飞机减速作业.docx
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飞机减速作业
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参
赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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B
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年月日
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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
摘要
本文在合理的假设之下，针对本文中的五个问题建立了合适的模型。
在求解方面，我们充分利用计算机软件求得结果。
问题一：
该问题属于物理学问题。
本文运用物理学知识结合数学求解方法建立微分
方程模型解决。
运用物理基本公式解决题目，在求解过程中运用MATLAB数学软件进行绘图求解，既能精确计算出结果也能通过图像清晰看出飞机减速情况。
问题二：
在问题一得基础上，同样的减速伞装备9T重型轰炸机上，在减速伞的阻力作用下飞机做减速运动直至停下。
已知减速伞的作用阻力与飞机的滑跑速度成正比同
问题一可建立微分方程模型，并对模型进行求解。
将得到的结果与实际跑道长度1500m作对比，当时跑道的长度可以保障飞机安全着陆，反之则不满足要求。
问题四：
已知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，因此fk2v2，其他
条件相对问题一二没有变化，可建立微分方程模型。
问题五：
在增加考虑跑道摩擦力影响的情况下，只需将跑道阻力产生的加速度加在
原微分方程模型中。
飞机落地以后,最主要的减速手段是以下四种:
1引擎反推；2减速板；3机轮刹车；4减速伞。
民航喷气式飞机在接地后主要借助反推装置配合传统的主机轮刹车组件来达到最佳减速效果，而反推的原理是利用导流板将发动机排气的方向发生偏转，从原本向后变成向前倾斜以产生拉力，对于军用战机来说由于其速度高吨位大，而且在野战环境下战机跑道受到极大制约。
因此，需要减速伞配合减速板与机轮刹车以
缩短所需跑道长度。
本文建立微分方程模型，将所给的飞机接触跑道时的速度和滑跑的一段距离以及滑跑这段距离未时刻的速度等作为初始条件进行求解。
在求解的过程中我们还作出了一些图像，经分析所建模型基本符合实际，能够很好的描述了在减速伞的作用下飞机（轰炸机）在跑道上滑跑的位移的变化规律以及在飞机降落滑跑的不同时刻能够较准确的预测滑跑的距离。
该模型可用于飞行员判断飞机（或轰炸机）在减速伞的作用下是否可以在有限的跑道上安全着陆。
关键字：
MATLAB图像求解微分方程模型
一、问题重述
当机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机着陆的减速装置。
当飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开一幅减速伞，通过增大气动阻力使飞机减少滑跑的距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆，见图1。
（图1）
问题1.一架重4.5T的歼击机以每小时600km的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑跑
500m后速度减为每小时100km。
设减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，并忽略飞机
所受的其他外力，试计算飞机的滑跑距离。
问题2.
将同样的减速伞装备在9T重型轰炸机上，现已知机场跑道的长为
1500m，若飞
机着陆速度为每小时700m，问该跑道的长度能否保障飞机安全着陆？
问题3.
就问题1和2的一般情形分别进行讨论。
问题4.
若实验表明减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，试讨论问题
1，2
和3，并加以比较。
问题5.
若飞机除受到减速伞的阻力之外还受到跑道摩擦力的影响，模型将做怎样的修
改？
二、模型假设
模型的基本假设：
1.忽略飞机所受的其他外力，并把飞机看成物理学上的质点，即不计飞机长度但有质量；
2.令飞机所受空气阻力为f，飞机的反向加速度为a,歼击机的质量为mmg,轰炸机的
质量为Mmg，设飞机刚接触跑道的速度为v0km/h,滑行t后的速度为vtkm/h；
3.设k1为减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比的比例系数，即fk1v.设k2为减速伞
的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比的比例系数，即fk2v2；
4.如果考虑摩擦力时，令重力加速度为g,摩擦系数为受到跑道摩擦力的影响。
三、符号说明
符号说明：
f
飞机所受空气阻力
a
飞机的加速度
m
歼击机的质量
M
轰炸机的质量
v0
飞机刚接触跑道的速度
k1
减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比的比例系数
k2
减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比的比例系数
g
重力加速度
摩擦系数
四、问题分析及模型的建立与求解
问题一：
由于飞机的质量m
4.5t4500kg，降落初速度v0
600km
1000m
，滑跑距离
h
3
s
为s1
500m时速度为v1
100km
假设减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，并忽
h
略飞机所受的其他外力，计算飞机的滑跑距离，本文将该问题理解成较为理想化的物理学问题，利用相应的微分知识解决。
f
ma
由相关物理公式
：
a
dv
和题意得出以下关系式:
dt
v
ds
dt
f阻=k1v
s（0）
0
v（0）
v0
v（t1）
v1
对其求解，得到相应微分方程：
d2s
ds
，求解得s。
m
4.5
t
mdt2
k1
dt
s（t1）
s1
具体求解过程如下：
md2s
k1
ds
dt2
dt
是二阶线性齐次微分方程，通过对微分方程求解，得到它的通解为：
k1
t
s（t）
c
c2e
m
1
k1t
根据条件:
s（0）
0
，可得到其方程的一个特解：
s（t）
c2em
c2；
因此可得微分方程组：
s（t）
k1t
c
cem
2
2
v（t）
ds
c2
k1t
k1em
dt
m
根据初始条件：
（2）；
v（0）v0
s（t1）s1；
v（t1）v1
s（0）0
得到：
c2
s1v0
k1
m（v0v1）；
v0
v1
s1
求解模型：
s1v0
v0
v1t
s1v0
s（t）
e
s
v0
v1
v0
v1
v0
v1t
；
v（t）
v0e
s1
由初始条件：
500
v（0）
3
s（t1）500
v（t1）
250
9
s（0）
0
m
4500
解得：
k11250,c2600
当飞机停止运动时，求得所用时间为：
t
-18ln
3
29.60s；
5
500000000
利用matlab作图（见附录一）,
飞机滑跑位移图像
600
500
400
轴300s
200
100
0
0102030405060708090100
t轴
飞机滑跑位移图像
601
600.5
X:
29.6
600
Y:
599.8
轴
s
599.5
599
29.429.4529.529.5529.629.6529.729.75t轴
得飞机滑跑距离为s599.9m。
问题二：
同样的减速伞装备装置在9T重型轰炸机上，在减速伞的阻力作用下飞机做减速运动直至停下。
减速伞的作用阻力与飞机的滑跑速度成正比，因此建立微分方程模型进行
求解。
将得到的结果与实际跑道长度1500m作对比，当s1500m时跑道的长度可以保障飞机安全着陆，反之则不能。
d2s
ds
mdt2
k1dt
根据牛顿第二定律f
ma可建立下列微分方程：
v（0）
v0
v（t1）v1
m
M2
由问题一可知k11250，M2
9000kg，又由问题一种所求得的c2，可知c21400
s（t）
5t
1400
1400e36
于是有微分方程组
5t
；
v（t）
625e36
由物理知识可知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，当速度越来越小，阻力就会越来越小，这样飞机就会永远运动下去。
结合实际的运动情况我们可以假定当速度
v0.000001m/s时，飞机停止运动。
所以当飞机停止运动时，可求得时间t为
36
，由此可求得s1400m1500m
。
说明该跑道的长度能保障飞机安全
tln625000000
5
着陆。
利用matlab软件作出如下图像（具体见附录二）：
飞机滑跑位移图像
1400
1200
1000
800
轴
s
600
400
200
0
050100150
t轴
问题三：
飞机滑跑速度图像
600
500
400
轴300v
200
100
0
050100150200250300
t轴
飞机滑跑位移图像
1500
1000
轴
s
500
0
50
100
150
200
250
300
0
t轴
根据以上图形可知，一般情况下，飞机滑行距离不超过1500m,滑行时间不超过300s。
问题四：
已知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，因此
fk2v2，其他条件相对
问题一二没有变化，可建立同问题一二的微分方程模型。
md2s
k2（ds）2
dt2
dt
s（0）
0
根据牛顿第二定律f
ma可得微分方程：
v（0）
v0
；
v（t1）v1
s（t1）
s1
m
M1
d2s
k2
ds
2
微分方程：
；
dt2
m
dt
求得其微分方程的解为：
s（t）
m
（k2c1tk2c2）
；
k2
ln
m
s（t）mln（k2（c1t
c2）/m）/k2
则建立微分方程组为：
v（t）
ds
mc1/（c1tc2）/k2
（3）
；
dt
v（0）v0
s（t1）s1
其初始条件：
v（t1）v1；
m
s（0）0
求得：
c1v0,c2
s1
k2
m
ln
v0
；
v0
s1
v1
ln
v1
s1
v0lnv0
s（t）
ln（
v1
1）
v0
s1
则求得其微分方程组为：
ln
；
v1
v（t）
v0s1
v0）t
v0（ln
s1
v1
v（0）
500
3
s（t1）500
根据此题给的初始条件：
v（t1）
250
；
9
m4500
s（0）0
500
c2
500
9ln6；
可求出（具体过程见附录四）：
c1
k2
3
ln6
我们知道此问题中说飞机只受减速伞的作用，即阻力只和速度有关系，而且减速伞
的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，当速度v1m/s时，速度越小，则速度的平方
更小，阻力也就越来越小，这样飞机就会永远的运动下去，因此，结合实际我们假定当
速度v1m/s时飞机则停止运动。
根据以上求出时间t为：
t
497
277.38s
；
ln6
可求得飞机滑跑距离为：
s
1430m；
d2s
ds
2
m
dt2
k2（
dt）
对于问题二初始条件也没有变化，由牛顿第二定律建立微分方程：
v（0）
v0
；
v（t1）v1
m
M2
s（t）mln（k1（c1tc2）/m）/k1
微分方程组为:
ds
mc1/（c1t
；
v（t）
c2）/k1
dt
s（0）
0
根据其初始条件：
v（0）
1750；
9
m9000
s（t）
1000ln（7（ln6）t
1）
可得方程组：
ln6
36
；
ds
175000
v（t）
dt
175（ln6）t
900
求出时间t为：
t
6964ln6；
7
可求得轰炸机的滑跑距离为：
s
2900m1500m
；
因此，该跑道长度不能保障轰炸机的安全着陆。
飞机在不同阻力下的飞行降落速度
v
以及位移s
图像如下：
180
v1=500/3*exp（-5*t./18）
600
s1=-600*exp（-5*t/18）+600
160
500
140
120
400
100
300
80
60
200
40
100
20
0
50
0
50
100
0
100
0
v2=250000/（500*t/3+500/log（6））/3*log（6）
s2=500*log（（log（6））*t/3+1）/log（6）
600
1200
5001000
400800
300600
200400
100200
0
50
100
0
50
100
0
0
问题五：
飞机除了受到减速伞的阻力，还受到跑道的摩擦力，建立模型过程中应该将飞机受力改为阻力和摩擦力的合力。
五、模型的应用与评价
经过分析本文所建模型基本符合实际，能够很好的描述了在减速伞的作用下飞机（轰炸机）在跑道上滑跑的位移的变化规律以及在飞机降落滑跑的不同时刻能够较准确的预测滑跑的距离。
该模型在实际生活中可用于飞行员判断飞机（或轰炸机）在减速伞的作用下是否可以在有限的跑道上安全着陆。
六、参考文献
[1]徐金明,张孟喜，丁涛.MATLAB实用教程.北京：
清华大学出版社·北京交通大学出
版社。
[2]赵静，但琦，数学建模于数学实验（第2版），北京：
高等教育出版社。
[3]胡运权，郭耀煌，运筹学教程（第四版）.北京：
清华大学出版社，2012。
[4]徐玖平、胡知能、李军，运筹学（II类），北京：
科学出版社，2004。
附录：
附录一：
t=0:
0.05:
100;
s=-600*exp（-5*t./18）+600;
plot（t,s,'+'）
xlabel（'t轴'）;
ylabel（'s轴'）;
title（'飞机滑跑位移图像'）
飞机滑跑位移图像
600
500
400
轴300s
200
100
0
0102030405060708090100
t轴
飞机滑跑位移图像
601
600.5
X:
29.6
600
Y:
599.8
轴
s
599.5
599
29.429.4529.529.5529.629.6529.729.75t轴
附录二：
t=0:
0.5:
150;
s=-1400*exp（-5*t./36）+1400;
plot（t,s,'+'）
xlabel（'t轴'）;
ylabel（'s轴'）;
title（'飞机滑跑位移图像'）
飞机滑跑位移图像
1400
1200
1000
800
轴
s
600
400
200
0
050100150
t轴
附录三：
t=0:
0.1:
300;
v=250000./（500*t./3+500./log（6））./3*log（6）;
plot（t,v）
xlabel（'t轴'）;
ylabel（'v轴'）;
title（'飞机滑跑速度图像'）
飞机滑跑速度图像
600
500
400
轴300v
200
100
0
050100150200250300
t轴
t=0:
0.1:
300;
s=500*log（（log（6））*t/3+1）./log（6）;
plot（t,s）
xlabel（'t轴'）;
ylabel（'s轴'）;
title（'飞机滑跑位移图像'）
飞机滑跑位移图像
1500
1000
轴
s
500
0
050100150200250300
t轴
附录四：
t=0:
0.1:
100;
v=175000./（175*（log（6））*t+900）;
plot（t,v,'+'）
xlabel（'t
轴'）;
ylabel（'v
轴'）;title（'
飞机滑跑速度图像'）
200
飞机滑跑速度
升级会员 