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大学高等数学微积论文
微积分对现代科学的影响
学院：
XXXX
专业年级：
XXXXXXXXXXXXX
学生姓名：
XXX
班级学号：
XX
指导教师：
XXX
XXX年XX月XX日
微积分对现代科学的影响
大学数学毕业论文数学专业毕业论文2007-11-2817:
31
随着“应试教育”逐步向“素质教育”的转轨，多年来，由于“应试教育”的影响而形成的一套传统、滞后的教育教学模式显然已不适应教育发展的需要．在原有的教学模式下不少在中考数学获得高分的学生，在升入高中后，数学成绩出现了明显下降的现象，也说明了我们初中数学教学所存在的弊端．因此，优化滞后的数学教学方法已成为教学改革的当务之急．笔者认为，在素质教育思想指导下的初中数学教学可以从以下几个方面入手：
一、真正摆正学生的主体地位，创设良好和谐的学习氛围
自从夸美纽斯创造班级授课制以来，传统的教师讲、学生听一直成为传授知识的主要方式．其表现形式就是填鸭式满堂灌的教学方法．它的弊端在于极大地限制了学生学习的主动性，扼杀了学生学习的兴趣．其实，教学活动是教师与学生的双边活动，数学教学过程不仅是一个认知过程，而且也是一个情感的交流过程．在教学活动中要注意符合初中学生的年龄特征和认知规律，善于激发学生学习数学的情感．由于初中学生年龄特点，既有小学生活泼好动、充满好奇的特点，也有渴望走向成熟的特征，因此要善于抓住积极因素，鼓励学生大胆设疑、探索，使学生的整个学习活动充满喜悦，学习的需要得以实现．在整个教学过程中，应始终体现”学生为主体、教师为主导”的教学原则，给学生以充分自主的权力，创设一个良好和谐的学习氛围．
二、合理布局课堂结构，优化数学教学方式
在课堂教学活动中，教师应对教学目的、目标、重点、难点等教学内容把握得十分准确，同时对时间的把握也应十分严格，切忌教学的盲目性、随意性．在教学过程中，从数量上说，教师要少讲；从质量上说，教师要精讲；从内容上说，学生易懂的坚决不讲．整个教学活动，教师既要注重知识的系统传授，也要注意给学生以想、说、练的机会．
优化教学方式，主要是指应克服以下几个传统的教学“误区”：
１．重内容的讲解，轻教材的运用
在应试教育的影响下，有不少教师将教材仅仅当成学生的习题集，致使学生不会阅读课本．教师在教学中，不应该仅仅满足于学生听得懂、学得会，而应使学生在“学会”的过程中“会学”．实际上，教科书通过正文和例题，并结合使用图表，加强了对教学内容、特点、要求的分析．会使用教材的学生，往往在认识上更深入一层，自己能逐步掌握分析推理的方法．同时，教科书还能引导学生从不同角度出发思考问题，探索一题多解（证）、一题多复和一题多用．
２．重结果，轻过程数学
教学大纲明确指出：
在教学中，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成发展过程，解题思路的探索过程，更要重视知识的发生、发展过程的展示．在原有的“应试教育”的指挥棒下，不少教师认为，学好数学就是要将概念、定理、公式记熟．诚然，由于初中数学知识相对较少，上述做法可能对暂时的考试成绩有用，但对以后的数学学习却留下了后遗症．有不少学生在求二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ最值时，都熟知结果：
当ｘ＝－ｂ／（２ａ）时，ｙ有最值（４ａｃ－ｂ２）／（４ａ）．但却不会配方法，到高中继续学习三角函数最值时发生了困难．这都是因为只重结果，不重知识的形成过程带来的结果．
３．重机械的“题型分类”，轻知识系统的归纳
目前数学教学上的一大弊病就是进行题海战术，把培养学生的能力变成了机械的分类式思维技巧的教学与训练．其结果导致了考试死记类型、硬套解题方法，对变换形式的问题便束手无策．在素质教育下，应教会学生知识系统的总结．实践证明，凡是成绩优秀的学生，总是能系统地说出学过的知识系统，在解决问题时，往往能进行纵向、横向的联系，从而灵活地处理问题．
４．重知识的传授，轻教学的灵活多变
长期以来，不少教师在教学活动中采用单一呆板的教学方法，只注重知识的灌输，不注意教学教法的改革．他们错误地认为教法的革新是华而不实、哗众取宠．其实采用灵活多变的教学方法，能起到激发学生的学习兴趣的作用，将枯燥而难以理解的教学内容讲述得情趣盎然、浅显易懂，从而达到事半功倍的教学效果．教学有法，教无定法，凡能够引导学生积极思考、努力钻研，培养学生能力从而达到取得好成绩的方法，都应不断地研究和探索．
三、加强非智力因素的挖掘，培养学生良好的数学素养
在学习上，不少学生除了本身的智力因素以外，另一个主要障碍就是非智力因素上的，诸如学得不好不感兴趣，遇到难题，不能迎难而上，缺乏克服困难的勇气，结果形成恶性循环．所以在教学中应重视对非智力因素的挖掘，培养学生良好的数学素养．
１．运用情感手段强化自我效能，培养学生的学习兴趣
心理学研究表明：
自我表现是人们普遍具有的心理倾向，自我表现愿望的满足，有助于自我效能的增强．在教学活动中，要善于抓住学生的闪光点，不失时机地给予鼓励和表扬．一般地讲，恰当地表扬鼓励能强化自我效能感．这不仅对表扬和鼓励的人如此，对其他的人也有相同的作用．随着自我效能感的增强，学生的自我表现愿望得以满足．学生的学习兴趣也会愈加浓厚．
２．挖掘教材的潜在功能，培养学生的学习方法
顺乎“应试教育”向“素质教育”转轨的潮流，人教社编辑出版的九年义务教材在内容选娶编写体例上较原有教材都有较大变化：
突出了基本数学思想和数学方法，增加可读性，在加强双基的同时，也注意了能力的培养．因此在教学中应充分挖掘新教材的上述潜在功能，指导学生读书的习惯，培养学生良好的学习方法．
３．激发学生的探索精神，培养学生的学习毅力
学生具有良好的数学素养，也表现在在他们的学习过程中，善于独立地思考问题，能够有效地应用原有知识去分析和解决问题．为此教师要在教学活动中，善于引导学生积极地探索和创新．“没有大胆的猜想，就没有伟大的成就．”同时，在倡导学生积极创设的过程中，要努力培养学生坚韧不拔的学习毅力．在授课中应启发学生多提问，放手让学生大胆猜想，积极思考、分析，并进行自我判定．在学生的探索过程中，应让学生充分体会到探索的喜悦．
总之，教学是一项综合性的创造性活动，教学活动的效果很大程度上取决于教师．教师是整个教学过程的主导．在教学活动中教师应以全面培养学生的素质为目的，以迎接２１世纪的到来。
高数微积分的问题
1.数学对自然科学的影响
数学是自然科学的基础学科,自然科学的发展离不开数学的发展。
尤其是数学中的微积分理论,对整个自然科学的发展起了极大的推动作用,为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础,使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。
在数学的众多学科分支中,就严谨性、应用性和简洁性而言,微积分应是最具代表性的学科之一。
微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。
因而,这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造,受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。
如果我们对其历史和现状作一番认真的考究,追溯这一理论产生的历史,将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。
于此,微积分提出之后,遭到了许多人的猛烈抨击,其中也包括一些著名的数学家。
牛顿继承和总结了先辈们的思想,作出了自己独到的建树。
他把自己的发现称为“流数术”,称连续变化的量为流动量,无限小的时间间隔为瞬,而流量的速度称为流动率或流数。
牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学主观唯心论哲学家贝克莱G.Berkeley是抨击微积分理论最强有力的人物。
他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持,于是向流数术展开了猛烈的攻击。
1734年,贝克莱出版了一本书:
《分析学家:
或一答致不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘,教义的主旨有更清晰的陈述,或更明确的推理》在这本书里,他嘲笑无穷小量是已死量的幽灵。
他说如果取x的一个增量i,这里i代表某一个不为零的量,则xn的增量被i除便是nxn-1+n（n-1）xn-2i+…+in-1,现令i=0
2.关于微积分的本原问题
2．1微积分使极限理论更加成熟
我们知道微积分的基础是极限论,而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的,牛顿的瞬和流数,莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义?
在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义,在运用时也显得前后不一。
牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时,有时视瞬或dx为无限小增量,而有时视之为一个有限量加以运算,甚至把它作为零而忽略不计,这就在逻辑上造成明显的矛盾。
牛顿曾用有限差值的最初比和最终比———一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。
但是当差值还未达到零时,其比值不是最终的,而当差值达到零时,它们比是0。
怎样理解这样的最终比,牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明,而不是正确的论证。
”而莱布尼兹的微积分论文发表以后,连当时在数学上颇有造诣的数学家象Bernoulli兄弟也颇感费解:
“与其说有一种说明,还不如说是一个谜。
”究竟极限是什么?
无穷小是什么?
在今天很容易理解。
但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。
基极限思想在当时也散见于各个时代著作中,如中国《庄子·天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系,但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。
十八世纪,许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值,在回击来自数学界内外的攻击同时,竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化,在形式更趋完美。
在十八世纪前期,许多数学家,尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来,他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。
但这一努力是失败的,打破这一僵局的大数学家欧拉,他以代数方式研究微积分,力图用形式演算方式代替累赘的几何语言,使微积分建立在算术和代数基础上。
达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念,并试图用极限加以定义和说明。
他认为应以极限理论作为微积分的理论基础,这一思想在数学界产生了极其深远的影响。
直到1821年以后,柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后,微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。
自此以后,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上———极限理论。
我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。
柯西把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算化为一系列不等式的推导。
维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法,形成了微积分的严谨之美。
2．2 微积分———状态与过程的统一
微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。
微积分出现以后,逐渐显示出它非凡的威力,过去许多数学家束手无策的问题,至此迎刃而解。
恩格斯指出:
“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态,并且也表明过程:
运动。
”然而,在十九世纪以前,微积分理论历史发展始终包含着矛盾:
一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就;另一方面则是基础理论的含糊性。
事实上,无论是牛顿还是莱布尼兹,他们对微积分所作的论证都是不很严谨的和不清楚的。
在欧洲大陆方面,莱布尼兹的含糊也招致了尼文Nieuwentijt,荷兰哲学家的反对。
荷兰的物理学家和几何学家纽文B.Nieuwentydt也就一系列问题公开提出质问:
无限小量与零怎样区别?
无限个无限小量之和为什么能够是有限量?
在推理过程中为什么能舍弃无限小量?
包括一大批数学家也群起而攻之。
尽管他们承认微积分的效用,欣赏微积分的美学价值,但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。
法国数学家罗尔M.Rolle微积分为:
“巧妙的谬论的汇集。
”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。
贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的,他们不能给微积分以严格的基础,但他们的论点都有一定道理,在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。
例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。
因此,人们追求数学美,以达到精神上的愉悦,而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”,而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。
2.3微积分———分析与几何的统一
微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。
唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。
唯心主义认为纯数学产生于纯思维。
它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。
杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。
牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。
他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。
各自独立地创立了微积分。
这个功劳是应该肯定的。
但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。
其运算出发点是先验的。
所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：
“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。
生产实践对微积分的创立起着决定的作用。
从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。
到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。
随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。
它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。
微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。
这些问题归纳起来大致分为四类：
一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。
二是求曲线的切线。
三是求函数的极大值、极小值。
四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。
其中的量都在不断变化着。
因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。
生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。
于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。
所以，恩格斯说：
“数学的转折点是笛卡尔的变数。
有了变数，运动进入了数学。
有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”。
3.牛顿—莱布尼茨公式——联结微分与积分的桥梁
唯物辩证法是关于普遍联系的科学。
微分与积分是一对矛盾的两个方面。
它们之间的联系集中表现在互逆关系上。
微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。
微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。
原函数经过微分转化为导数。
导数在积分过程中又还原为原函数。
微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。
前面说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。
微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。
但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿—莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。
这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。
在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。
后者则和计算曲边形的面积相联系。
牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。
牛顿—莱布尼茨公式是微积分的基本原理。
它表述为设函数ƒ（x））在（a¸b）上连续。
如果函数F（x）是函数ƒ（x）的一个原函数，则有：
b∫ ƒ（x）dx＝F（b）-F（a） a这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（a¸b）两端值的差。
它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系。
为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。
设时刻t时质点在直线上的位置是s（t），那么从时刻t＝a到时刻t＝b这一区间，质点运动的路程为s（b）-s（a）。
这是质点运动的一个方面。
再从另一个方面看。
设已知质点在时刻t内的瞬时速度为u（t），我们用另一种方法可从u（t）计算出质点所走过的路程为：
b ∫ u（t）dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S（b）-S（a） a 从微分角度看，路程函数S（t）的微商是速度函数u（t）dS（t）———— ＝u（t） 或 dS（t）＝u（t）dt dt b从积分角度看，速度函数u（t）的积分值∫ u（t）dt a表达了路程函数S（t）的两点值之差S（b）-S（a）。
这里的b是任意固定的，有一个b就有一个S（b）与之对应。
这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把b视为变量t，它给出了用定积分表达路程函数的方法：
t∫ u（t）dt＝S（t）-S（a）a t这就用变上限的积分∫ u（t）dt表达了路程函数S（t）。
因而 a dF（x）＝ƒ（x）dx在区间（a¸b）上的无限积累。
微分与积分的同一性与差异性都包函在牛—莱公式之中。
其同一性的一面是微分与积分共处于牛—莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。
原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。
微分把“有限”转化 为“无限”，而积分又把“无限”转化 为“有限”。
牛—莱公式就是在这种“有限——无限——有限”的转化 中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。
从而找到了计算定积分的捷径。
然而，牛—莱公式的两边不是绝对的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。
公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。
这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。
归纳起有三个方面：
其一，两者所反映的事物性质不同。
在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。
在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。
一般地讲，微分就是已知函数求函数的变化率；而积分是根据函数的变化率求函数。
其二、两者所处的地位不同。
在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。
微分是积分运算的前提和基础。
进行积分运算，首先要“化整为零”，进行无限分割，即微分。
无微分就不可能进行积分。
但是积分又不是消极被动的。
在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。
没有积分就无法完成这一转化。
其三、各自的作用不同。
微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以“直”代“曲”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以“以曲代直”。
微积分的“曲”与“直”、“有限”与“无限”的相互转化 正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。
它推动微积分的基本矛盾——“直”与“曲”，“匀”与“不匀“的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。
参考文献
［1］张楚迁《数学文化》高等教育科学出版社
［2］张顺燕《数学的源与流》《数学的美与理》
［3］邓东皋孙小礼《数学与文化》
［4］克莱茵《古今数学思想》
［5］王树和《数学思想史》
［6］李文林《数学史概论》
［7］石开屏《大学生科普读物》
［8］张奠宇《20世纪科学经纬》
［9］顾沛《数学文化高等教育出版社》
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