高中数学第3章函数的应用311方程的根与函数的零点课时作业新人教A版必修.docx

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高中数学第3章函数的应用311方程的根与函数的零点课时作业新人教A版必修

2019-2020年高中数学第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课时作业新人教A版必修

课时目标　1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．

1．函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系

函数图象

判别式

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

与x轴交点个数

____个

____个

____个

方程的根

____个

____个

无解

对于函数y＝f（x），我们把________________叫做函数y＝f（x）的零点．

3．方程、函数、图象之间的关系

方程f（x）＝0__________⇔函数y＝f（x）的图象______________⇔函数y＝f（x）__________．

4．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内________，即存在c∈（a，b），使得__________，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

一、选择题

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无法确定

2．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（　　）

A．若f（a）f（b）>0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0

B．若f（a）f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0

C．若f（a）f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0

D．若f（a）f（b）<0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0

3．若函数f（x）＝ax＋b（a≠0）有一个零点为2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　）

A．0，－

B．0，

C．0,2D．2，－

4．函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

5．函数f（x）＝

零点的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）

B．（0,1）

C．（1,2）

D．（2，＋∞）

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

8．函数f（x）＝lnx－x＋2的零点个数为________．

9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为（k，k＋1）（k∈N），则k的值为________．

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x＋2

1

2

3

4

5

三、解答题

10．证明：

方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

11．关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

能力提升

12．设函数f（x）＝

若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则方程f（x）＝x的

解的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

13．若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系

（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

（2）根据函数零点定义可知，函数f（x）的零点就是方程f（x）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．

（3）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象交点的横坐标．

2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝

.

3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．

第三章　函数的应用

§3.1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

知识梳理

1．2　1　0　2　1　2.使f（x）＝0的实数x　3.有实数根　与x轴有交点　有零点　4.连续不断　f（a）·f（b）<0　有零点　f（c）＝0

作业设计

1．C　[方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，

∴Δ＝b2－4ac>0，

即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，

则对应函数的零点个数为2个．]

2．C　[对于选项A，可能存在根；

对于选项B，必存在但不一定唯一；

选项D显然不成立．]

3．A　[∵a≠0,2a＋b＝0，

∴b≠0，

＝－

.

令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝

＝－

.]

4．C　[∵f（x）＝ex＋x－2，

f（0）＝e0－2＝－1<0，

f

（1）＝e1＋1－2＝e－1>0，

∴f（0）·f

（1）<0，

∴f（x）在区间（0,1）上存在零点．]

5．C　[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.

x>0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，

f

（1）＝－2<0，f（e3）＝1>0，∵f

（1）f（e3）<0

∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．

总之，f（x）在R上有2个零点．]

6．A　[设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f（0）＝0可得d＝0，f（x）＝x（ax2＋bx＋c）＝ax（x－1）（x－2）⇒b＝－3a，又由x∈（0,1）时f（x）>0，可得a>0，∴b<0.]

7．3　0

解析　∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，由奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0）上也单调递增，由f

（2）＝－f（－2）＝0.因此在（0，＋∞）上只有一个零点，综上f（x）在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.

8．2

解析　该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：

由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f（x）＝lnx－x＋2有2个零点．

9．1

解析　设f（x）＝e2－（x＋2），由题意知f（－1）<0，f（0）<0，f

（1）<0，f

（2）>0，所以方程的一个实根在区间（1,2）内，即k＝1.

10．证明　设f（x）＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．

因为f（－1）＝3>0，f（0）＝－2<0，f

（2）＝6>0.

所以在（－1,0），（0,2）内都有实数解．

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．

11．解　令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14.

依题意得

或

，

即

或

，解得－

12．C　[由已知

得

∴f（x）＝

当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，

即x2＋3x＋2＝0，

∴x＝－1或x＝－2；

当x>0时，方程为x＝2，

∴方程f（x）＝x有3个解．]

13．解　设f（x）＝x2＋（k－2）x＋2k－1.

∵方程f（x）＝0的两根中，一根在（0,1）内，一根在（1,2）内，

∴

，即

∴

.

2019-2020年高中数学第3章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业新人教A版必修

课时目标　1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．

1．二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．

2．用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；

（2）求区间（a，b）的中点____；

（3）计算f（c）；

①若f（c）＝0，则________________；

②若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时零点x0∈________）；

③若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时零点x0∈________）．

（4）判断是否达到精确度ε：

即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复

（2）～（4）．

一、选择题

1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（　　）

A．ε越大，零点的精确度越高

B．ε越大，零点的精确度越低

C．重复计算次数就是ε

D．重复计算次数与ε无关

2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（　　）

3．对于函数f（x）在定义域内用二分法的求解过程如下：

f（2007）<0，f（2008）<0，f（2009）>0，则下列叙述正确的是（　　）

A．函数f（x）在（2007,2008）内不存在零点

B．函数f（x）在（2008,2009）内不存在零点

C．函数f（x）在（2008,2009）内存在零点，并且仅有一个

D．函数f（x）在（2007,2008）内可能存在零点

4．设f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,2）内近似解的过程中得f

（1）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，则方程的根落在区间（　　）

A．（1,1.25）B．（1.25,1.5）

C．（1.5,2）D．不能确定

5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：

x

0.2

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

3.0

3.4

…

y＝2x

1.149

1.516

2.0

2.639

3.482

4.595

6.063

8.0

10.556

…

y＝x2

0.04

0.36

1.0

1.96

3.24

4.84

6.76

9.0

11.56

…

那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内（　　）

A．（0.6,1.0）B．（1.4,1.8）

C．（1.8,2.2）D．（2.6,3.0）

6．已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0D．f（x1）>0，f（x2）>0

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．若函数f（x）的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f（x）的零点所在的区间为________．（只填序号）

①（－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]

⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞）

x

1

2

3

4

5

6

f（x）

136.123

15.542

－3.930

10.678

－50.667

－305.678

8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

9．在用二分法求方程f（x）＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f（0.625）<0，f（0.75）>0，f（0.6875）<0，即可得出方程的一个近似解为____________（精确度为0.1）．

三、解答题

10．确定函数f（x）＝＋x－4的零点所在的区间．

11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．（精确度0.1）

能力提升

12．下列是关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的命题：

①若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则（x0,0）是f（x）的一个零点；

②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；

③函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点；

④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．

那么以上叙述中，正确的个数为（　　）

A．0B．1C．3D．4

13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量稍轻），现在只有一台天平，请问：

你最多称几次就可以发现这枚假币？

1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为

.

3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间（a，b）后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．

3．1.2　用二分法求方程的近似解

知识梳理

1．f（a）·f（b）<0　一分为二　逐步逼近零点　方程的近似解

2．

（1）f（a）·f（b）<0　

（2）c　（3）①c就是函数的零点　②（a，c）

③（c，b）

作业设计

1．B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]

2．A　[由选项A中的图象可知，不存在一个区间（a，b），使f（a）·f（b）<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]

3．D

4．B　[∵f

（1）·f（1.5）<0，x1＝

＝1.25.

又∵f（1.25）<0，∴f（1.25）·f（1.5）<0，

则方程的根落在区间（1.25,1.5）内．]

5．C　[设f（x）＝2x－x2，根据列表有f（0.2）＝1.149－0.04>0，

f（0.6）>0，f（1.0）>0，f（1.4）>0，f（1.8）>0，f（2.2）<0，f（2.6）<0，f（3.0）<0，f（3.4）<0.因此方程的一个根在区间（1.8,2.2）内．]

6．B　[∵f（x）＝2x－

，f（x）由两部分组成，2x在（1，＋∞）上单调递增，－

在（1，＋∞）上单调递增，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递增．∵x1

又∵x2>x0，∴f（x2）>f（x0）＝0.]

7．③④⑤

8．[2,2.5）

解析　令f（x）＝x3－2x－5，则f

（2）＝－1<0，f（3）＝16>0，

f（2.5）＝15.625－10＝5.625>0.

∵f

（2）·f（2.5）<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5）．

9．0.75或0.6875

解析　因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，

所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．

10．解　（答案不唯一）

设y1＝，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．

由图知，y1与y2在区间（0,1）内有一个交点，

当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f（4）<0，

当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f（8）＝1>0，

∴在（4,8）内两曲线又有一个交点．

故函数f（x）的两零点所在的区间为（0,1），（4,8）．

11．证明　设函数f（x）＝2x＋3x－6，

∵f

（1）＝－1<0，f

（2）＝4>0，

又∵f（x）是增函数，

∴函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．

设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f（1.5）≈1.33>0，f

（1）·f（1.5）<0，

∴x0∈（1,1.5），

取x2＝1.25，f（1.25）≈0.128>0，

f

（1）·f（1.25）<0，∴x0∈（1,1.25），

取x3＝1.125，f（1.125）≈－0.444<0，

f（1.125）·f（1.25）<0，∴x0∈（1.125,1.25），

取x4＝1.1875，f（1.1875）≈－0.16<0，

f（1.1875）·f（1.25）<0，

∴x0∈（1.1875,1.25）．

∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，

∴1.1875可作为这个方程的实数解．

12．A　[∵①中x0∈[a，b]且f（x0）＝0，∴x0是f（x）的一个零点，而不是（x0,0），∴①错误；②∵函数f（x）不一定连续，∴②错误；③方程f（x）＝0的根一定是函数f（x）的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]

13．解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；

第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；

第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；

第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．

∴最多称四次．