高二数学理科下学期期中试题有解析与答案.docx

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高二数学理科下学期期中试题有解析与答案

2019年高二数学理科下学期期中试题有解析与答案

期中考试理科数学试题

考试时间：

120分钟满分：

150分

第Ⅰ卷（60分）

一．选择题：

本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）

A.B.2C.D.3

2.函数的单调递增区间是（）

A．B．C．和D．

3．若函数，则（）

A．B．C．D．

4．函数是上的连续可导函数，若，则的极值点为（）

A．，B．C．D．

5．曲线在处的切线方程为（）

A．B．C．D．

6．某次比赛结束后，记者询问裁判进入半决赛的甲、乙、丙、丁四位参赛者谁获得了冠军，裁判给出了三条线索：

①乙、丙、丁中的一人获得冠军；②丙获得冠军；③甲、乙、丁中的一人获得冠军.若给出的三条线索中有一条是真的，两条是假的，则获得冠军的是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）

A．B．C．D．

8.下面给出了四个类比推理：

①由“若,则”类比推出“若为三个向量,

则”；②“为实数，若，则”类比推出“为复数，若”③“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”④“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．函数在上的图象大致是（）

A．B．

C．D．

10．已知在区间上不单调，实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

11．已知偶函数对于任意的满足，（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（）

A．B．

C.D．

12．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二.填空题：

本大题共4小题，每小题5分

13．复数为虚数单位）的虚部为________

14．．

15．已知函数，则的最大值是__________．

16．函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是__________．

三．解答题：

本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题10分）已知复数.

（1）若，求；

（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限,求的取值范围.

18．（本小题12分）

（1）已知且，求证：

，中至少有一个小于2.

（2）已知，，求证：

19．（本小题12分）

已知函数（为实数）.

（I）若在处有极值，求的值；

（II）若在上是增函数，求的取值范围.

20．（本小题12分）

已知数列满足,且.

（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．

21．（本小题12分）

已知函数.

（Ⅰ）求证：

当时，函数在上存在唯一的零点；

（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.

22．（本小题12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：

.

高二年级理科参考答案

一.选择题

1．C

2．D

【解析】?

.

令f′（x）>0?

?

3

故f（x）在（?

3,1）上单调递增。

故选：

D.

3．C

【解析】由题意，所以，故选C．

4．D

【解析】因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，；因此是极值点。

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递增，因此不是极值点，应选答案D。

5．A

【解析】;所以所求切线为

故选A

6．A

【解析】分析：

从②入手，讨论真假两种情况，进而可得甲为冠军.

详解：

若②是真的，那么①也是真的，不成立；

若②不是真的，即丙不是冠军，那么甲、乙、丁必有一人是冠军，所以③为真，则①为假，可知冠军为甲.故选A.

7．D【解析】由，得，由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为可知，曲线在点处切线的斜率的取值范围为，设点横坐标为，则，解得，即点横坐标的取值范围为，故选．

8．B

9．A

【解析】，

由可得：

，即函数在区间上是增函数，在区间和区间上是减函数，观察所给选项，只有A选项符合题意.

10．D

【解析】

试题分析：

因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，即，所以，故选D.

11．D

【解析】

构造函数在为增函数，故选D.

12．A

【解析】由题意,可得,由

（1）得,解得或（舍去）,代入

（2）得,，构造，则在上单调递减，在上单调递增，即的最小值为，所以的最大值为，故选A.

二．填空题

13．1

14．

【解析】解：

15．

【解析】详解：

函数，

设，函数在

故当t=时函数取得最大值，此时

16．

【解析】令，.则..因为存在唯一的正整数，使得，即.作出和的图象，如图所示，其中过定点.

由图可知，只有时满足.因为，，所以由图可知有.解得.

三.解答题

17．解：

（1）时

时

（2）

18

（1）证明：

假设都不小于2，则

即

这与已知矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.

（2）[证明]　∵－>1，a>0，∴0，只需证>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1.即－>1.这是已知条件，所以原不等式成立．

19．解：

由已知得的定义域为

又……3分

由题意得

……5分

（II）解：

依题意得

对恒成立，……7分

……9分

的最大值为

的最小值为……11分

又因时符合题意

为所求

20．

（1），；

（2）证明见解析.

试题解析：

⑴，猜想：

．

（2）①当时，，结论成立；

②假设当时，结论成立，即，

则当时，，

即当时，结论也成立，

由①②得，数列的通项公式为.

21．【解析】（Ⅰ）函数，定义域为，，

由，所以，则函数在单调递增，

又，，函数在上单调递增，

所以函数在上存在唯一的零点.

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，]

则在时取最大值，且最大值为.

“存在，使得成立”等价于“时，”，所以，即，

令，，则在单调递增，且，

所以当时，，当时，，

即的取值范围为.

22．【解析】

（1），

①若，所以在上单调递增；

②若，解，得，或，

解，得，

此时在上单调递减.

在上单调递增，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增.

（2）由

（2）知时，存在两个极值点，且是方程的两根，所以，所以，

令，

所以在上单调递减，所以，

所以