高考数学总复习集合与简易逻辑第一章 12.docx
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高考数学总复习集合与简易逻辑第一章12
§1.2 充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q，且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q，且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q，且q⇏p
概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（ √ ）
（2）已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.（ √ ）
（3）q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．（ √ ）
（4）若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．（ × ）
题组二 教材改编
2．“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的____________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
答案 充分不必要
3．“sinα＝sinβ”是“α＝β”的__________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
答案 必要不充分
4．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
答案 m＝－2
题组三 易错自纠
5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
6．（多选）设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（ ）
A．x<1B．x>1C．x>－1D．x>3
答案 BC
7．已知集合A＝
，B＝{x|－1答案 （2，＋∞）
解析 因为A＝
＝{x|－1所以AB，所以m＋1>3，即m>2.
充分、必要条件的判定
1．设命题p：
x>4；命题q：
x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．（选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”）
答案 充分不必要
解析 由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．
2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（ ）
A．充要条件B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
3．设p：
x<1，q：
log2x<0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由
x<1知x>0，所以p对应的集合为（0，＋∞），由log2x<0知04．若集合A＝{x|x2－6x＋5<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈（2,3）”是“B⊆A”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 A＝{x|1∵B⊆A，∴
即2≤a≤4，
∵（2,3）[2,4]，∴“a∈（2,3）”是“B⊆A”的充分不必要条件．
思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：
根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
充分、必要条件的应用
例1 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
跟踪训练1
（1）已知p：
1≤x≤2，q：
（x－a）（x－a－1）≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________．
答案 1
解析 q：
（x－a）（x－a－1）≤0，∴a≤x≤a＋1.
由p是q的充要条件知
∴a＝1.
（2）设p：
|2x＋1|0）；q：
>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 （0,2]
解析 由|2x＋1|0），得－m<2x＋1∴－
，且－
<0，
由
>0，得x<
或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，
∴
≤
，∴0
充要条件的探求
例2 已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
解得m∈
.
因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以
所以m为4的约数．
又因为m∈
，
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
跟踪训练2
（1）命题“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a≥4B．a>4
C．a≥1D．a>1
答案 B
解析 要使“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．
（2）（2020·武汉质检）关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是________．
答案 ac<0
解析 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是
即ac<0.
1．“log2（2x－3）<1”是“4x>8”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由log2（2x－3）<1⇔0<2x－3<2⇔
，4x>8⇔2x>3⇔x>
，所以“log2（2x－3）<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
2．设a，b∈R，则“（a－b）a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由（a－b）a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a3．“|x－1|<2”是“x<3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由|x－1|<2，可得－1∵{x|－1∴“|x－1|<2”是“x<3”的充分不必要条件．
4．（2019·东莞模拟）若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 设f（x）＝x＋lnx，显然f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∵a>b，∴f（a）>f（b），
∴a＋lna>b＋lnb，充分性成立；
∵a＋lna>b＋lnb，
∴f（a）>f（b），∴a>b，必要性成立，
故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要条件，故选C.
5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>3B．a<3C．a>4D．a<4
答案 A
解析 若2x>a－x，即2x＋x>a.设f（x）＝2x＋x，则函数f（x）为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f（x）>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f（x）>3，∴a>3.
6．已知p：
x≥k，q：
（x＋1）（2－x）<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）
C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]
答案 B
解析 由q：
（x＋1）（2－x）<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是（2，＋∞），故选B.
7．（多选）若x2－x－2<0是－2A．1B．2C．3D．4
答案 BCD
解析 由x2－x－2<0，解得－1∵x2－x－2<0是－2∴（－1,2）（－2，a），∴a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
8．（多选）下列叙述中不正确的是（ ）
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a>1”是“
<1”的充分不必要条件
答案 AB
解析 A错误，当a＝0，b＝0，c<0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立，故若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”错误；
B错误，若a，b，c∈R，“a>c”且b＝0时，推不出“ab2>cb2”，故错误；
C正确，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>0，x1x2＝a<0，则a<0，又“a<1”是“a<0”的必要不充分条件，故正确；
D正确，“a>1”⇒“
<1”但是“
<1”推不出“a>1”，故正确．
9．已知命题p：
>
，命题q：
∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
答案 充分不必要
解析 命题p等价于0对∀x∈R，ax2＋ax＋1>0等价于
或
则0≤a<4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．
10．（2019·福州模拟）已知f （x）是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f （x1）＋f （x2）＝0”的__________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
答案 充分不必要
解析 ∵函数f（x）是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f（x1）＝f（－x2）＝－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＝0成立，即充分性成立；若f（x）＝0，满足f（x）是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f（x1）＝f（x2）＝0，此时满足f（x1）＋f（x2）＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f（x1）＋f（x2）＝0”的充分不必要条件．
11．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 不等式可转化为（x＋1）（2x－3）≤0，解得－1≤x≤
，由于x∈{－1，m}是－1≤x≤
的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m∈
.
12．设p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0（其中a>0），q：
实数x满足
≤0.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 设A＝{x|a则113．（2020·深圳模拟）对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0,1），则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立．所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故选B.
14．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解
（1）当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－
，符合题目要求．
（2）当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.
又设方程ax2＋2x＋1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根的充要条件是
得a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是
得0综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
15．已知集合
，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，0]
解析 由
，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.
16．已知ab≠0，求证：
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明
（1）必要性：
因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝（a＋b－1）·（a2－ab＋b2）＝0.
（2）充分性：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0，
又ab≠0，
所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝
2＋
b2>0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可得当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
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