VAD∩AB=A∙ΛAM±
平面AIiCD.
又AMU平面AliM.所以平面ABMl平面ABCL）.
（2）i£
UBD.∖∙BE=2EM・ΛSδTOf=…
于是Vrfmf=VC-«
31=*yVc-MiAf=*%lλ∏）■…又∙.∙CD∕∕ΛIi.ΛIi±
ΛD,ΛCD±
AD,
■SAaB=当XCDXAD=∙^∙X1X2=If
112
∙*∙VrM-If7；
=—Samp∙MA=^X1×
2=^^∙>
19
PPVD-（KlVf=-β-VzΛI-HD=-g∙.12分
19.【解析I（I）Ib¾
.F（l.0）.线段AF与抛物线C没亦公共点，即a>
1时，
设点卩在抛扬线准线X=-I上的射彭为D•则DJ∖Λ三点浜线时，
∣PA∣÷
∣PF∣的直小值为IADl=«
-<
-1）=4.此时“=3.3分
若^flAF与抛物线C有公共点•即a≤l时•
则A.P.F三点共线时>
IPΛI÷
IPFl的赧小值为MFl=√（a-l）i÷
2i=4.此时a=l-2√3,嫁上•实数a的值为3ΛI~2√3.
（2）因为ZAOl=^MΛO=ZAOF•所以MA∕∕x轴且IMol=IlvfZIl=IMPh8分
设MS2〉.JNP（2∕∙4）∙代入扌乜物线C的方程解得&
=16"
=2∙10分
于是IMOl=IMAl=∖MP∖≈2j2•所以△（）PA外接圆的方程为（χ-2>
2+（jr-2）2=&
12分
20.［解析】
（1）Y70+皿3二色・妙芒幫±
?
・.0.1如.922XIOQ7］.67,
・•・估计样本救塢的中位数是71.67.2分
V（35X0.005+45X0.O1÷
55XO.Ol÷
65×
O.O2+75×
O.O3÷
85XO.02+95×
0.（M）5）X10=69.
・•・估计4000龙学生的平均成绩为69分.I分
（2）V400×
（0.02×
2÷
0.03+0.005）×
10=300t300÷
2=150f
・•・分数高于60分的男生为150人.
・•・样本中男生人救估计为150÷
^-≡225.6分
・；
样本中女生人数估计为400-225=175,
•••估计该校男生和女生人软比例为9：
7.8分
（3）V（35-59>
2×
O.05+（45—69）2X0∙1+（55—69尸X0∙iψ（65-69）2×
0.2÷
（75-69）2XO.3+（85-
69）2XOe2+（95-69FXO.05=234•
且√234=√2×
/∏7=1.4×
1O.8=15.12∙10分
∙∙∙Y69-2X15∙12•得Y3&
76.
3«
76—30
VdOOOX—^—XOeOO5×
1O=175.2^175∙
・•・估计该中学测试成绩不达标人数为175・12分
21•【解析】
（1）函数的定义战为（0・+8）./（工〉=丄+点=如土1.1分
・7∙7
当Λ≥0时√（x）>
0.故藹教/Cr）在（0,+∞）单调递增；
2分
当上VO时，令Z（X）=0,解得X=-Y>
0,
故函Λ∕ω在（0,_+）单训递増，在（一y,÷
oo）单训递减.4分
（2）根据已知条件•/（才）=Injr—才+2■要证χ（∙r）>
∕（∙τ）■即证er>
αrln寸5分
1当OVx≤1时∙er>
hα^lnx≤0∙5.然成立：
6分
p21
2当丄>
1B1Sjln∙r>
0■誥合已知0VUW豆可得，0<
“丄111«
^豆*“2、
于是问题转化为er>
*d∙τl2,即证笔二TnJr>
0,7分
令ACr）=Inj∙（j∙>
0）•艶］"
（«
r）=~•令φ（x）=2e1^2（j-1）—x»
则/Cr）=Ner7-l且在（0,+∞）单调递增.
TyZ（I）=彳一IVoT
（2）=3>
0∙
•••存在J∙oe（l∙2）.使得d（n）=°
∙即2j∙oero-2=l∙9分
Λφ（χ）^（l,χ0）≠调递减,在（Jo,÷
∞）单调递增，又肛I）=-IVo,祕2）=0,
故当x∈（L2）⅛,Λ,（x）<
0∙Λ（j）≠调递减•
当x∈（2,+∞>
时j∕ω>
o√ιω单调递增，
12分
.∙.Λ（x）≥Λ
（2）=1一In2>
0,故Λ（χ）>
Of即得证・
22.【解析J（I）V
x=2+2∞sφt
（护为¼
ft）t
J/=2Sinφ
•••曲线G的普適方程为（χ-2）2+y=1>
即疋+y2一4==O∙
VX=^COS0∙βy="
inAp2—4pcosO=O•
•••曲线IG的极坐标方程为p≡4cos8∙3分
C2的极坐标方程为p=4sin0∙化为立角坐标方租为2）2=4（⅛x2÷
y2-4>
=0）.5分
⑵依题意设ACPlQ∙Bg』儿
（ZZ=σ∙（0=α∙
•；
由（得Ql=4COSα∙由<
得卩2=4Sinα.
（p=4rosΘI/）=4SinΘ
β∙eO≤α≤~γ*»
：
.p\>
g•
ΛIABl=IQAl-IoBl=p↑—化=4COSa—4sina.
•：
（）M是圆G的立径，∙∙∙Z（MM=手・・•・在RtΔ<
λ4M中，∣AM∣isina,
・・•在RtΔB,AM中,ZAΛ1B=,Λ∣AB∣=IAMl,
即4cosa_4sina=4stna∙
∙∙.4cosa=8sina∙即VIna=*•10分
23.【解析】
（1）S*,Z均为正數，
Λ∣∙r÷
s∣∙∣>
f÷
≡I=（Jr+sr）（ιy+≡r）22>
fxz•2>
fyz=4τJXy^
当JL仅当文=Iy=土时取等号•3分
XVOOy<
1»
Λ4z√7^>
4qn∙∙∙∙1工十Hl∙∣jH^T>
4pN∙∙∙∙∙5分
（2）V-X¾
-=v•即丄+丄+丄=3.
X-Ty十N3yzXZXy+⅛^2λΛs∙i=2^≡÷
⅛≥27j∙≡∙i=2*
xy÷
-≥2a∕tj•—=2•当且仅当x—y—z—1时耳I等号.8分
∙5+w+h+盘+初+±
N6,∙5+w+Q3,
Λ2jy•2*•2血=2矽+产+反$8,・・・2矽•2其∙2fτ的最,卜值为8.10分
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