（-∞，+∞）=R.
这些区间的区间长度都为无穷大.
为了讨论函数在一点邻近的某些性态，下面引入邻域的概念.
定义1.1.1设a，δ∈R，δ>0，数集{x||x-a|<δ，x∈R}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ）．其中点a与数δ分别称为此邻域的中心与半径．
几何上，邻域U（a，δ）表示数轴上与点a的距离小于δ的点集，因此该点集是以点a为中心，δ为半径的一个开区间（图11（a）），即
U（a，δ）=（a-δ，a+δ）.
当不强调邻域的半径时，用U（a）表示以点a为中心的任意开区间．将邻域U（a，δ）的中心点a去掉后得到的数集{x|0<|x-a|<δ}称为点a的去心δ邻域，记作U（a，δ）（图11（b）），即
U（a,δ）=（a-δ，a）∪（a，a+δ）．
图11
1.1.2函数的基本概念
为了简便起见，先介绍一些常用的数学符号．
符号“”表示“任意（确定）的”或者“每一个”；符号“”表示“存在”或者“有”．例如“x”表示“任意（确定）的x”，而“x”表示“存在x”．
函数研究的就是变量之间的对应关系，在同一自然现象或变化过程中，经常会同时遇到两个或更多个变量，它们互相联系、互相依赖并遵循一定的规律变化着．例如，在初速度为0的自由落体运动中，路程
s与时间t是两个变量，当时间变化时，所经过的路程也随之改变，它们之间有如下关系：
s=12gt2，t≥0．（1.1.1）
又如在电阻两端加直流电压V，电阻中有电流I通过，电压V改变时，电流I随之改变，其变化规律为
I=VR，
若电阻R=2，则
I=V2．（1.1.2）
（1.1.1）式和（1.1.2）式均表达了两个变量之间相互依赖的关系或规律，依据这些规律，当其中一个变量在某一范围内取定一个数值时，另一变量的值就随之确定，数学上把这种对应关系称为函数关系．
定义1.1.2设x，y为同一变化过程中的两个实数变量，如果x在其变化范围
D内任意取定一个值，y按照一定的法则总有确定的值与之相对应，就称y是x的函数，x称为自变量，y称为因变量，记作
y=f（x），x∈D.
其中数集D称为f（x）的定义域.
一般地，在函数y=f（x）中，使得式子f（x）有意义的x的集合可作为
该函数的定义域，也称为该函数的自然定义域．但在实际问题中，函数y=f（x）的定义域还要根据问题中的实际意义来确定．
由定义1.1.2可知，f（x）也表示与x对应的函数值，因此对应于x0的函数值记为f（x0）或y|x=x0．全体函数值构成的集合称为
函数y=f（x）的值域，记作f（D），即
f（D）={y|y=f（x），x∈D}．
符号f（x）中的f表示y与x之间的对应关系，故f仅仅是一个函数对应法则的记号，它也可用其他符号如φ，F等代替，这时，函数
y=f（x）就写成y=φ（x）或y=F（x）．但一个函数在同一个问题中只能取定一种记法，当同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的符号分别表示它们各自的对应法则，以免混淆．
例1.1.1求函数y=
lg（1+x）x的定义域．
解由题意可得不等式组：
1+x>0，
x≠0，
解得
x>-1，且x≠0，
则该函数的定义域为D={x|x>-1，且x≠0}．
例1.1.2设f（x）=x2+x，求f（a），f（x2），f（sin1）．
解将f（x）中的变量x分别用a，x2，sin1代替，得
f（a）=a2+a，
f（x2）=x4+x2，
f（sin1）=sin21+sin1.
由函数的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数相同．因此也称函数的定义域及其对应法则为函数的二要素.
例如函数y=lgx2与y=2lgx，它们的对应法则相同，但定义域不同，所以它们不是相同的函数．又如函数y=x（x≥0）与
y=（x）2，它们的对应法则相同，定义域也相同，因此它们是相同的函数．
一般地，如果函数y=f（x）的自变量x在定义域内任取一值时，对应的函数值y都是惟一的，则称y为x的单值函数．如果对自变量
x的某些取值都有两个或两个以上的y值与之相对应，则称y为x的多值函数．本书中凡是没有特别说明的函数都是指单值函数．若遇到多值函数时，我们都把它化作多个同时出现的单值函数来分别对待．
函数的表示方法有多种形式，常见的主要有表格法、图示法和公式法．
表格法就是把自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，实际应用中常用此法．例如火车时刻表，就是用列表的方法列出出站和进站对应的车次与时间的函数关系．其优点是从表上可直接看出y随x的变化而变化的情况，使用上较方便，缺点是只能表达有限个对应数据.
图示法是把变量x与y对应的有序数组（x，y）看作直角坐标平面内点的坐标，y与x的函数关系就可用坐标面上的曲线来表出．例如气象站中的温度记录器，记录了空气中温度与时间的函数关系．这种关系是通过借助仪器自动描绘在纸带上的一条连续不断的曲线来表达的．其优点是直观性强，缺点是没有给出函数关系的表达式，不便于做理论上的推导与演算.
公式法（分析法）是把两个变量之间的关系直接用数学式子表示，高等数学中所涉及的函数大多用公式法来表示.
例如n次多项式函数
y=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
这里ai（i=0，1，2，…，n）均为常数，n为自然数，x为自变量，
x∈R.再如有理函数
y=P（x）Q（x），
这里P（x）与Q（x）均为多项式函数，它们都是用公式法表示的函数.
有时函数在定义域的不同范围内的x所对应的函数关系并不相同，这时就要用几个不同的式子分别来表示一个函数，例如函数（图12（a））
y=x+2，x≤0，
ex，x>0
与符号函数（图12（b））
sgnx=
1，x>0，
0，x=0，
-1，x<0．
图12
像上面两个函数这样在不同的范围内用不同的式子分段表示的函数称为分段函数．在自然科学与工程技术中经常用到分段函数．
必须指出，分段函数是用不同的式子表示一个（而不是几个）函数．因此对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去．
图13
例如常用记号［x］表示“小于或等于x的最大整数”，显然［x］是由x惟一确定的，如［-1.5］=-2，［1.3］=1，［2.43］=2，［0］=0．
称函数y=［x］为取整函数.取整函数y=［x］的定义域是实数集R，值域是整数集Z，它表示y是不超过x的最大的整数.该函数为分段函数，其图像如图13所示.
上述用公式法所表示的函数，都是直接用一个或几个关于自变量的式子来表示的，这样的函数也称为显函数．除此以外，在很多实际问题中，变量之间的函数关系也可用一个方程来表示，例如在直线方程x+2y=1中，给定实数x，就有一个确定的y值y=12（1-x）与之相对应，因此在方程x+2y=1中隐含了一个函数关系y=12（1-x）.又如圆的方程x2+y2=a2确定了两个单值函数
y=a2-x2（当y≥0时）与
y=-a2-x2（当y≤0时）.在xOy平面上，函数y=a2-x2表示上半圆周，函数y=-a2-x2表示下半圆周，这两个单值函数称为原来函数的单值分支，它们都是由方程x2+y2=a2确定的．但也有一些方程确定的函数关系不那么容易甚至不可能直接用自变量的式子表示出来．例如开普勒（Kepler）方程
y-x-εsiny=0，ε为常数，0＜ε＜1，
在这个方程中甚至不可能将y用x的式子表示出来，尽管如此，它仍能确定y是x的函数.
如果由一个二元方程F（x，y）=0确定y是x的函数（满足函数的定义），则称函数y=y（x）是由方程F（x，y）=0确定的隐函数．有时直接通过对方程恒等变形，可以将这个隐函数求出，例如由方程2x+5y=2可以解得y=2-2x5，这个过程称为隐函数的显化．例如
方程x2+y2=a2当y≥0时可显化为函数
y=a2-x2，它的图形为以原点为中心，半径为a的上半圆周．但不是每个隐函数都可以显化，如方程exy+x-siny=1确定的隐函数是无法显化的，因此隐函数是表达函数的一种必不可少的形式．需要注意的是，任意一个方程并不一定就能确定一个隐函数.究竟在什么条件下能够由一个方程来确定一个隐函数呢？
这将在第9章中给出相关结论.
有时变量x，y之间的函数关系还可以通过参数方程
x=φ（t），
y=ψ（t），
t∈I
图14
给出，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式函数，t称为参数．
如物体作斜抛运动时，运动的曲线（图14）表示的函数就可写作参数式函数：
x=v0tcosα，
y=v0tsinα-12gt2，
其中α为初速度v0与水平方向的夹角，v0=|v0|．
1.1.3函数的几种基本特性
初等数学中已经利用函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性这四个重要的特征性质来讨论一些函数的基本性质，下面分别对它们作简要概括.
1.函数在指定数集上的有界性
定义1.1.3设函数f（x）的定义域为D，数集ID.若存在数M1，使得当x∈I时，恒有
f（x）≤M1，
则称函数f（x）在数集I上有上界，M1为f（x）在I上的一个上界；若存在数M2，当x∈I时，恒有
f（x）≥M2，
则称函数f（x）在数集I上有下界，M2为f（x）在I上的一个下界；若f（x）在数集I上既有上界，又有下界，则称f（x）在I上有界．否则就称函数
f（x）在I上无界.
显然，若f（x）在I上有界，则必存在数M1，M2，使得对x∈I，恒有
M1≤f（x）≤M2，
取M=max{|M1|，|M2|}，则上式等价于
|f（x）|≤M，
因此函数f（x）在数集I上有界的充要条件为存在正数M，使得对x∈I，恒有|f（x）|≤M.
若函数f（x）在数集I上有上界M1，则在几何上表示函数y=f（x）在数集I上的图形均位于直线y=M1的下方；若函数f（x）在数集I上有下界M2，则表示函数y=f（x）在数集I上的图形均位于直线y=M2的上方；若函数
f（x）在数集I上有界，则表示必存在一个正数M，函数y=f（x）在I上的图形位于直线y=M与y=-M之间.
例如，函数y=1，x∈Q，
0，xQ在
（-∞，+∞）内有界，2是它的一个上界，-1是它的一个下界；函数
y=［x］在任一有限区间［a，b］上有界，a-1与b分别为它的一个下界与上界，但它在（-∞，+∞）内无界.
2.函数在指定区间上的单调性
定义1.1.4设函数f（x）在区间I上有定义，如果x1，x2∈I，x1＜x2时，恒有f（x1）≤f（x2）（f（x1）≥f（x2）），则称函数f（x）在I上单调增加（减少）；若x1＜x2时恒有f（x1）f（x2）），则称函数f（x）在I上严格单调增加（减少）.
例如，y=x2在（-∞，0）内严格单调减少，在（0，+∞）内严格单调增加，但在（-∞，+∞）内不是单调函数.
又如函数y=x，x≤0，
ex，x>0在（-∞，+∞）内单调增加；而函数y=
x+2，x≤0，
ex，x>0在（-∞，0］内单调增加，在
（0，+∞）内也单调增加，但在（-∞，+∞）内却不是单调增加函数；函数y=1，x∈Q，
0，xQ在任何区间上都不单调.
3.函数的奇偶性
定义1.1.5设函数f（x）的定义域D关于原点对称（即x∈D，必有-x∈D），若x∈D,等式
f（-x）=-f（x）
恒成立，则称f（x）为奇函数；若x∈D，等式
f（-x）=f（x）
恒成立，则称f（x）为偶函数.
例如，y=|x|与y=1，x∈Q，
0，xQ都是偶函数；
y=|x|x（x≠0）是奇函数；y=x+x2是非奇非偶函数；y=0既是奇函数也是偶函数.
在几何上，由于奇函数f（x）满足条件f（-x）=-f（x），因此若点A（x，f（x））在曲线y=f（x）上，则A的关于原点中心对称的点A′（-x，-f（x））也在该曲线上（图15（a）），因此奇函数的图像关于原点中心对称.类似可知偶函数的图像关于y轴对称（图15（b））.
图15
4.函数的周期性
设y=f（x）的定义域为D，若存在非零定值T（T≠0），使得对x∈D，都有x+T∈D，且等式f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）是周期函数，T是它的一个周期.易知T的整数倍也一定是f（x）的周期.在f（x）的所有周期中，若存在最小的正数，则称这个数为f（x）的最小正周期.例如y=x-［x］是周期函数，其最小正周期为1.通常我们说周期函数的周期是指其最小正周期，例如，三角函数中sinx，cosx是以2π为周期的周期函数，tanx，cotx是以π为周期的周期函数.但并不是所有的周期函数都有最小正周期.
例1.1.3证明狄利克雷（Dirichlet）函数
f（x）=1，x∈Q，
0，xQ
是周期函数，但无最小正周期.
证设x∈R，当x∈Q时，对r∈Q，有x+r∈Q，因此有
f（x+r）=f（x）=1；
当xQ时，即x为无理数，则x+r也为无理数，因此有
f（x+r）=f（x）=0.
综上可知，对x∈R，r∈Q，恒有
f（x）=f（x+r），
所以，任一有理数r均为f（x）的周期，即f（x）是以任一有理数为其周期的周期函数.但由于正有理数无最小值，因此f（x）无最小正周期.
1.1.4初等函数
在实际问题中所遇到的函数形式尽管有时比较复杂，但经过仔细观察与分类后，可发现它们总是由几种最简单最基本的函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）构成的.为了讲清初等函数的结构，下面先介绍基本初等函数、反函数与复合
图16
函数的概念及
函数的基本运算.
1.基本初等函数
在初等数学中，已详细地讨论过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的概念及其性质.通常将这五种函数统称为基本初等函数.有关它们的知识也是微积分的基础知识.它们的图像如图16~图110所示.
图17
图18
图19
图110
2.复合函数
在实际问题中，有时需要把两个或更多个函数组合成另一个新的函数.
例如，在物理学中，设有一质量为m的物体沿直线运动，速度为v，则其动能为E=12mv2，当物体作自由落体运动时，速度为v=gt，则此时其动能为E=12m（gt）2=
12mg2t2.抽象出数学模型，即已知函数
E=12mv2与v=gt，将v=gt代入E中，得
E=12mg2t2.这样，E通过变量v成为t的函数，这种形式的函数称为复合函数.如
y=lgu，u=sinx复合成
y=lgsinx，这里0＜sinx≤1，即
x∈（2kπ，（2k+1）π）,k∈Z．
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