高中数学 第一章 立体几何初步 122 第1课时 平行直.docx

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高中数学第一章立体几何初步122第1课时平行直

第1课时　平行直线

学习目标

　1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．

知识点一　基本性质4

1．文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

2．符号表达：

⇒a∥c.

知识点二　等角定理

思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

答案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

梳理　等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

知识点三　空间四边形

顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．

1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.（　×　）

2．没有公共点的两条直线是异面直线．（　×　）

3．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．（　×　）

类型一　基本性质4的应用

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：

四边形EFGH是平行四边形．

解　在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，

所以EF∥AB，EF＝

AB，同理GH∥DC，GH＝

DC.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，AB＝CD.

所以EF∥GH，EF＝GH.

所以四边形EFGH是平行四边形．

反思与感悟　证明两条直线平行的两种方法

（1）利用平行线的定义：

证明两条直线在同一平面内且无公共点．

（2）利用基本性质4：

寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．

跟踪训练1　如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．

求证：

四边形B1EDF是平行四边形．

证明　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.

∵E是AA1的中点，

∴EQ綊A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中，

A1D1綊B1C1，

∴EQ綊B1C1（基本性质4）．

∴四边形EQC1B1为平行四边形，

∴B1E綊C1Q.

又∵Q，F是DD1，C1C的中点，

∴QD綊C1F.

∴四边形QDFC1为平行四边形．

∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.

∴四边形B1EDF为平行四边形．

类型二　等角定理的应用

例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

求证：

（1）四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）∠BMC＝∠B1M1C1.

证明　

（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，

∴A1M1綊AM，

∴四边形AMM1A1是平行四边形，

∴A1A綊M1M.

又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，

∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

反思与感悟　有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径

（1）利用等角定理及其推论．

（2）利用三角形相似．

（3）利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．

跟踪训练2　已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

证明　

（1）如图，连接AC，

在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，MN＝

AC.

由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

类型三　空间四边形的认识

例3　如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且

＝

＝λ，

＝

＝μ，求证：

（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；

（2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．

证明　

（1）∵

＝

＝λ，∴EH∥BD，∴

＝λ.

同理，GF∥BD，

＝μ.

又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF.

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）由

（1）知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.

∴四边形EFGH是梯形．

反思与感悟　因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”，不包含平面四边形，说明“A，B，C，D四点必不共面”，不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的．

跟踪训练3　已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系．

解　由已知，得E，F不重合．

设△BCD所在平面为α，

则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，

所以AE与DF异面．

1．直线a∥b，直线b与c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是（　　）

A．相交B．平行C．异面D．无法判断

答案　B

解析　如图，a与c相交或异面．

2．下列四个结论中假命题的个数是（　　）

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动（其余三点不动）时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．

3．下列结论正确的是（　　）

A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行

B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内

C．空间四边形的两条对角线可以相交

D．空间四边形的两条对角线不相交

答案　D

解析　空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.

4．下面三个命题，其中正确的个数是（　　）

①三条相互平行的直线必共面；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．

A．1B．2C．3D．0

答案　D

解析　空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.

5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（　　）

A．全等B．不相似

C．仅有一个角相等D．相似

答案　D

解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．

3．注意：

等角定理的逆命题不成立．

一、选择题

1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于（　　）

A．30°B．30°或150°

C．150°D．以上结论都不对

答案　B

解析　由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.

2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定异面D．相交或异面

答案　D

3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　）

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

答案　D

解析　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（　　）

A．相交B．异面

C．平行D．垂直

答案　C

解析　如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是（　　）

A．正方形B．菱形

C．矩形D．空间四边形

答案　B

解析　设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为

，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．

6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中（如图），l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是（　　）

A．l与AD平行

B．l与AD不平行

C．l与AC平行

D．l与BD垂直

答案　A

解析　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行．

7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有（　　）

A．6条B．8条C．10条D．12条

答案　B

解析　所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．

8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是（　　）

A．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

答案　D

解析　若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.

又c与b都在β内，∴b∥c.

由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．

如图，只有以下三种情况．

二、填空题

9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.

答案　60°或120°

10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．

答案　

（1）平行　

（2）异面　（3）相交　（4）异面

11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；

③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．

则上述说法中正确的为________．（仅填序号）

答案　①

解析　由基本性质4知①正确．

若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；

若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．

三、解答题

12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？

并说明理由．

解　如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．

理由：

因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.

13.如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且

＝

＝

＝

.

（1）证明：

AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；

（2）求

的值．

（1）证明　∵AA′与BB′相交于O点，

且

＝

，∴AB∥A′B′.

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.

（2）解　∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，

∴∠BAC＝∠B′A′C′.

同理∠ABC＝∠A′B′C′，

因此△ABC∽△A′B′C′，

又

＝

＝

.

∴

＝

2＝

.

四、探究与拓展

14.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．MN≥

（AC＋BD）

B．MN≤

（AC＋BD）

C．MN＝

（AC＋BD）

D．MN<

（AC＋BD）

答案　D

解析　如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝

AC，

NE＝

BD，

所以ME＋NE＝

（AC＋BD）．

在△MNE中，有ME＋NE>MN，

所以MN<

（AC＋BD）．

15.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）判断C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH綊

AD.又BC綊

AD，∴GH綊BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）解　由BE綊

AF，G为FA的中点知，BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．