矩形学案Microsoft Word 文档 2.docx

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矩形学案MicrosoftWord文档2

18.2.1矩形的性质导学案　

【学习目标】1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

   2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

【导学重点】矩形的性质．

【导学难点】矩形的性质的灵活应用．

【自主学习】一、温故知新：

回顾平行四边形有哪些性质？

然后填空。

1、平行四边形的对边__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

2、平行四边形的对角__________相等。

表示方法：

若四边形ABCD是平行四边形，则___________;

3、平行四边形的对角线________。

表示方法：

在□ABCD中，AC与BD相交于O，则______________

4、平行四边形的对称性：

平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________.

二、学习新知：

1．思考：

拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。

归纳：

矩形定义：

__________________________________叫做矩形（通常也叫_________）．

2、矩形的性质：

矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：

矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

【合作探究】1、如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什

么发现？

将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有

AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．

2、例：

在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AB=4.

（1）判断△AOD的形状；

（2）求对角线AC、BD的长.

【巩固练习】

1．填空：

（1）矩形的定义中有两个条件：

一是，二是．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．

1页

2．下列说法错误的是（）．A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等

C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．

A、2对B、4对C、6对D、8对

4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________cm，cm，cm，cm．

5、已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

【课堂检测】

1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．

（A）12cm（B）10cm（C）7.5cm（D）5cm

2．已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=4cm。

求矩形对角线的长。

3、已知：

如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。

求证：

EA=ED.

2页

18.2.。

1矩形的判定导学案

【学习目标】1．理解并掌握矩形的判定方法．

　　2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，培养分析能力，

【导学重点】矩形的判定．

【导学难点】矩形的判定及性质的综合应用．

【自主学习】

1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

3.想一想：

矩形有哪些性质？

在这些性质中那些是平行四边形所没有的？

列表进行比较.

平行四边形

矩形

边

角

对角线

【合作探究】1、矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形不具有的性质是：

2、怎样判定一个平行四边形是矩形呢?

总结：

矩形的判定方法．矩形判定方法1：

______________________________

矩形判定方法2：

_______________________________

3、例：

已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．

【巩固练习】.1、下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

   （3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

     （4）对角线相等的四边形是矩形；（）

     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

   （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

【课堂检测】

1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；

⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：

；

⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗

3页

框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：

；

2、已知：

如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：

四边形EFGH是矩形．

3、已知：

如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

4、已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：

四边形ABCD是矩形。

4页

18.2.2菱形的性质导学案　

【学习目标】1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，

会计算菱形的面积．

【导学重点】：

菱形的性质1、2．

【导学难点】菱形的性质及菱形知识的综合应用．

【自主学习】自学课本的内容，完成下列问题：

1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来

的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。

2.

按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？

②菱形是图形？

有对称轴。

图中相等的线段有：

图中相等的角有：

【小组互议互评】小组长：

完成情况：

【合作探究】

1、你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？

自己完成证明。

菱形的性质1：

菱形的性质2：

证明：

5页

2、比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么？

你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？

如果菱形的两条对角线长分别是a和b，计算菱形的面积S。

例.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

【课堂检测】1．______________的平行四边形叫做菱形．

　2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,则

AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等，图中

的等腰三角形有__________________，直角三角形有

______________，△AOD≌____________≌____________

≌_____________，由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________．

　3．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得

到_____________的四边形是菱形．

　4．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________________．

5．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　6．下面性质中，菱形不一定具有的是（　）

　　A．对角线相等　　　B．是中心对称图形　　　C．是轴对称图形　　　D．对角线互相平分

　7．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:

2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．

8．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长10cm。

求

（1）对角线BD的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

9．已知：

如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：

∠AEF=∠AFE．

6页

18.2.2菱形的判定

【学习目标】1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

【导学重点】菱形的两个判定方法．

【导学难点】判定方法的证明方法及运用．

【自主学习】温故知新：

1．菱形的定义：

2.菱形的性质：

边：

__________________________;______________________________

角：

__________________________;______________________________

对角线：

______________________________________________________

对称性：

.

【合作探究】

二、学习新知：

探究一：

如图，四边形是菱形吗？

为什么？

归纳：

菱形判定方法1有一组邻边相等的平行四边形是菱形

探究二：

用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过探究，菱形判定方法2　对角线的平行四边形是菱形

证明上述结论：

菱形判定方法3：

的四边形是菱形

例1.如图，

ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6

求证:

四边形ABCD是菱形.

【巩固练习】1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．

7页

2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，

求证：

四边形OCED是菱形。

【课堂检测】

1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．

（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分

2．已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

证明：

3、如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．

（1）求证：

△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?

请证明你的结论．

4、已知：

如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：

四边形MEND是菱形．

8页

18.2.3正方形导学案　

【学习目标】1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

【导学重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

【导学难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

【自主学习】1．矩形的定义：

2．菱形的定义：

3．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？

【合作探究】

一、探究：

1．正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．试用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形来．

3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？

4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？

5．通过1、3、4我们发现：

正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）

二、试一试1．通过上图，我们发现：

正方形具有的性质，同时又具有的性质．

2．归纳正方形的所有性质：

性质

判定方法

正方形

边：

角

对角线：

对称性：

【巩固练习】

1．正方形的定义：

有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．9页

3．正方形的判定：

（1）____________________________________的平行四边形是正方形；

（2）____________________________________的矩形是正方形；

（3）____________________________________的菱形是正方形；

4．对角线________________________________的四边形是正方形

如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥

AE，垂足为G，延长DG交AB于点F.求证：

BF=CE.

【课堂检测】

2．已知：

如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：

EA⊥AF．

3．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形CFDE是正方形．

7．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

10页

　特殊的平行四边形的运用　

【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定

2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.

【导学重点】掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定

【导学难点】矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.

【自主学习】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：

平行四边形

矩形

菱形

正方形

对边平行且相等

四条边都相等

对角相等

四个角都是直角

对角线互相平分

对角线互相垂直

对角线相等

每条对角线平分一组对角

（凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写）

【合作探究】

典型例题:

例1、如图，

是四边形

的对角线

上两点，

．求证：

（1）

．

（2）四边形

是平行四边形．

例2、如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：

EO=FO

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论.

例3、如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，

CE∥BD．求证：

四边形OCED是菱形；

例4、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.

（1）求证：

△BEC≌△DFC；

（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

12页

【巩固练习】

一、填空选择题

1．已知：

AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件是___________________．

2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件使得四边形ABCD为菱形．

3.如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC=6cm，则周长=，面积=。

4.如图2，菱形ABCD的边长为8cm，∠BAD=120°，则AC=,BD=,面积=。

5.如图3，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点

（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，

则阴影部分的面积是

图1图2图3

6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC=900时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形

8.如图，四边形

为矩形纸片．把纸片

折叠，使点

恰好落在

边的中点

处，折痕为

．若

，则

等于（　　）

Ａ

Ｄ

A．

B．

C．

D．

Ｅ

Ｃ

Ｆ

Ｂ

9．已知如图，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AC=

㎝，

（1）求BD的长；

（2）求菱形ABCD的面积，

（3）写出A、B、C、D的坐标.

11、已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

12、已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

13、如图，矩形

中，

是

与

的交点，过

点的直线

与

的延长线分别交于

．

（1）求证：

；

（2）当

与

满足什么关系时，以

为顶点的四边形是菱形？

证明你的结论．

14、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状．并证明。