公务员行测数量关系经典总结四.docx

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公务员行测数量关系经典总结四

数量关系常用公式

一、五大方法

1.代入法：

代入法时行测第一大法，优先考虑。

2.赋值法：

对于有些问题，若能根据其具体情况，合理巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，往往能使问题获得简捷有效的解决。

题干中有分数，比例，或者倍数关系时一般采用赋值法简化计算，赋值法经常应用在如工程问题，行程问题，费用问题等题目中。

3.倍数比例法：

若a:

b=m:

n（m、n互质），

则说明:

a占m份，是m的倍数；

b占n份，是n的倍数；

a+b占m+n份，是m+n的倍数；

a-b占m-n份，是m-n的倍数。

4.奇偶特性法：

两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；

两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；

两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数

5.方程法：

很多数学运算题目都可以采用列方程进行求解。

方程法注意事项：

未知数要便于列方程；未知数可以用字母表示，也可以用“份数”，还可以用汉字进行替代。

二、六大题型

1.工程问题：

工作量=工作效率×工作时间

工程问题一般采用赋值法解题。

赋值法有2种应用情况，第一种是题干中已知每个人完成工作的时间，这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数，进而得到每个人的工作效率，从而快速求解；第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系，这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解。

2.行程问题：

路程=速度×时间

行程问题一般要通过数形结合进行快速求解，常见的解法包括列方程，比例法等。

常考的题型包括相遇问题和追及问题。

相遇问题：

路程和=速度和×时间

追及问题：

路程差=速度差×时间

3.溶液问题：

浓度=溶质÷溶液

溶液问题常见的有两种，一种是溶液的混合，这种问题用公式解决；另外一种是单一溶液的蒸发或稀释，这种题目一般用比例法解决，即利用溶质不变进行求解。

4.容斥原理：

两集合型的容斥原理题目，关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：

满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数

三集合公式型题目，需要大家记住公式核心公式：

A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数

三集合图示型题目，当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。

5.和差倍比问题：

和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，是数学运算中比较简单的问题。

但这类问题对计算速度和准确度要求较高，一般采用代入法快速求解。

6.最值问题：

三类

第一，抽屉原理，特征“至少+保证”，方法“最不利原则”，答案“最不利+1”；

第二，多集合问题，特征“至少”，方法“逆向考虑”；这类题目的做法，一般就是将每个集合不满足的个数求出，然后求和得到有不满足集合的个数最多，再用总数减去这个和，得到满足的个数最少为多少。

第三，构造数列，特征“最多最少”，方法“极端思想”这类题目的做法就是在极端思维情况下，构造出满足条件的一个数列，然后数列求和等于题目所给总和，再根据提问方式得到最终结果。

三、八大公式

1.裂项相消公式：

2.植树问题：

单边线型植树公式：

棵数=总长÷间隔+1；

单边环型植树公式：

棵数=总长÷间隔；

单边楼间植树公式：

棵数=总长÷间隔-1；

双边植树问题公式：

相应单边植树问题所需棵树的2倍。

3.方阵问题：

无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：

外圈比内圈多8人；

在方阵中：

总人数=N2=（外圈人数4+1）2，最外圈为4N-4人

4.等距离平均速度：

（其中v1和v2分别代表往、返的速度）

5.沿途数车公式：

发车时间间隔

；

（其中t1和t2分别代表迎面来一辆车所需时间和从身后超过一辆车所需时间）

6.排列组合公式:

排列公式：

组合公式：

7.过河问题公式:

M个人过河，船上能载N个人，由于需要a人划船，故共需过河

次

8.等差数列公式:

和＝

＝平均数×项数＝中位数×项数

年龄问题

一、考情分析

年龄问题在历年的国考和省考中出现的频次不大，题目整体难度也不大，属于得分题目，只要考生掌握了基本的计算公式，在计算过程中细致认真，基本能掌握这一考点。

二、年龄问题概述

年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题，也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。

一般题干中已知两人的年龄，然后求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系。

它的主要特点是：

时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。

年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。

年龄问题中不管涉及的是多少年前还是多少年后的年龄，唯一不变的是年龄差，可以说年龄问题的关键就在于找到“年龄差不变”。

所以用年龄差来做运算过程中的基准量，便可以大大简化计算过程。

如果能深刻理解年龄差的作用，在面对年龄问题时，更可以瞬间找到切入点。

三、解题方法

（一）直接分析法

例题1：

父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的年龄的8倍时，父子的年龄和是多少？

A.36B.54C.99D.162

【答案详解】父子的年龄差是一个不变量，二者的年龄差为44-16=28岁。

因此，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄为28÷（8-1）=4岁，此时父子的年龄和为4×（8+1）=36岁。

例题2：

在一个家庭中有爸爸、妈妈、女儿和儿子。

现在把所有成员的年龄加在一起是77岁，爸爸比妈妈大3岁，女儿比儿子大2岁。

5年前，全家所有人的年龄总和是58岁。

现在爸爸的年龄是多少岁？

A.67B.32C.35D.78

【答案详解】根据5年前全家所有人的年龄和是58岁，可以推出现在全家人的年龄总和应该是58+4×5=78岁。

但实际上的年龄总和却是77岁，差了1岁，说明有一个人只长了4岁，这个人只能是儿子（5年前尚未出生）。

女儿就应该是4+2=6岁，现在父母的年龄和是77-4-6=67岁，又知他们的年龄差是3岁，可求出爸爸的年龄是（67+3）÷2=35岁。

（二）方程法

例题3：

1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。

2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。

问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁

【答案详解】设1998年乙的年龄是x岁，那么甲的年龄是4x岁。

从1998年到2002年经过了4年，两个人都长了4岁，那么这个时候，甲的年龄是4x+4岁，乙的年龄是x+4岁。

由于甲的年龄是乙的3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。

也就是说1998年，乙的年龄是8岁，则2000年的年龄是10岁，直接选择D。

（三）和差倍关系法

例题4：

2004年小强小学毕业时正好12岁，妈妈40岁，多少年前妈妈的年龄正好是小强的5倍？

A.4B.5C.8D.7

【答案详解】妈妈和小强的年龄差为40-12=28岁；

当妈妈的年龄是小强的5倍时，妈妈与小强的年龄差就相当于小强年龄的4倍，此时小强的年龄为28÷（5-1）=7岁。

12-7=5，故5年前妈妈的年龄正好是小强的5倍。

（四）表格法

例题5：

5年前甲的年龄是乙的3倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙当前的年龄？

A．

+5B．

+10C．

D．3y-5

【答案详解】设乙当前的年龄为m，依题意画表格：

（五）数轴法

例题6：

甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。

问今年甲的年龄为多少岁？

A．22B．34C．36D．43

【答案详解】画数轴可知甲比乙大，设二者年龄差为x，如图所示甲应小于29岁，直接选A。

（六）代入排除法

例题7：

张繁30多岁时她女儿出生，2008年她女儿的年龄是她的年龄的■，2009年张繁多少岁？

A.61B.51C.62D.52

【答案详解】由题意可知，2008年张繁的年龄为5的倍数，因此2009年张繁的年龄除以5余1，排除C、D两项。

若2008年张繁60岁，则她女儿为24岁，张繁36岁时女儿出生，符合题意，选择A。

若2008年张繁50岁，则她女儿为20岁，张繁30岁时女儿出生，不符合题意，排除。

四、核心要点

主要特点是：

时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。

年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。

解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。

解答年龄问题的一般方法：

几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄

几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差

盈亏问题

一、考情分析

盈亏问题在国家公务员考试中出现得比较少，但是在各省市的公务员考试中出现得比较多，相信在以后的考试中还是会有所出现。

这类题型比较简单，考生只需要记住公式即可。

二、题型介绍

盈亏问题早在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章——盈不足章节中就曾记载，盈就是有余，亏就是不足的意思。

把一定数量的物体分给若干个对象，按某种标准分，结果刚好分完，或多余（盈），或不足（亏），再按另一种标准分，又出现分完、多余或不足的结果，根据每次的结果来求物体以及分配对象的数量的问题，就称为盈亏问题。

盈亏问题的常见题型为给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体和分配对象的数量。

由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果的组合，这里以一道典型的盈亏问题对三种情况的几种组合加以说明。

现有一筐苹果，不知道有多少个，一群小朋友，也不知有多少人，把这些苹果平分给这些小朋友，根据每组的两个条件，求出苹果和小朋友的人数。

1.一盈一亏

如果每人分9个苹果，就剩下10个苹果；如果每人分12个苹果，就少20个苹果。

2.两次皆盈

如果每人分8个苹果，就剩下20个苹果；如果每人分7个苹果，就剩下30个苹果。

3.两次皆亏

如果每人分11个苹果，就少10个苹果；如果每人分13个苹果，就少30个苹果。

4.一盈一尽

如果每人分6个苹果，就剩下40个苹果；如果每人分10个苹果，就刚好分完。

5.一亏一尽

如果每人分14个苹果，就少40个苹果；如果每人分10个苹果，就刚好分完。

无论根据以上哪组条件，都可以求出有小朋友10人，苹果100个。

解决这类问题的关键是要抓住两次分配时盈亏总量的变化，经过比对后，再来进行计算。

三、解题方法

（一）公式法

针对每一种题型，我们都有固定的公式来解决。

实际上盈亏问题一般都是一种货物的两种分配方法，我们可以总结一下：

人数=两次分配的剩余/亏欠的货物数之差÷两次分配中每个人得到的货物数之差

大家可以尝试着用上面的公式来解下面这些题：

例题1：

现有一筐苹果，不知道有多少个，一群小朋友，也不知有多少人，把这些苹果平分给这些小朋友，根据以下不同条件，求出苹果和小朋友的人数。

（1）如果每人分9个苹果，就剩下10个苹果；如果每人分12个苹果，就少20个苹果。

（2）如果每人分8个苹果，就剩下20个苹果；如果每人分7个苹果，就剩下30个苹果。

（3）如果每人分11个苹果，就少10个苹果；如果每人分13个苹果，就少30个苹果。

（4）如果每人分6个苹果，就剩下40个苹果；如果每人分10个苹果，就刚好分完。

（5）如果每人分14个苹果，就少40个苹果；如果每人分10个苹果，就刚好分完。

【答案详解】分别根据不同分配结果的公式列式计算：

（1）小朋友有（10+20）÷（12-9）=10人，苹果有9×10+10=100个。

（2）小朋友有（30-20）÷（8-7）=10人，苹果有8×10+20=100个。

（3）小朋友有（30-10）÷（13-11）=10人，苹果有11×10-10=100个。

（4）小朋友有40÷（10-6）=10人，苹果有6×10+40=100个。

（5）小朋友有40÷（14-10）=10人，苹果有14×10-40=100个。

（二）方程法

如果不愿意记公式的话，我们也可以直接用方程法来解题。

例题2：

某班去划船，如果每只船坐4人，就会少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边。

问有多少个同学？

A.30B.31C.32D.33

【答案详解】设小船有x只，根据人数不变列方程：

4（x+3）=6x+2，解得x=5。

所以有同学6×5+2=32人。

四、题型精讲

（一）直接计算型

这类题可以直接对应到上面公式中所说的其中一个类型，直接代入公式就可以得到答案。

例题3：

在一次救灾扶贫中，给贫困户发放米粮。

如果每个家庭发50公斤，那么多230公斤；如果每个家庭发60公斤，那么少50公斤。

问这批粮食共（）公斤。

A．1630B．1730C．1780D．1550

【答案详解】此题为“一盈一亏”型，贫困户一共有（230+50）÷（60-50）=28家，因此粮食一共有28×50+230=1630公斤。

例题4：

士兵背子弹作行军训练，若每人背45发，则多680发；若每人背50发，则还多200发。

问有子弹多少发？

A．4800B．4500C．5000D．5450

【答案详解】由题意可知，此题为两次都有余（盈），有士兵（680-200）÷（50-45）=96人，有子弹50×96+200=5000发。

需要注意的是，公务员考试中最常见的是“一盈一亏型”。

（二）条件转换型

这类题目直接套公式是得不到答案的，需要我们把已知条件换一种说法，将它转化成为上述五种标准形式中的一种才可以。

例题5：

有个班的同学去划船，他们算了一下。

如果增加一条船，正好每条船可以坐8人；如果减少一条船，正好每条船可以坐12人，问这个班共有几名同学？

A.38B.96C.48D.92

【答案详解】此题需要进行条件转换，如果不增加船，那么每条船坐8人，还剩余8人；如果不减少船，每条船坐12人，还少了12人。

这就转化成了常规的盈亏问题，有船（8+12）÷（12-8）=5只，共有同学8×（5+1）=48人。

例题6：

一单位组织员工乘坐旅游车去泰山，要求每辆车上的员工人数相等。

起初，每辆车上乘坐22人，结果有1人无法上车；如果开走一辆空车，那么所有的游客正好能平均乘坐到其余各辆旅游车上。

已知每辆车上最多能乘坐32人，请问该单位共有多少员工去了泰山？

A．269人B．352人C．478人D．529人

【答案详解】开走一辆空车，则剩余22+1=23人，需要把23人平均分配到剩余的旅游车上。

23的约数只有23和1，而每辆车最多能乘坐32人，排除将23人分配到1辆车上的情况（22+23>32），只能每辆车上分配1人，分配后每辆车有22+1=23人。

进行条件转换，如果没有开走那辆车，那么每辆车分配23人，还少23人，加上已有条件“每辆车上乘坐22人，结果有1人无法上车”，就转化成了常规的盈亏问题，有车（1+23）÷（23-22）=24辆，有员工24×22+1=529人。

例题7：

某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，那么余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，那么余下20箱。

由此推知该单位共有困难职工：

A．61人B．54人C．56人D．48人

【答案详解】若每人分5箱，则余148+12×（7-5）=172箱；若每人分7箱，则余20+30×（8-7）=50箱。

这就转化成常规的盈亏问题，共有职工（172-50）÷（7-5）=61人。

植树问题

一、考情分析

通过近几年的国考来看，植树问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。

但是总是会出现一些植树问题与其他问题相结合的题目，同时在省考中还是会经常出现很多植树问题，并且在近几年的省市考试中得到了延伸，考题中开始出现锯木头、爬楼梯等各类植树问题的变形。

大家同样需要重视这类问题。

二、基础知识

什么是植树问题呢？

我们给定了一段路线上，然后每隔一定的距离种一棵树，同时给出植树的方式（比如端点是否植树）、相邻两棵树之间的距离、路的总长度，就可以求出共需要种多少树，这类问题就是植树问题。

植树问题中经常涉及到的几个概念有：

路长、株距和棵数。

我们通过下面这个例子来认识一下植树问题以及相关概念。

在长为20米的路上种树，每隔5米种一棵，问要种多少棵？

对于这种问题，我们可以画个图来说明一下：

在这里面，“路长”顾名思义，就是整个道路的长度，也就是这个题目里面的那个“20米”，“株距”指的是相邻两棵树之间的距离，也就是题目中的“5米”，“棵数”就是指树木的数量，看图很明显知道，就是5棵数。

大家需要记住这三个概念：

路长、株距和棵数。

因为接下来讲解的所有内容都跟这三个概念相关。

三、植树问题基本类型

植树问题从大的方面来分类，可以分成封闭路线和开放路线两大类的问题，而开放路线又可以分成三种不同的情况。

所有的植树问题都是跟这四种问题相关，我们现在来一一介绍这些类型。

（一）封闭路线植树问题

应用公式：

棵数=路长÷株距

路长=株距×棵数

株距=路长÷棵数

例题1：

在圆形的花坛周围植树，已知周长为50米，如果每隔5米种一棵树的话，一共可以种多少棵？

A.9B.10C.11D.12

【答案详解】这是一道典型的封闭性植树问题，首尾重合。

棵树就等于总段数=路长÷株距，因此选B。

做封闭性植树问题时，无论是圆形、三角形还是方形封闭，都是一样的解法，不要被图形迷惑。

（二）两端植树的开放路线植树问题

应用公式：

棵树=路长÷株距+1

路长=株距×（棵数-1）

株距=路长÷（棵数-1）

例题2：

在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种1棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？

A.700B.800C.900D.600

【答案详解】开放路线两端均植树问题。

本题的突破口在于树苗的数量一定。

设公路长为a米，利用公式“棵树=路长÷株距+1”，每隔3米种一棵树时，公路两边植树的数量为2（a÷3＋1）；每隔2.5米种一棵树时，公路两边植树的数量为2（a÷2.5＋1）。

可列方程2（a÷3＋1）+5=2（a÷2.5＋1）-115，解得a=900。

（三）只有一端种树的开放路线植树问题

应用公式：

棵数=路长÷株距

路长=株距×棵数

株距=路长÷棵数

例题3：

从图书馆到百货大楼有25根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从图书馆到百货大楼距离是多少？

（图书馆门口没有一根电线杆）

A.750B.720C.680D.700

【答案详解】“图书馆门口没有一根电线杆”，说明是“只有一端植树”型。

利用公式解题，总路长=段数×株距=棵树×株距=25×30=750米。

（四）两端都不种树的开放路线植树问题

应用公式：

棵数=路长÷株距-1

路长=株距×（棵数+1）

株距=路长÷（棵数+1）

例题4：

有两座楼间距500米，若在两座楼间每隔25米种一棵树，则共需种多少棵树？

A.19B.20C.21D.22

【答案详解】“两端都不植树”类型。

根据公式，棵数=段数-1。

所以共需种500÷25-1=19棵树。

四、植树问题典型变形

现在的公务员考试难度越来越大，考查植树问题的时候不再只是单纯考查大家种树了，他们更希望大家还能够锯锯木头，爬爬楼梯，我们现在可以来看看，这些东西跟种树是完全一样的。

（一）锯木头问题

一根木料有两个端点，n段有2n个端点，每锯一次增加两个端点。

故一根木料要锯成x段，需要增加（2x-2）个端点，即只需锯（x-1）次，相当于两端不植树的不封闭路线植树的问题。

例题5：

有3根相同的木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需要3分钟，全部锯开需多少时间？

A.20B.15C.18D.23

【答案详解】植树问题的变形。

一根木料需锯3-1=2次，所以共需3×2×3=18分钟。

（二）爬楼梯问题

一幢n层的高楼，从底层到顶层需要走（n-1）层的楼梯，相当于两端都植树的不封闭植树问题。

若爬完一层休息一次，则从底层到顶层需要休息（n-2）次。

例题6：

从一楼走到五楼，爬完一层休息30秒，一共要210秒，那么从一楼走到七楼，需要多少秒？

A.318B.294C.330D.360

【答案详解】从一楼走到五楼一共爬了4层，因此需要休息3次，休息了30×3=90秒；

那么爬到五楼所需时间为210-90=120秒，爬一层楼需要120÷（5-1）=30秒。

从一楼走到七楼一共需要休息5次，共费时（7-1）×30+5×30=330秒。

再强调一次，一幢n层的高楼，从底层到顶层需要走（n-1）层的楼梯，相当于两端都植树的不封闭植树问题。

若爬完一层休息一次，则从底层到顶层需要休息（n-2）次。

（三）打木桩问题

一段路打了n个木桩，每一根木桩就相当于一棵树，一般来说，木桩要求在路的两端都要打上一根，因此，打木桩问题就相当于两端都植树的不封闭植树问题。

例题7：

某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩，一共打了49个木桩。

现在要改成4米打一个木桩，那么可以不拔出的木桩共有多少个？

A.8B.9C.11D.13

【答案详解】直道的总长=段数×间距=（49－1）×3=144米。

依题意，不拔出来的木桩距离起点的距离必须能被3和4整除，3和4的最小公倍数是12，即从起点开始每隔12米有一个木桩可以不拔出，144÷12=12，故有12＋1=13根木桩不用拔出。

（四）队列问题

一列队伍中，每列（行）有n人，则中间有（n-1）个株距，若株距为a米，则队伍长为a（n-1）米，相当于两端都植树的不封闭植树问题。

例题8：

运动会上，某检阅队伍400人，分成8竖行并列前进，前后2人相隔2米，每分钟走80米。

这支队伍通过62米的检阅台需要多少分钟？

A.3B.4C.5D.2

【答案详解】首先应求出队伍的长度：

每行有400÷8=50人，则队伍的长度是（50-1）×2=98米。

由此可知队伍通过检阅台行驶的总路程是98＋62=160米，需要160÷80=2分钟。

五、核心要点

植树问题：

单边线型植树公式：

棵数=总长÷间隔+1；

单边环型植树公式：

棵数=总长÷间隔；

单边楼间植树公式：

棵数=总长÷间隔-1；

双边植树问题公式：

相应单边植树问题所需棵树的2倍。