1芦台一中 乔树华《椭圆的简单几何性质》第一课时教学设计.docx

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1芦台一中乔树华《椭圆的简单几何性质》第一课时教学设计

第九届全国高中青年数学

教师优秀课展示与培训活动

2．2椭圆

椭圆的简单几何性质（第1课时）

（人教A版高中课标教材数学选修2-1）

教学设计

授课教师：

乔树华天津市宁河区芦台第一中学

2018年10月

《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计

天津市宁河区芦台第一中学乔树华

一、教学内容解析

1.内容

本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用.

2.内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质.椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.

从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：

利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.

二、教学目标设置

1.教学目标

（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.

（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.

（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解.

（4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.

2.目标解析

（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.

（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.

（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.

（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.

三、学生学情分析

学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.

本节课的教学难点是：

学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.

本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.

对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.

四、教学策略分析

根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率

的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：

1.任务驱动教学法：

利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；

2.演示教学法：

学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；

3.启发式教学法：

在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；

4.学法：

以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.

五、教学过程设计

（一）创设情境、建构概念

1.情境创设：

让学生观察建筑中国国家大剧院，它与湖中倒影的正视图呈椭圆形，进而引出课题.

2.知识回顾：

椭圆的标准方程：

当焦点在

轴时，

当焦点在

轴时，

【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫.

3.活动创设

课前布置预习作业：

你能否利用所学知识，在同一坐标系中画出方程

和

所表示的曲线.课上分组展示学生的成果,并让学生观察他们有什么几何特征.

预设可能出现的情况：

预设1：

先判断其为椭圆，再利用定义画图；

评价预设：

学生对刚刚学过椭圆的定义理解较深.

预设2：

先判断其为椭圆，寻找到与坐标轴的交点，画椭圆；

评价预设：

寻找画图的关键点，提高画图容易度.

预设3：

先判断其对称性，只需精确画出其第一象限的图象；

评价预设：

发现椭圆的对称性，可以给画图带来方便.

预设4：

从函数角度出发，利用描点法作图.

评价预设：

将其转化为函数，利用函数图象的画法作图.

【设计意图】数学是现实世界的反映.从学生感兴趣的问题出发，创设思维情境，让学生在动手操作的过程中重温方程和曲线的关系，直观感受椭圆的几何特征，自然引出本节课的课题.

（二）独思共议，引导探究

通过画具体的椭圆，由特殊到一般，提出一般的椭圆会有哪些性质.

以椭圆

为例研究椭圆的几何性质.

探究一.椭圆的范围

o

问题1：

椭圆大小如何刻画?

问题2：

该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?

纵坐标呢?

（预设：

学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:

图形观察很直观）

问题3：

你能否用方程说明该范围?

追问：

范围可以由不等关系求出，如何建立

的不等关系?

（先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果）

从方程上看：

预设1：

因为

所以

故可得

，同理可得

.

预设2：

由椭圆方程

中实数平方的非负性可得

，

，

所以

，

.

预设3：

利用三角换元：

设

，则

，

所以

，

.

教师总结点评：

利用方程中变量的非负性，判断其它变量范围的方法，是解析几何中利用方程研究曲线范围的一般方法.

【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，理解椭圆

位于直线

和

所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性.

探究二.椭圆的对称性

问题1：

椭圆具有怎样的对称性?

师生活动：

学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.学生在必修2《直线的方程》和《圆的方程》的学习中经历过对曲线对称性的探究过程，此外学生还可以类比函数的奇偶性的研究方法得到椭圆的对称性，并给出椭圆中心的定义.

预设：

学生可能会从图形和方程的角度得到.

（教师通过几何画板演示）（此问题对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，要强调在椭圆上“任取一点”）

问题2：

能否用椭圆的方程说明该对称性?

（小组讨论2分钟，找代表发言）

（教师动画展示）椭圆上任取点

，关于

轴的对称点

也在椭圆上，说明椭圆关于

轴对称，关于

轴的对称点

也在椭圆上，说明椭圆关于

轴对称，关于原点的对称点

也在椭圆上，说明椭圆关于原点对称.

即坐标轴

轴和

轴是椭圆的对称轴，原点

是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心.

强调：

利用曲线上任意一点关于坐标轴和原点的对称点仍在曲线上来判断曲线的对称性，也是利用方程研究曲线对称性的一般方法.

问题3：

研究曲线的对称性

【设计意图】学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.教师通过信息技术的引入，让学生理解图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，即利用曲线上点的坐标的对称性，可以实现曲线的对称性.并通过练习题，让学生学以致用，体会研究曲线对称性的一般方法.

探究三.椭圆的顶点

问题1：

观察椭圆图形，他有哪些特殊点?

问题2：

这些点的坐标是什么?

利用学生描点画图时的特殊点，引入椭圆的顶点，让学生感受图形中某些特殊点在确定曲线位置时的作用，从而得到顶点定义，即椭圆与对称轴

轴和

轴的四个交点.并指出长轴，短轴和长半轴长，短半轴长等相关概念.

【设计意图】让学生明确顶点等相关概念，理解顶点与对称性的关系.

探究四.椭圆的形状——认识椭圆的离心率

问题1：

用什么量可以刻画椭圆的扁平程度?

学生活动：

小组合作，利用椭圆的定义画椭圆，

（小组合作讨论，相互交流，小组展示）

预设1：

；预设评价：

学生可能从椭圆的定义出发，发现画椭圆时

的变化对椭圆形状的影响.

预设2：

.预设评价：

学生可能观察预习作业中两个椭圆的扁平程度得到.

师生活动：

小组展示探究成果.学生观察当

保持不变时，随着

的改变，椭圆圆扁程度的变化，发现椭圆随着

的增大而变扁，随着

的减小而变圆.教师利用几何画板动态展示，并给出离心率的概念，并引导学生求出椭圆离心率的范围，

【设计意图】让学生从具体问题中抽象出离心率的定义，信息技术的引入不仅可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，让学生深刻地理解定义，更有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养，不断积累数学活动的经验.

问题2：

离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度?

预设：

越接近于0，则

越接近于0,即

越接近于

椭圆越接近于圆；

越接近于1，则

越接近于

，即

越接近于0,椭圆越扁.

（让学生用逼近的思想想象当

时，椭圆接近于圆，当

时，椭圆接近于一条线段.）

【设计意图】利用等价转化的思想刻画椭圆的扁平程度，加深学生对椭圆的核心性质离心率

的认识与理解.

（三）类比联想，知识迁移

类比焦点在

轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在

轴上的椭圆的几何性质，让学生体会数学研究中的类比推理的过程与方法.

标准方程

图形

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

焦距

的关系

离心率

【设计意图】让学生体会椭圆焦点位置的变化对其性质的影响，提升学生的逻辑推理素养，并为后续双曲线和抛物线的学习奠定基础.

（四）巩固新知，提升能力

例题分析：

例1.椭圆

的长轴长是________，短轴长是_________，焦点坐标是________，焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.

例2.在椭圆

中，已知

为等腰直角

三角形，求椭圆的离心率.

问题：

你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗?

【设计意图】通过例题分析，巩固椭圆的几何性质，例2旨在引导学生深刻理解椭圆离心率的几何意义，实现认识上的又一次飞跃.

（五）回顾反思，归纳总结

学生和老师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.

（1）椭圆的几何性质

（2）用坐标法研究曲线性质的过程与方法

（3）所用的数学思想方法：

数形结合、化归转化、类比推理

师生活动：

先由学生总结所学内容，教师补充说明，特别是通过本节课所经历的知识的探究过程，体会类比与数形结合的数学思想.通过本节课，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断地激发学生的数学学习兴趣.

【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.

（六）目标测试，当堂反馈

1.已知椭圆方程为

，它的长轴长是__________,短轴长是___________,

焦点坐标是________,焦距是________,顶点坐标是_________,离心率是________.

2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率

，长轴长为6，则椭圆的标准方程为（）

（A）

（B）

（C）

或

（D）

或

【设计意图】通过目标检测，可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据,其中第2题旨在体会分类讨论思想在数学中的应用.

接着展示图片：

展示椭圆在建筑与天文等方面的应用，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断激发学生的学习兴趣.

（七）布置作业，巩固所学

实践作业：

查阅椭圆在建筑学与天文学方面应用的资料，每组写一份调研小报告.

分层作业：

必做：

课本

习题2.2

组2,3,4,5题

选做：

组第9题

【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.