初中数学基本概念.docx
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初中数学基本概念
.基本概念
1.大于0的数叫做正数;小于0的数叫做负数;0既不是正数也不是负数.
注(1)正负数通常用来表示一对具有相反意义的量.
(2) 不一定是负数.
(3)负数<0<正数.(要会比较两个数的大小)
2有理数 "或 有理数
注:
了解几个概念,"正整数"、"负整数"、"非正整数"、"非负整数".
3.数轴的三要素:
原点、正方向和单位长度.(判断是不是数轴的依据)
4.(1)相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
(2)倒数:
乘积为1的两个数叫做互为倒数.
(3)绝对值:
数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值.
注:
① 互为相反数的两数之和为0;互为倒数的两数之积为1.
② 0的相反数是0;0的绝对值是0;0没有倒数.
③ 出现"平方"、"绝对值"、"距离"等关键字的题目,一般有两个答案.
例如:
平方为9的数有±3;绝对值为3的数有±3;距离原点3个单位长度的点表示的数是±3.
注:
要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数(0除外)和绝对值.
相反数
绝对值
倒数
正数
负数
正数
正数
负数
正数
正数
负数
0
0
0
不存在
5.科学记数法:
把一个大于10的数表示成 的形式,就叫做科学记数法.
注:
是整数位只有一位的数, 是正整数.
6(1)近似数:
它是相对于精确数来说的.
(2)有效数字:
从一个数的左边第一个非0数字起,到末尾数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.
二.有理数的运算法则
1.加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(3)0加任何数都得任何数.
2.减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.即
注:
加上一个数等于减去这个数的相反数.例如 .
3.乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
(2)0乘任何数都得0.
4.除法法则:
法则1:
除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数.即
法则2:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
5.乘方法则:
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
(2)正数的任何次幂都是正数.
(3)0的任何次幂都是0.
☆ 任何一个数都可以看作是它本身的1次方.即
6.有理数的混合运算法则:
(1)先乘方,在乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
三.有理数的运算律
1.加法运算律
(1)加法交换律:
(2)加法结合律:
2.乘法运算律
(1)乘法交换律:
(2)乘法结合律:
(3)乘法分配律:
☆ 负数一定要用括号括起来,如:
.
第二章 一元一次方程
一.几个基本概念
1.等式:
用等号连接的式子叫做等式.
2.方程:
含有未知数的等式叫做方程.
3.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.
注:
方程一定是等式,但等式不一定是方程.
☆“方程的解”和“解方程”
二.等式的基本性质
1.在等式的两边同时加上或减去一个数或式子,结果不变.即
2.在等式的两边同时乘以一个数,或者除以一个不为0的数,结果不变.即
三.解一元一次方程的步骤
1.去括号(把括号和括号前边的符号一同去掉,若括号前边是正号,则不变号;若括号前边是负号的,则变做相反的符号.)
2.去分母(在等式的两边同时乘以公分母.注意:
是等式两边的每一项都要乘以公分母.)
3.移项(通常把未知数移到等式的左边,常数项移到等式的右边.注意:
从等式的一边移到另一边要变作相反的符号.)
4.合并同类项(化简的作用.)
5.化系数为1.
四.利润问题、工程问题
1.利润=售价-进价=进价 利润率(盈利率)
售价=进价+利润=原价 折扣数
利润率=利润 进价
2.工作总量=工作效律 工作时间
注意:
做题时,往往把工作总量看作1.
顺流(风)速度=静水(风)速度+水(风)流速度
逆流(风)速度=静水(风)速度-水(风)流速度★ 补充教材 ★
(一)字母表示数
如:
若 、 分别表示两个数,则加法的交换律可以表示为 ,乘法交换律可以表示为 等.还有解方程中的 、圆面积中的 等都表示数字.
☆字母与字母相乘,乘号可以省略不写,或简单记作“ ”,数字与字母相乘,一定要把数字写在字母的前面,并把数字叫做该项的系数.
(二)代数式
像 、 、 、 等这样的式子都是代数式.
(三)代数式求值
1.填写下表
1
2
3
4
5
11
26
4
25
2.人体血液的质量约占人体体重的6%~7.5%,
如果某人体重是 千克,那么他的血液质量大约在什么范围内?
(四)去括号(比较与添括号)
去括号的法则:
(1)括号前边是" ",把括号和它前面的" "一同去掉,原括号里各项的符号都不改变.
(2)括号前边是" ",把括号和它前面的" "一同去掉,原括号里各项的符号改变为相反的符号.(即正变负,负变正)
第三章 图形认识初步
注:
平面几何要求熟记面积公式和周长公式,立 体几何要求会作图,知道它们的顶点、棱、面的个数.
2.直线、射线、线段.
端点
长短
粗细
表示
直线
无
无
无
直线AB
射线
1
无
无
射线AB
线段
2
有
无
线段AB
(1)两点之间线段最段.
两点确定一条直线.
(2)点和直线的位置关系:
①点在直线上(直线经过点)
②点在直线外(直线不经过点)
(3)点动成线,线动成面,面动成体.
即:
无数个点构成线 ,无数条线构成面,无数个面构成体.
3.角的两种概念:
(1)有公共端点的两条射线构成的图形叫做角.
(2)一条射线绕着它的端点旋转后得到的图形叫做角.
4.角的度量
1度= 分= 秒.(要求:
熟悉单位之间的换算)
例如:
(1)23度15分=___度. (2)75.5度=____度___分.
5.余角和补角.(会求任意角的余角和补角)
(1)若两角之和为 度,则称这两个角互为余角.
(2)若两角之和为 度,则称这两个角互为补角.
☆ 同(等)角的余角相等;
☆ 同(等)角的补角相等.
第四章 数据的收据与整理
☆ 调查
☆ 调查的方式有:
问卷调查、访问调查、查阅文献资料和实验等.
1.收据数据(制作调查问卷) 2.整理数据(制作表格)
3.描述数据(条形统计图、扇形统计图、折线统计图)
4.分析数据(得出结论、给出建议)
☆ 本章:
要求会作统计图、会看统计图、会分析统计图,最后得出结论.
第五章 相交线与平行线
一.基本概念
1.两直线的位置关系
(1)相交(有一个交点)
(2)平行(无交点)
☆ 垂直是相交中的一种特例.
☆ 三条直线相交有1个或3个交点.
2.邻补角(互补) 3.对顶角(相等)
4.垂直(90o) 5.垂足(交点)
6.点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做,叫做点到直线的距离.
☆ 所有的距离都是指垂直距离.
7.两条平行线间的距离:
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.
8.命题:
判断一件事情的语句叫做命题.包括条件和结论.一般写成"如果……那么……"的形式.可分为真命题和假命题.
你能找出左图中的邻补角、对顶角吗?
二.基本性质
1.过一点有且只有一条直线与已知直线平行.(点可以在直线上,也可以在直线外)
2.过直线外一点,有且只有一条直线和已知直线垂直.
3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.(简单说成:
垂线段最短.)
4.(平行的传递性)
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行.
即:
如果a∥b,b∥c ,那么a∥c.
(平行的传递性)
☆ 等式的传递性:
若A=B,B=C,则A=C.
☆ 全等(相似)三角形的传递性
6.两直线平行的条件(判定):
(1)同位角相等,两直线平行.
(2)内错角相等,两直线平行.
(3)同旁内角互补,两直线平行.
7.平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等.
(2)两直线平行,内错角相等.
(3)两直线平行,同旁内角互补.
你能找出左图中的同位角、内错角、同旁内角吗?
8.(1)平移不改变图形的大小和形状.
(2)连接各组对应点的线段平行且相等.
第六章 平面直角坐标系
一.平面直角坐标系(直角坐标系)及其相关概念
(坐标原点)
纵坐标
横坐标
☆ 有序数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对.记作(a,b).
☆ 一般情况下:
(a,b)≠(b,a)
☆ 点的坐标就是一个有序数对.
☆ 原点O的坐标是(0,0),x轴上的坐标是 (x,0),y轴上的坐标为(0,y).
二.用坐标表示平移
1.左右平移,纵坐标不变,横坐标左减右加.
2.上下平移,横坐标不变,纵坐标上加下减.
第七章 三角形
一.基本概念
1.三角形 2.多边形(凸、凹)
3.正多边形(各个角相等,各条边相等)
4.内角(简称为角,三角形、多边形的内角)
5.外角(三角形、多边形的外角)
6.对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
7.三角形的高(垂直,即90o)、中线(线段相等)、角平分线(角相等)
二.基本性质
1.三角形的任意两边之和大于第三边.(判断任意三条线段能否组成三角形的依据)
2.三角形具有稳定性.
3.n边形的内角和为(n-2)·180o;三角形的内角和为180o,四边形的内角和为360o.
4.多边形的外角和为360o.
5.(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
第八章 二元一次方程组
一.基本概念
1.二元一次方程:
含有两个未知数,并且未知数的次数都是一次的方程叫二元一次方程.
2.二元一次方程组:
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就叫做二元一次方程组.
3.二元一次方程的解:
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值,叫二元一次方程的解.
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解.
二.解二元一次方程组的两种方法
1 .代入消元法(代入法):
由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法.
2.加减消元法(加减法):
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法.
☆ 如何消元更简单?
如果有一个未知数的系数是1,那么通常
情况下采用代入消元法;如果两个二元一次方
程中同一未知数的系 数相反或相等时,那么
通常情况下采用加减消元法.
第九章 不等式与不等式组
学习方法:
学习本章要结合前面的等式、方程、方程组进行对比学习,注意知识之间的融会贯通,找出它们之间的联系和区别.
一.基本概念
1.不等式:
用不等号(<、≤、>、≥、≠)连接的式子叫做不等式.
2.不等式的解:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3.解的集合(解集):
不等式的所有解组成的结合叫做解的集合(解集).
4.一元一次不等式:
含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.
5.一元一次不等式组:
把两个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组.
6.不等式组的解集:
几个不等式解集的公共部分,叫做它们组成的不等式组的解集.
二.不等式的基本性质
1.不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不改变.
如果 a > b,那么a±c > b±c.
2.不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的
方向不改变.
如果a>b,c>0,那么ac > bc(或 )
3.不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的
方向要改变.
如果a>b,c<0,那么ac < bc(或 )
三.解不等式的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并→化
系数为1(系数是负数时,不等号的方向要改变).
四.用不等式(组)解决实际问题的一般步骤
解设→找出不等量关系,列出不等式(组)
→求解不等式(组)→考虑问题的实际意义
→作答.
☆ 到底是选择方程(组)还是选择不等式(组)解题,主要是看是否有以下关键词:
不能完成任务,提前完成任务;超过,不超过.
第十章 实 数
一.基本概念
1.平方根:
若x2=a,则称x是a的平方根,记
作:
x=± ;其中x= 叫做a算术平方
根,x=- ,叫做a的负的平方根.
" "读做二次根号a,a叫做被开方数.
2.开平方:
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
3.立方根:
若x3=a,则称x是a的立方根做:
x= ;" "读做三次根号a,a叫做被开方数.3叫做根指数.
4. 开立方:
求一个数立方根的运算叫做开立方.立方与开立方互为逆运算.
算术平方根(1个)
平方根
(2个)
立方根
(1个)
正数
正数
互为相反数
正数
0
0
0
0
负数
不存在
不存在
负数
5.无理数:
无限不循环小数叫做无理数.它包括
正无理数和负无理数.
6.实数:
有理数和无理数统称为实数.
(1)实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.
(2)有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数;在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
二.实数的两种分类
无限不循环小数
有限小数和无限循环小数
1. 2.
第十一章 一次函数
一.基本概念
1. 常量:
数值不发生变化的量.
2. 变量:
数值发生变化的量.
3. 自变量(x);函数(y);函数值;函数图象.
二.两种重要的函数
1.正比例函数y=kx (k≠0)
它的图象是一条经过原点的直线.
⑴当k>0时,图象过一、三象限;上升;y随x的增大而增大.
⑵当k<0时,图象过二、四象限;下降;y随x的增大而减小.
2.一次函数 y=kx+b (k≠0)
⑴当k>0时,;上升;y随x的增大而增大.
⑵当k<0时,;下降;y随x的增大而减小.
☆当b=0时,一次函数就是正比例函数.
三.函数图象的平移
直线y=kx+b是由直线y=kx平移︱b︱个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
四.用函数观点看方程(组)与不等式
即用函数图象解方程(组)与不等式
1.解一元一次方程
把一元一次方程化为ax+b=0(a≠0)的形式,把左边看成一个一次函数y=kx+b,函数图象与x轴的交点的横坐标就是方程的解.
2.解二元一次方程组
一个二元一次方程对应一条直线,一个二元一次方程组就对应两条直线.两条直线的交点就是方程组的解(横坐标是x的解,纵坐标是y的解).
3.解不等式
把不等式化为ax+b>0或ax+b<0的形式,解不等式可以看作:
函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.关键还是看函数图象与x轴交点的横坐标的值.
五.常见题型和做题方法
1.常见题型
①怎样判断一个点是否在函数图象上?
②怎样判断一个图象是不是函数图象?
③正比例函数、一次函数的概念?
2. 做题方法
①待定系数法求正比例函数、一次函数的解析式.
②题目中说:
某个点在函数图象上(函数图象经过某个点),通常情况下需要把这个点的坐标代入函数的解析式.
第十二章 数据的描述
一.基本概念
1.频数:
(城市)个数.
2.频率=频数÷总数.(总数=频率×总数)
3.组数.
4.组距:
前后两个端点的差叫做组距.
5.组中值:
各个小组两个端点的平均数叫做组中值.
二.几种常见的统计图
要求:
会作图、会看图(分析图).
1.条形图
特点:
能够显示每组中的具体数据.
作图和看图时:
需注意横轴、纵轴分别表示什么,条形图中应该有几"条".
2.扇形图
特点:
能够显示部分在总体中所占的百分比.
作图和看图时:
需要有图例,注意扇形图中有几个扇形,能求出各个扇形所对的弧长、圆心角的度数、扇形面积.
L弧长=圆周长×百分比
S扇形=圆面积×百分比
圆心角=360°×百分比
3.折线图
特点:
能够显示数据的变化趋势.
作图看图时:
需要注意横坐标、纵坐标分别表示什么.坡度越陡,变化趋势就越大.
4.直方图
特点:
能够显示数据的分布情况.
作图看图时:
需先找出数据中的最大数据和最小数据,确定组距(≥3)、分出组数(5至12组),确定横轴、纵轴分别表示什么.
第十三章 全等三角形
一.基本概念
1.全等形:
形状、大小完全相同的图形(能够完全重合的图形)叫做全等形.
2.全等三角形:
形状、大小完全相同三角形(能够完全重合的三角形)叫做全等三角形.
①对应点:
重合的点叫做对应点.
②对应边:
重合的边叫做对应边.
③对应角:
重合的角叫做对应角.
3.公共边、公共角
二.性质
1.全等三角形的性质:
①全等三角形的对应边相等.
②全等三角形的对应角相等.
由此可知:
要证明分别属于两个三角形的
线段相等或者角相等的问题,通常通过证明这
两个三角形全等来解决.
2.角平分线的性质:
①角平分线上的点到角两边的距离相等.
②到角两边的距离相等的点在角平分线上.
三.三角形全等的条件(如何判断两个三角形全等)
1.任意两个三角形全等的条件:
①三边对应相等的两个三角形全等(SSS)
②两边及夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
③两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
④两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等(AAS).
2.直角三角形(Rt△)全等的条件:
斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等(HL)
第十四章 轴对称
一.基本概念
1.轴对称图形:
(1个图形)相关概念,对称点、对称边、对称角.
2.成轴对称图形:
(2个图形)
3.对称轴:
其实质是一条直线.
注意:
(成)轴对称图形一定是全等形,但全等形不一定是轴对称图形.
4.垂直平分线(中垂线):
垂直、平分.
5.轴对称变换:
由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程(动作)叫轴对称变换.
注意:
对称轴方向和位置发生变换时,得到图形的方向和位置也会发生变换.
6.等腰三角形:
相关概念,等腰直角三角形(等腰三角形、直角三角形)、腰、底边、顶点、底角、顶角.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形.
二.几条重要的性质
1.垂直平分线的性质(联系角平分线的性质记忆)
(1)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上.
2.轴对称图形的性质
(作某个图形关于某条直线的对称图形、作对
称轴的依据).
(1)任意一对对称点的连线段的垂直平分线是对称轴.
(2)对称轴垂直平分任意一对对称点的连线段.
3.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等.(简记为"等边对等角")
注意:
大边对大角,小边对小角.它们的逆定理同样成立,例如:
等角对等边.
(2)三线合一(三线是指:
底边的高、中线、顶角的角平分线)
注意区分中线、中位线、中垂线(垂直平分线).
4.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都等于60。
.
(2)有一个内角为60。
的等腰三角形是等边三角形.
5.等腰直角三角形的性质
顶角为90。
两个底角都为45。
.
6.30。
直角三角形的性质
30。
角所对直角边等于斜边的一半.
三.用坐标表示轴对称
1.点(x,y)关于x轴的对称点的为(x,-y).
2.点(x,y)关于y轴的对称点的为(-x,y).
3.点(x,y)关于原点的对称点的为(-x,-y).
四.记住几条重要的直线
五.两种重要的作图(根据轴对称的性质)
(1)求作对称轴.
(2)作某个图形关于某条直线的对称图形.
第十五章整式
一.基本概念
1.单项式:
数字与字母的积的式子叫做单项式.单独的一个数字或字母也是单项式.
(1)系数:
单项式中的数字因数叫做系数.
(2)次数:
所有字母的指(次)数的和叫次数.
2.多项式:
几个单项式的和叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数:
多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数.
3
4.同类项:
含有相同的字母,并且相同字母的次数
相同.
5.合并同类项:
系数相加,字母和字母的次数不变.
6.公因式:
多项式中各项都含有的因式叫公因式.
7.分解因式:
也称做因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫叫分解因式.
二.整式的运算
1.整式的加减
去括号,合并同类项.
2.整式的乘法
(1)单项式 单项式
系数与系数相乘,相同的字母相乘,只在单项式里含有的字母,则连字母和字母的指数作为积的一个因式.
(2)单项式 多项式
其实质是利用乘法的分配律.
(3)多项式 多项式
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
3.整式的除法
因为乘法和除法互为逆运算,所以可以类比整式的乘法进行运算.
三.重要公式
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ;
6. ;
7.(1)
(2) .
可以合并为一个公式:
☆ 上述公式中的底数 、 均不等于0和1,指数m、n为任意实数.
☆ 不仅要熟记公式,而且还要求会用文字表述.
四.因式分解的两种方法