新版人教初二不等式教案Word格式文档下载.docx
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2、一辆48座的旅游车载有游客x人,到一个站上又上来2个人,车上仍有空位,有数学式子表示上述数量关系
3、某一天的最低气温是-2℃,最高气温是6℃,该市这一天某一时刻的气温t℃。
4、有下列数学表达:
①-
;
②
③
④
⑤
⑥2
.其中是不等式的有()个.
A、2B、2C、4D、5
5、如图所示,对a,b,c三种物体的重量判断不正确的是()
A、a<cB、a<bC、a>cD、b<c
6、用不等式表示:
(1)x的
与5的差小于1;
(2)x的4倍大于x的3倍与7的差;
(3)8与y的2倍的和是正数;
(4)a的3倍与7的差是负数;
(5)x与6的和不小于9;
(6)x与8的差的
不大于0.
7、a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示:
用“<”或“>”号填空:
(1)a__________b;
(2)|a|__________|b|;
(3)a+b__________0;
(4)a-b__________0;
(5)a+b__________a-b;
(6)ab__________a.
4、不等式的解和解集
1、不等式的解
我们把能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.
我们看到不等式的解不是一个,
它的解到底有多少个?
对于x>
-1这个不等式,所有大于-1的数都是这个不等式的解,它的解有无数个。
2、不等式的解集:
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
这个解集可以用数轴来表示。
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
3、不等式解集的表示方法
例如,在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边?
因此我们可以在数轴上把x>3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:
同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数?
此时在作x≤-2的数轴表示时,要包括-2的对应点,因而在该点处应画
实心圆点.如图所示:
小于向左画,大于向右画;
无等号画空心圆圈,有等号画实心圆点.
典型例题:
在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x<3;
(2)x≤4;
(3)x≥-0;
(4)x<2;
(5)-1≤x<2.
-2
-3
-1
2
1
(1)
1.下列哪些是不等式x+2>
4的解?
把是的圈出来.
-5,-3,-1.5,0,1,2,3.4,4,5,6.2,9
2.两个不等式的解集分别是x<2和x≤2,它们主要是有什么不同?
在数轴上表示的时候又是什么样的区别?
3.写出下列各图所表示的不等式的解集:
(2)
.
(3)
(4)
(5)
(6)
4.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x≤-5;
(2)x≥0;
(3)x>-1;
(4)1≤X≤4;
(5)-2<X≤3;
5.用不等式表示下列数量关系,再用数轴表示解集,最后从图形中找出正整数解.
X不大于4
不等式的性质
[教学目标]1、经历发现不等式性质的探索过程;
2、理解不等式的性质。
不等式的性质是重点;
运用不等式的性质进行判断是难点。
一:
课前预习:
1.复习,大家还记得等式的基本性质吗?
等式基本性质1:
在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得结果仍是等式.
基本性质2:
在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式
2、不等式的性质
(1)5>
3,5+23+2,5-23-2
(2)-1<
3,-1+23+2,-1-33-3;
(3)6>
2,6×
52×
5,6×
(-5)2×
(-5)
(4)-2<
3,(-2)×
6
3×
6,
(-2)×
(-6)
(-6)。
观察
(1)
(2),类比等式的性质,你发现了什么规律?
性质1:
不等式两边加减同一个数(或式子),不等号的方向不变。
即
如果a>b,那么a±
c>b±
c.
观察(3),类比等式的性质,你发现了什么规律?
性质2:
不等式两边乘或除以同一个正数,不等号的方向不变。
即
如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c).
观察(4),类比等式的性质,你发现了什么规律?
性质3:
不等式两边乘或除以同一个负数,不等号方向改变。
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c).
思考:
①比较上面的性质2与性质3,看看它们有什么区别?
性质2的两边乘或除的是一个正数,不等号的方向没有变;
而性质3的两边乘或除的是一个负数,不等号的方向改变了。
②比较等式的性质与不等式的性质,它们有什么异同?
等式的性质与不等式的性质1、2,除了一个说“等式仍然成立”,一个说“不等号方向不变”的说法不同外,其余都一样;
而不等式的性质3说“不等号方向改变”,这与等式的性质说法不同。
典型例题:
例1、设a<b,用“<”或“>”号填空:
(1)a-3 b-3;
(2)a-b 0.(3)―4a ―4b;
.
例2、已知x<y,用“<”或“>”号填空。
(1)
(2)(3)
(4)
例3、用不等式性质将不等式变形成x>a或x<a的形式。
四、热身练习:
将下列不等式改写成“x>a”或“x<a”的形式:
(1)x-3>2
(2)3x<2x-3
x>-3;
(4)-2x<3x+5
(5)x-4>3(6)2x-3<x-2
(7)x+1>-3(8)-2x-4<4x+4
(9)x≤2(x-2)(10)
>0
(11)
<4(12)x-4>3
(13)2x-3<x-2 (14)
x+1>-3;
(15)-2x-4≥4x+8 (16)-
x≤
(x-2);
一元一次不等式的解法
[教学目标]掌握一元一次不等式的解法。
[重点难点]一元一次不等式的解法是重点;
不等式性质3在解不等式中的运用是难点。
一、不等式的解法
例1
解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)
x-7>26
(2)3x
<
2x+1
(3)2/3x≥50
(4)-4x≤3
分析:
解不等式最终要变成什么形式呢?
就是要使不等式逐步化为x>a或x
a的形式。
解:
根据等式的性质1,得x-7+7>26+7
∴x>33
根据等式的性质1,得3x-2x
2x+1-2x
∴x<
例2
解不等式:
1/2x-1≤2/3(2x+1)
我们知道,解不等式的依据是不等式的性质,而不等式的性质与等式的性质类似,因此,解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同。
去分母,得
3x-6≤4(2x+1)
去括号,得
3x-6≤8x+4
移项,得
3x-8x≤4+6
合并,得-5x≤10
系数化为1,得
x≥-2
解一元一次不等式的步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)糸数化为1。
注意在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号方向必须改变.
2、典型例题:
例1、解下列不等式并把它的解集在数轴上表示出来:
(1)8-x<3
(2)3x>7(3)-
x-1≤2.
(5)
(6)
例2、如果关于x的不等式-k-x+6>0的正整数解为1,2,3,正整数k应取怎样的值?
例3、已知方程3(x-2a)+2=x-a+1的解适合不等式2(x-5)≥8a,求a的取值范围。
三、热身练习
2.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2x+1>3;
(2)2-x<1
(3)2(x+1)<3x;
(4)3(2x+2)≥4(x-1)+7.
(5)3(x-3)>
4x+5;
5.一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?
6、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价20元,乒乓球定价每盒5元,现两家商店搞促销活动,甲店:
每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球;
乙店:
按定价的九折优惠。
某边需购球拍4副,乒乓球若干盒(不少于4盒)。
(1)设购买乒乓球盒数为x(盒),在甲商店付款为y甲(元),在乙商店付款为y乙(元),分别写出y甲,y乙与x的关系式;
(2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算?
一元一次方程与一元一次不等式
例题学习
例1已知一元一次方程3(x-a)=1-2a的解是非负数,求a的范围
练习:
(1)已知关于x的一元一次方程3x-a
+1=2x的解正数,求a的取值范围.
(2)已知:
练习:
已知关于方程组
的解,满足x与y的和是负数,求a范围
例2:
已知,不等式x-m≤2的解集是x≤-1,求m
练习:
关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示,求a的值
二:
课堂练习
1.若关于x的方程是x-1=2x的解为正数,则k的取值范围是_________
2.若y=3x+12,则当x值时,y>0
3.已知y1=2x-5,y2=-2x+3,若y1<
y2,则x的取值范围是
4、已知,则x的取值范围是________.
5.已知x=3-2a是不等式
的解,求a的取值范围.
6.已知不等式2(1-x)<
3(x+5)的最小整数解为方程2x-ax=4的解,求
的值.
7.已知
,若y>
0,求k的取值范围.
8.已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解时负数,求a的取值范围。
9.k取何值时关于x的方程:
3(x-2)+6k=0的解是正数?
10.已知不等式5(x-2)+8<
6(x-1)+7的最小整数解是2x-ax=4的解,求a
实际问题与一元一次不等式
(一)
[教学目标]
学会用一元一次不等式解决实际问题。
用一元一次不等式解决实际问题是重点;
找不等关系是难点。
一、典型例题:
例
1、甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品,同时又各自推出不同的优惠措施.甲商场的优惠措施是:
累计购买100元商品后,再买的商品按原价的90%收费;
乙商场则是:
累计购买50元商品后,再买的商品按原价的95%收费.顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠?
由于甲商场优惠措施的起点为购物100元,乙商场优惠措施的起点为购物50元,起点数额不同,因此必须分别考虑.你认为应分哪几种情况考虑?
分三种情况考虑:
①累计购物不超过50元;
②累计购物超过50元但不超过100元;
③累计购物超过100元。
(1)如果累计购物不超过50元,则在两店购物花费有区别吗?
为什么?
没有区别。
因为两家商店都没有优惠。
(2)如果累计购物超过50元但不超过100元,则在哪家商店购物花费小?
在乙商店购物花费小。
因为乙商店有优惠,而甲商店没有优惠。
(3)如果累计购物超过100元,那么在哪家商店购物花费小?
因为两家商店都有优惠,所以要分三种情况考虑:
设累计购物x元(x>100),则在甲商店购物花费多少元?
在乙商店购物花费多少元?
在甲商店购物花费:
100+0.9(x-100)元;
在乙商店购物花费:
50+0.95(x-50)。
①
若在甲商场购物花费小,则
50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100)
解之,得
x>150
②
若在乙商场购物花费小,则
50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100)
解之,得
x<150
③若在两家商场购物花费相同。
50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)
x=150
答:
如果累计购物不超过50元,则在两店购物花费一样多。
如果累计购物超过50元但不超过100元,则在乙商店购物花费小。
若累计购物多于150元,在甲商场购物花费小;
若累计购物等于150元,在两商场购物花费一样多;
若累计购物多于100元少于150元,在乙商场购物花费小。
注意:
问题比较复杂时,要考虑分类解答。
分类要做到不重不漏。
例2、一只纸箱质量为1kg,当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg)后,箱子和苹果的总质量不超过10kg.这只纸箱内最多能装多少个苹果?
解:
设这只纸箱内装了X个苹果。
根据题意,得
解这个不等式,得
所以,X的最大值是
答:
这只纸箱内最多能装个苹果
思考练习:
一只纸箱质量为1kg,当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg)后,箱子和苹果的总质量小于10kg,这只纸箱内最多能装多少个苹果?
三.热身练习
1.要使三个连续奇数之和不小于100,那么3个奇数中,最小的奇数应当是 .
2.在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分超过80分者通过预选赛。
要通过预选赛,至少应答对几道题?
3.某班学生外出春游时合影留念,一张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元。
如果每人预定1张彩照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?
4.某电影院暑假向学生优惠开放,每张门票2元。
另外,每场还可对外售出每张5元的普通门票300张,如果要保持每场次的票房收入不低于2000元,那么平均每场次至少应出售多少张学生门票
6.阳光中学校长准备在暑假带领该校的“市级三好生”去青岛旅游,甲旅行社说“如果校长买全票一张,则其余学生享受半价优惠.”乙旅行社说“包括校长在内,全体人员均按全票的6折优惠”.若到青岛的全票为1000元.
(1)设学生人数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费表达式.
(2)就学生人数x,讨论哪家旅行社更优惠?
课后作业:
1.甲、乙两队进行足球对抗赛,规定每队胜一场的3分,平一场的1分,负一场的0分,两队一共比赛了10场,甲队保持不败,得分超过22分,甲队至少胜了多少场?
2.一个n边形的内角和比它的外角和至少大1200,,n的值最小是多少?
3.某校八年级406名师生外出春游,租用44座和40座的两种客车。
已知44座的客车租用了2辆,那么40座的客车至少需租多少辆?
4.某电影院暑假向学生优惠开放,每张票2元,另外每场次还可以售出每张5元的普通票300张,如果要保持每场次票的收入不低于2000元,那么平均每场次至少应售出学生优惠票多少张?
5.一个工程队原定在8天内至少要挖400m3,在前两天一共完成了100m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内,平均每天至少要挖多少土?
一元一次不等式组
(一)
[教学目标]1、了解一元一次不等式组的概念,理解一元一次不等式组解集的意义;
2、掌握一元一次不等式组的解法。
一元一次不等式组的解法是重点;
一元一次不等式组的解集的表示是难点。
1、一元一次不等式组的概念和解集
把几个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。
记作
不等式组的解集是7<x<13
类比方程组的解,我们把几个不等式组的解集的公共部分,叫做不等式组的解集。
解不等式就是求它的解集。
我们可以利用数轴确定不等式组的解集。
如果不等号中带有等号,空心圆就要变成实心圆
二、典型例题
例1.列出符合条件的不等式
(1)用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多少时间能将污水抽完?
(2)某种杜鹃花适宜生长在平均气温为17~20℃的山区,已知这一地区海拔每上升100m,气温下降0.6℃,现测出山脚下的平均气温是23℃.估计适宜种植这种杜鹃花的山坡的高度。
例2.解不等式组
解:
解不等式①,得 .
解不等式②,得 .
在同一数轴上表示不等式①、②的解集,如图,可知所求不等式组的解集是
例2解不等式组:
解:
解不等式①,得 .
在同一数轴上表示不等式①、②的解集,如图可见,这两个不等式的解集没有公共部分,这时,我们说这个不等式组的解集是 .
小结:
一元一次不等式组解集四种类型如下表:
不等式组
(a<b)
数轴表示
解集
记忆口诀
(1)
x>b
同大取大
(2)
x<a
同小取小
(3)
a<x<b
大小取中
(4)
无解
矛盾无解
三、热身练习:
1、
(1)不等式组
的解集是
(2)不等式组
的解是。
(3)不等式组
(4)不等式组
2.解不等式组
(1)x-2<
2
(2)3x+2>
-1(3)2x+1<
0
2x-11≥-11-x<
33-x>
0
(4)-2x≤0
4x+1<
5
解一元一次不等式组
(2)
2、如果三角形的三边长分别为a+1,a,a-1,那么a的取值范围是( )
A.a>0Ba>1Ca>2D1<a<2
3、若不等式组
,则m的范围是( )
A m>3Bm≥3Cm<3Dm≤3
4、某市自来水公司按如下标准收取水费:
若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费1.5元;
若每户每月用水超过5m3,则超过部分每立方米收费2元,小刚家某月的水费不少于15元,那么他家这个月的用水量至少是( )
A 10吨 B 9吨 C 8吨 D 7吨
二、典型例题:
例1.一个长方形足球场的宽是65m,如果它的周长大于330cm,面积不大于7159㎡。
求这个足球场的长的范围,并判断这个足球场是否可以用于国际足球比赛。
(国际比赛的足球场长度为100~110m,宽度为64~75m)
例2、把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合,要使总价不超过400元,且糖果不少于15千克,所混合的乙种糖果最多是多少?
最少是多少?
例3、用每分钟可抽水20m3抽水机抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水有1800~2000m3,那么抽完污水至少需要多少时间?
至多需要多少时间?
例4、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;
如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
1、
(1)有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排____________
2、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:
那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?
(严禁超载)
船型
每只限载人数(人)
租金(元)
大船
5
3
小船
3、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少?
4、某种植物适宜生长在温度为18℃~22℃的山区,已知山区海拔每升高100m,气温下降0.5℃,现测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山上的哪一部分为宜(设山脚下的平均海拔高度为0m).
5、某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生产一件A产品需要甲原料9kg,乙原料3kg,生产一件B产品需要甲原料4kg,乙原料10kg.
(1)设生产x件A种产品,写出x应满足的不等式组。
(2)有哪几种符合的生产方案?
一元一次不等式的小结
(1)
一、课前预习
1、不等式6x-2≥3x+4的解集是_______;
2、不等式2<-3x<4的解集是_________;
3、不等式1<2x-1<3的解集是_________;
的解集是.
4、设a<b,
(1)
的解集为_____(口诀是:
___________)
(2)
的解集是______(口诀是:
___________);
解集是_______(口诀是______________);
的解集是_____(口诀是________________)。
5、解不等式,并把不等式的解集在数轴