北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习含答案.docx
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北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习含答案
图形的相似专题练习
1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1∶9B．1∶25
C．9∶25D．3∶5
2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
图2
A．4∶9B．2∶5
C．2∶3D．
∶
3．如果3A＝2B（AB≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（ ）
图4
A．3B．6
C．9D．12
5．在下面的图形中，相似的一组是（ ）
A）
B）
C）
D）
图5
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A）
B）
C）
D）
图6
7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90m，EC＝45m，CD＝60m，则这条河的宽AB等于（ ）
图7
A．120mB．67.5m
C．40mD．30m
8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A）
B）
C）
D）
图8
9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果
＝
，AC＝10，那么EC＝________．
图9
10．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是_________米．
图10
11．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3.2cm，则AB的长为_________cm.
图11
12．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为__________．
图12
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A（－1，2），B（－1，0），A′（－2，4），则B′的坐标为___________．
图13
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，－2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；
（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？
若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
图14
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°.
（1）求证：
△ADE∽△BEC；
（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．
图15
16．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.
（1）求证：
△ABF∽△BGC；
（2）若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．
图16
17．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：
（1）DG2＝BG·CG；
（2）BG·CG＝GF·GH.
图17
18．如图，一圆柱形油桶，高1.5m，用一根2m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2m，求桶内油面高度．
图18
19．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．
图19
20．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：
（1）如图2，将含30°角的三角板DEF（其中∠EDF＝30°）的锐角顶点D与等腰△ABC（其中∠ABC＝120°）的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__（直接填在横线上）；
（2）其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？
请你在图3上补全图形，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？
请说明理由；
（4）根据
（1）
（2）的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得
（1）中的结论仍然成立？
若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．
图1）
图2）
图3）
图20
参考答案
【过关训练】
1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D
9．__4__
10．__10__
11．_9.6__
12．_
__
13．（－2，0）_
14．解：
（1）如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为（4，2），（2，－4）；
（2）如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为（0，2），（－1，－1）；
（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为（－4，2）．
15．[解：
（1）证明：
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵∠DEC＝90°，
∴∠AED＋∠BEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∴△ADE∽△BEC．
（2）∵△ADE∽△BEC，
∴
＝
，即
＝
，
∴BE＝
，
∴AB＝AE＋BE＝
.
16．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCG＝90°.
∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
∴△ABF∽△GBC．
（2）∵△ABF∽△BGC．
∴
＝
.
∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，
∴BC＝2，CG＝1，
∴BG＝
＝
，
∴
＝
，
解得AF＝
.
17．证明：
（1）∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠BDC＝∠DGC＝90°，
∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，
∴∠GDC＝∠DBC，
∴△BDG∽△DCG，
∴BG∶DG＝DG∶CG，
即DG2＝BG·CG.
（2）同
（1）中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，
∴BG∶GF＝GH∶CG，
∴BG·CG＝GF·GH.
18．解：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴
＝
，即
＝
，
解得AE＝0.9m，
∴EC＝1.5－0.9＝0.6（m），即油面高0.6m.
19．解：
设AH＝x，BH＝y，由题意知，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴
＝
，
＝
，
∴3x＝1.5×（y＋3），5x＝1.5×（y＋30＋5），
解得x＝24.
则旗杆AH的高度为24m.
20．__△APD∽△CDQ__
解：
（2）成立，如答图．理由如下：
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.
∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，
∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ.
（3）△APD∽△DPQ.
理由如下：
∵△APD∽△CDQ，∴
＝
.
∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，
∴
＝
，即
＝
.
又∵∠PAD＝∠PDQ＝30°，
∴△APD∽△DPQ.
（4）△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为（180°－2α）的等腰三角形即可．
理由：
∵∠ABC＝180°－2α，
∴∠A＝∠C＝α.
∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，
∴∠APD＝∠CDQ.
又∵∠A＝∠C，
∴△APD∽△CDQ.
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