高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2.docx

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高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2

1．2.1　平面的基本性质与推论

学习目标

　1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题.2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念．

知识点一　平面的基本性质与推论

思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？

有两个公共点呢？

思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？

思考3　观察正方体ABCD—A1B1C1D1（如图所示），平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？

梳理　

（1）平面的基本性质

平面

内容

作用

图形

基本性质1

如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在________或______经过直线）

判断直线是否在平面内的依据

基本性质2

经过不在同一条直线上的________，有且只有一个平面（即________确定一个平面）

确定平面及两个平面重合的依据

基本性质3

如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线

判断两平面相交，线共点，点共线的依据

（2）平面基本性质的推论

推论1：

经过一条直线和直线外的一点，________平面．

推论2：

经过两条________直线，有且只有一个平面．

推论3：

经过两条________直线，有且只有一个平面．

知识点二　点、直线、平面之间的关系及表示

思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？

直线和平面呢？

梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及表示

文字语言

符号语言

图形语言

A在l上

A∈l

A在l外

A∉l

A在α内

A∈α

A在α外

A∉α

l在α内

l⊂α

l在α外

l⊄α

l，m相交于A

l∩m＝A

l，α相交于A

l∩α＝A

α，β相交于l

α∩β＝l

知识点三　共面与异面直线

思考　如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？

为什么？

直线l与直线AB的位置关系是怎样的？

梳理　共面与异面直线

（1）共面

①概念：

空间中的几个点或几条直线，都在________________内．

②特征：

共面的直线________或者________．

（2）异面直线

①概念：

既不________又不________的直线．

②判断方法：

与一平面相交于一点的直线与这个平面内________________的直线是异面直线．

类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

反思与感悟　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

跟踪训练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.

类型二　平面的基本性质的应用

例2　如图，已知：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQ⊂α.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：

和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．

反思与感悟　证明多线共面的两种方法

（1）纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

（2）重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

跟踪训练2　已知：

如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

CE、D1F，DA三线交于一点．

反思与感悟　

（1）点共线：

证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

（2）三线共点：

证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：

P，Q，R三点共线．

类型三　异面直线的判定

例4　如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？

试以其中一对为例进行证明．

反思与感悟　判定两条直线是异面直线的方法

（1）证明两条直线既不平行又不相交．

（2）重要结论：

连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．

跟踪训练4　分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（　　）

A．异面B．平行

C．相交D．以上都有可能

1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则（　　）

A．C∈αB．C∉α

C．AB⊄αD．AB∩α＝C

2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的是（　　）

A．ABB．BB1

C．DD1D．B1C1

4．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．

5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．

1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

3．异面直线是既不平行也不相交的直线．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　前者不在，后者在．

思考2　不共线的三点可以确定一个平面．

思考3　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.

梳理　

（1）两点　平面内　平面　三点　不共线的三点　一个

（2）有且只有一个　相交　平行

知识点二

思考　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．

知识点三

思考　不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在α内，这与点A在α外矛盾．由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相交，直线l与直线AB不可能平行，否则它们就会同在平面α内，所以直线l与直线AB既不相交也不平行．

梳理　

（1）①同一平面　②相交　平行

（2）①平行　相交　②不经过交点

题型探究

例1　解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，

b∩l＝P.

跟踪训练1　解　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.

（3）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

例2　解　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

引申探究

解　已知：

a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：

a，b，c和l共面．

证明：

如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，

同理l⊂β.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由推论2知：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．

跟踪训练2　证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

方法二　（辅助平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

例3　证明　如图，连接EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，

∴EF綊

A1B.

又∵A1B綊D1C，

∴EF綊

D1C，

∴E，F，D1，C四点共面，

∴D1F与CE相交，设交点为P.

又D1F⊂平面A1D1DA，

CE⊂平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据基本性质3，可得P∈DA，

即CE、D1F、DA相交于一点．

跟踪训练3　证明　方法一　∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由基本性质3可知：

点P在平面ABC与平面α的交线上，

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．

∴P、Q、R三点共线．

方法二　∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，

∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．

例4　解　将展开图还原为正方体（如图）．

NC与DE，NC与AF，NC与BM，DE与AF，DE与BM，AF与BM，都是异面直线，共有6对．

以NC与AF是异面直线为例证明如下：

方法一　连接BE，若NC∥AF，

则由NC∥BE，可知AF∥BE，

这与AF与BE相交矛盾．

故NC与AF不平行．

若NC与AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这与正方体的性质矛盾．故NC与AF不相交．

所以NC与AF异面．

方法二　连接BE，如图，因为直线NC⊂平面BCNE，

直线AF∩平面BCNE＝O.

O∉直线NC，所以NC与AF异面．

跟踪训练4　D　[如图

（1）所示，直线a与b互相平行；如图

（2）所示，直线a与b相交；如图（3）所示，直线a与b异面．

]

当堂训练

1．A　2.C　3.D

4．直线AB⊂α

解析　由基本性质1知直线AB在平面α内．

5．P∈直线DE

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.