新版人教初二不等式教学案.docx
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新版人教初二不等式教学案
不等式及其解集
[教学目标]1、了解不等式和一元一次不等式的概念；
2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。
[重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的理解与表示是难点
一、课前预习：
（1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。
小明的身体质量为p（kg）,小聪的身体质量为q（kg），书包的质量为2kg，怎样表示p、q之间的关系?
（2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。
设每个乒乓球的质量为x（g），则根据图形可列出怎样的关系式？
（3）公路上常有这样的标志：
限速100km/h，速度记作a，则可以写出不等式是
（4）（x+1）0=1，x必须满足的条件是
二、不等式的概念
1、不等式
“>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥”的形式。
总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。
2、一元一次不等式
类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
注意：
分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。
三、典型例题
1、用不等式表示：
（1）x的一半小于－1；
（2）y与4的和大于0.5；
（3）a是负数；（4）b是非负数；
模仿练习：
用不等式表示
（1）a是正数；
（2）a是非负数；
（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差大于－1；
（5）x的4倍不大于7；（6）y的一半不小于3.
（7）x2与1的和是非负数（8）3与x的差的一半是非正数
2、一辆48座的旅游车载有游客x人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学式子表示上述数量关系
3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温是6℃，该市这一天某一时刻的气温t℃。
4、有下列数学表达：
①-
；②
；③
；④
；⑤
；⑥2
．其中是不等式的有（）个.
A、2B、2C、4D、5
5、如图所示，对a，b，c三种物体的重量判断不正确的是（）
a
a
a
b
b
c
c
b
b
b
A、a＜cB、a＜bC、a＞cD、b＜c
6、用不等式表示：
（1）x的
与5的差小于1；
（2）x的4倍大于x的3倍与7的差；
（3）8与y的2倍的和是正数；（4）a的3倍与7的差是负数；
（5）x与6的和不小于9；（6）x与8的差的
不大于0.
7、a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b;
（2）|a|__________|b|;
（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;
（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a.
4、不等式的解和解集
1、不等式的解
我们把能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.
我们看到不等式的解不是一个， 它的解到底有多少个？
对于x>-1这个不等式，所有大于-1的数都是这个不等式的解，它的解有无数个。
2、不等式的解集:
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
这个解集可以用数轴来表示。
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
3、不等式解集的表示方法
例如,在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？
因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3,在对应点画空心圆圈）.如图所示:
同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？
此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画
实心圆点.如图所示:
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.
典型例题:
在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＜3；
（2）x≤4；（3）x≥-0；（4）x＜2；（5）-1≤x＜2.
（1）
1.下列哪些是不等式x+2>4的解?
把是的圈出来.
-5,-3,-1.5,0,1,2,3.4,4,5,6.2,9
2.两个不等式的解集分别是x＜2和x≤2，它们主要是有什么不同？
在数轴上表示的时候又是什么样的区别？
3.写出下列各图所表示的不等式的解集：
（1）；
（2）
.
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
4.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≤-5；
（2）x≥0；
（3）x＞-1;（4）1≤X≤4;
（5）-2＜X≤3；
5.用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示解集,最后从图形中找出正整数解.
X不大于4
不等式的性质
[教学目标]1、经历发现不等式性质的探索过程；
2、理解不等式的性质。
[重点难点] 不等式的性质是重点；运用不等式的性质进行判断是难点。
一：
课前预习：
1.复习,大家还记得等式的基本性质吗？
等式基本性质1：
在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式.
基本性质2：
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式
2、不等式的性质
（1）5>3,5+23+2,5-23-2
（2）-1<3,-1+23+2,-1-33-3；
（3）6>2,6×52×5,6×（-5）2×（-5）
（4）-2<3,（-2）×6 3×6, （-2）×（-6） 3×（-6）。
观察
（1）
（2），类比等式的性质，你发现了什么规律？
性质1:
不等式两边加减同一个数（或式子）,不等号的方向不变。
即 如果a＞b，那么a±c＞b±c.
观察（3），类比等式的性质，你发现了什么规律？
性质2：
不等式两边乘或除以同一个正数,不等号的方向不变。
即 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a/c＞b/c）.
观察（4），类比等式的性质，你发现了什么规律？
性质3：
不等式两边乘或除以同一个负数,不等号方向改变。
即 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或a/c＜b/c）.
思考：
①比较上面的性质2与性质3，看看它们有什么区别？
性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了。
②比较等式的性质与不等式的性质，它们有什么异同？
等式的性质与不等式的性质1、2，除了一个说“等式仍然成立”，一个说“不等号方向不变”的说法不同外，其余都一样；而不等式的性质3说“不等号方向改变”，这与等式的性质说法不同。
典型例题：
例1、设a＜b，用“＜”或“＞”号填空：
（1）a－3 b－3；
（2）a－b 0.（3）―4a ―4b；（4）
.
例2、已知x＜y，用“＜”或“＞”号填空。
（1）
；
（2）
；
（2）（3）
；（4）
例3、用不等式性质将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。
四、热身练习:
将下列不等式改写成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－3＞2
（2）3x＜2x－3
（3）
x＞－3；（4）－2x＜3x+5
（5）x－4＞3（6）2x－3＜x－2
（7）x＋1＞-3（8）-2x－4＜4x＋4
（9）x≤2（x－2）（10）
＞0
（11）
＜4（12）x－4＞3
（13）2x－3＜x－2 （14）
x＋1＞-3；
（15）-2x－4≥4x＋8 （16）-
x≤
（x－2）；
一元一次不等式的解法
[教学目标]掌握一元一次不等式的解法。
[重点难点]一元一次不等式的解法是重点；不等式性质3在解不等式中的运用是难点。
一、不等式的解法
例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） x－7＞26
（2）3x < 2x＋1
（3）2/3x≥50 （4）-4x≤3
分析：
解不等式最终要变成什么形式呢？
就是要使不等式逐步化为x＞a或x
解：
（1） x－7＞26 根据等式的性质1，得x－7+7＞26+7
∴x＞33
（2）3x < 2x＋1 根据等式的性质1，得3x-2x < 2x＋1-2x
∴x<1
例2 解不等式：
1/2x-1≤2/3（2x+1）
分析：
我们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，因此，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同。
解：
去分母，得 3x-6≤4（2x+1）
去括号，得 3x-6≤8x+4
移项，得 3x-8x≤4+6
合并，得-5x≤10
系数化为1，得 x≥-2
解一元一次不等式的步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项；
（4）合并同类项；（5）糸数化为1。
注意在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变.
2、典型例题：
例1、解下列不等式并把它的解集在数轴上表示出来:
（1）8－x＜3
（2）3x＞7（3）－
x－1≤2.
（4）
；（5）
；（6）
例2、如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？
例3、已知方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2（x－5）≥8a，求a的取值范围。
三、热身练习
2．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x+1＞3；
（2）2-x＜1
（3）2（x+1）＜3x；（4）3（2x+2）≥4（x-1）+7.
（5）3（x-3）>4x+5；（6）
；
5．一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
6、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：
每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：
按定价的九折优惠。
某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）。
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲商店付款为y甲（元），在乙商店付款为y乙（元），分别写出y甲，y乙与x的关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
一元一次方程与一元一次不等式
一：
例题学习
例1已知一元一次方程3（x-a）=1-2a的解是非负数，求a的范围
练习：
（1）已知关于x的一元一次方程3x-a +1=2x的解正数，求a的取值范围.
（2）已知:
练习：
已知关于方程组
的解，满足x与y的和是负数,求a范围
例2:
已知,不等式x-m≤2的解集是x≤-1,求m
练习:
关于x的不等式－2x+a≥2的解集如图所示，求a的值
二:
课堂练习
1.若关于x的方程是x－1=2x的解为正数，则k的取值范围是_________
2．若y=3x+12，则当x值时，y＞0
3．已知y1=2x－5，y2=－2x+3，若y14、已知,则x的取值范围是________.
5．已知x=3－2a是不等式
的解，求a的取值范围．
6．已知不等式2（1－x）<3（x+5）的最小整数解为方程2x－ax=4的解，求
的值．
7．已知
，若y>0，求k的取值范围．
8.已知关于x的方程3x－（2a－3）=5x+（3a+6）的解时负数，求a的取值范围。
9.k取何值时关于x的方程:
3（x-2）+6k=0的解是正数?
10.已知不等式5（x-2）+8<6（x-1）+7的最小整数解是2x-ax=4的解,求a
实际问题与一元一次不等式
（一）
[教学目标] 学会用一元一次不等式解决实际问题。
[重点难点] 用一元一次不等式解决实际问题是重点；找不等关系是难点。
一、典型例题：
例 1、甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：
累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：
累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？
分析：
由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？
分三种情况考虑：
①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超过100元。
（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？
为什么？
没有区别。
因为两家商店都没有优惠。
（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在哪家商店购物花费小？
为什么？
在乙商店购物花费小。
因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。
（3）如果累计购物超过100元，那么在哪家商店购物花费小？
因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：
设累计购物x元（x＞100），则在甲商店购物花费多少元？
在乙商店购物花费多少元？
在甲商店购物花费：
100+0.9（x-100）元；在乙商店购物花费：
50+0.95（x-50）。
① 若在甲商场购物花费小，则 50+0.95（x-50）＞100+0.9（x-100） 解之，得 x＞150
② 若在乙商场购物花费小，则 50+0.95（x-50）＜100+0.9（x-100） 解之，得 x＜150
③若在两家商场购物花费相同。
50+0.95（x-50）=100+0.9（x-100） 解之，得 x=150
答：
如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费一样多。
如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商店购物花费小。
若累计购物多于150元，在甲商场购物花费小；若累计购物等于150元，在两商场购物花费一样多；若累计购物多于100元少于150元，在乙商场购物花费小。
注意：
问题比较复杂时，要考虑分类解答。
分类要做到不重不漏。
例2、一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果？
解：
设这只纸箱内装了X个苹果。
根据题意，得
解这个不等式，得
所以，X的最大值是
答：
这只纸箱内最多能装个苹果
思考练习:
一只纸箱质量为1kg，当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱子和苹果的总质量小于10kg，这只纸箱内最多能装多少个苹果？
三．热身练习
1.要使三个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是 .
2.在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分超过80分者通过预选赛。
要通过预选赛，至少应答对几道题？
3.某班学生外出春游时合影留念，一张彩色底片的费用为1元，冲印1张彩照需0.6元。
如果每人预定1张彩照，且每人所花费用不超过0.8元，那么参加合影的学生至少有多少人？
4.某电影院暑假向学生优惠开放，每张门票2元。
另外，每场还可对外售出每张5元的普通门票300张，如果要保持每场次的票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售多少张学生门票
6.阳光中学校长准备在暑假带领该校的“市级三好生”去青岛旅游，甲旅行社说“如果校长买全票一张，则其余学生享受半价优惠.”乙旅行社说“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”.若到青岛的全票为1000元.
（1）设学生人数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费表达式.
（2）就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠？
课后作业：
1.甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场的3分，平一场的1分，负一场的0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分超过22分，甲队至少胜了多少场？
2.一个n边形的内角和比它的外角和至少大1200,，n的值最小是多少？
3.某校八年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车。
已知44座的客车租用了2辆，那么40座的客车至少需租多少辆？
4.某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元，另外每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票的收入不低于2000元，那么平均每场次至少应售出学生优惠票多少张？
5.一个工程队原定在8天内至少要挖400m3,在前两天一共完成了100m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内，平均每天至少要挖多少土？
一元一次不等式组
（一）
[教学目标]1、了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组解集的意义；2、掌握一元一次不等式组的解法。
[重点难点] 一元一次不等式组的解法是重点；一元一次不等式组的解集的表示是难点。
1、一元一次不等式组的概念和解集
把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
记作
不等式组的解集是7＜x＜13
类比方程组的解，我们把几个不等式组的解集的公共部分，叫做不等式组的解集。
解不等式就是求它的解集。
我们可以利用数轴确定不等式组的解集。
注意：
如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆
二、典型例题
例1.列出符合条件的不等式
（1）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多少时间能将污水抽完？
（2）某种杜鹃花适宜生长在平均气温为17～20℃的山区，已知这一地区海拔每上升100m，气温下降0.6℃，现测出山脚下的平均气温是23℃.估计适宜种植这种杜鹃花的山坡的高度。
例2.解不等式组
解：
解不等式①,得 .
解不等式②,得 .
在同一数轴上表示不等式①、②的解集,如图,可知所求不等式组的解集是
例2解不等式组：
解:
解不等式①，得 .
解不等式②,得 .
在同一数轴上表示不等式①、②的解集,如图可见,这两个不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组的解集是 .
小结：
一元一次不等式组解集四种类型如下表：
不等式组
（a＜b）
数轴表示
解集
记忆口诀
（1）
x＞b
同大取大
（2）
x＜a
同小取小
（3）
a＜x＜b
大小取中
（4）
无解
矛盾无解
三、热身练习：
1、
（1）不等式组
的解集是
（2）不等式组
的解是。
（3）不等式组
的解集是
（4）不等式组
的解是。
2.解不等式组
（1）x-2<2
（2）3x+2>-1（3）2x+1<0
2x-11≥-11-x<33-x>0
（4）-2x≤0
4x+1<5
解一元一次不等式组
（2）
2、如果三角形的三边长分别为a+1，a，a－1，那么a的取值范围是（ ）
A.a＞0Ba＞1Ca＞2D1＜a＜2
3、若不等式组
，则m的范围是（ ）
A m＞3Bm≥3Cm＜3Dm≤3
4、某市自来水公司按如下标准收取水费：
若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3,则超过部分每立方米收费2元，小刚家某月的水费不少于15元，那么他家这个月的用水量至少是（ ）
A 10吨 B 9吨 C 8吨 D 7吨
二、典型例题:
例1.一个长方形足球场的宽是65m，如果它的周长大于330cm，面积不大于7159㎡。
求这个足球场的长的范围，并判断这个足球场是否可以用于国际足球比赛。
（国际比赛的足球场长度为100～110m,宽度为64～75m）
例2、把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？
最少是多少？
例3、用每分钟可抽水20m3抽水机抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水有1800～2000m3，那么抽完污水至少需要多少时间？
至多需要多少时间？
例4、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:
（1）用含x的代数式表示m;
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
三、热身练习：
1、
（1）有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排____________
2、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:
那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?
（严禁超载）
船型
每只限载人数（人）
租金（元）
大船
5
3
小船
3
2
3、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？
4、某种植物适宜生长在温度为18℃～22℃的山区,已知山区海拔每升高100m,气温下降0.5℃,现测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山上的哪一部分为宜（设山脚下的平均海拔高度为0m）.
5、某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生产一件A产品需要甲原料9kg,乙原料3kg,生产一件B产品需要甲原料4kg,乙原料10kg.
（1）设生产x件A种产品,写出x应满足的不等式组。
（2）有哪几种符合的生产方案？
一元一次不等式的小结
（1）
一、课前预习
1、不等式6x－2≥3x＋4的解集是_______；2、不等式2＜－3x＜4的解集是_________；
3、不等式1＜2x－1＜3的解集是_________；不等式组
的解集是．
4、设a＜b,
（1）
的解集为_____（口诀是：
___________）
（2）
的解集是______（口诀是：
___________）；
（3）
解集是_______（口诀是______________）；
（4）
的解集是_____（口诀是________________）。
5、解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：
≤
－
二、例题讲解
例1 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集是x＜
，求a的取值范围是。
例2求不等式10－4（x－3）≥2（x－1）的非负整数解，并把它的解集在数轴上表示出来。
例3不等式ax－b＞0与
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