新课程下初中数学应用性问题解决的对策研究.doc
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新课程下初中数学应用性问题解决的对策研究
一、研究的缘起：
生活中的数学为什么那么难？
在七上第二章《有理数的运算》时，我设计了一个题目：
【案例1】
请你来做主：
小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的。
老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？
（设每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）
本题的实际解答情况却不容乐观，难度系数为0.35，在78个学生中有约28%基本空着，只有15.3%个同学完全正确。
通过对学生解题情况的分析，错误大都出现在以下三个方面：
（1）对题意理解不透。
一部分学生对问题的实际情况理解错误，导致完成本题时的方向错误——把使用价格也打折了。
错误率达41%。
，明显是生活经验的不足。
（2）缺乏正确解题思路。
由于受到小学时一个式子的计算应用题的影响，学生缺乏分步解决问题的意识，造成得分率不高，只有41%的学生有分步的情况。
（3）不会分析应用性问题。
综观我区2007年初中数学中考情况的抽样分析来看，其中的第19题（包装盒展开图）和第23题（自驾旅游）是在解答题中除了压轴题之外难度最大的，难度系数分别为0.723和0.608。
不能很好地解答应用性问题是一个普遍存在的难题——对于不常见类型的问题尤其如此。
浙江版的初中数学教材展现了大量的数学素材，大多都是源于自然、社会与科学中的现象，是密切联系当前生活实际的问题，把数学问题生活化，让数学知识回到现实生活中，将其产生和发展的过程返璞归真，反映一定的数学价值，将数学本来的魅力充分展现出来。
在实际教学中，应用性问题多的是经过数学处理的“形式化”习题，文字叙述更语言化，更贴近现实生活，题目也较长，数量也较多，数量关系分散隐蔽，往往脱离学生生活实际。
面对一大堆非形式化的材料，学生常感到很茫然，不知从何下手，长此以往学生不但对应用性问题产生恐惧心理，也会丧失运用数学知识解决身边所发生的数学实际问题的能力。
具体表现在：
1.在解决问题的准备中，一些学生由对应用性问题产生了不自觉的恐惧，在碰到应用性问题时就“逃避”，产生不良的心理影响。
2.在信息转换的过程中，由于受应用性问题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响，以及对实际问题中一些“名词术语”不了解、不熟悉。
许多学生，读不懂题目，只好放弃。
如对实际生活中的利润、利率、定期存款、活期存款、分期付款、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念没有真正理解，就谈不上问题的解决了。
3.在信息整合的过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用性问题的整体数学结构、即使能读懂题意，也无法把应用性问题中包含的数学对象间的复杂网络关系线性化，从而无法解题。
4.在信息提炼的过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换为数学问题的转释能力。
数学模型呈现的形式是多样的，有的以函数显示、有的以方程显示、有的以图形显示、有的以不等式显示、有的以概率统计显示等等，还有其他各种形式的模型。
具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪些数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。
让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识是解决应用性问题的必要途径。
加强学生数学应用意识和应用能力的培养的需要，不仅是数学本身发展的需要，也是数学课程目标的要求，更是提高学生数学素质的必经之路。
我们认为：
教师应该有意识地对数学应用性问题的构造、学生的解题心理等方面加以分析，结合学生的学习特点设计时应该寻找让学生喜欢充满乐趣的生活中的数学问题；并创设一定的情境呈现给学生。
使学生从自身的生活背景中感知数学，激发他们对应用性问题的学习的兴趣，增强学习的积极性，也有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力，逐步形成良好的应用意识。
二、基础分析：
透析初中数学应用性问题的本质
随着数学新课程改革的深入，培养学生的数学应用意识和应用能力已成为关注的问题，对初中数学能力要求也逐步提高，出现了多种多样的应用性题，面对变化多端的应用性问题，不少老师感到困惑：
到底什么是应用性问题，它的范围包括哪些？
这就要较完整地了解应用性问题的表述方式、涉及的对象和设问的方式和特点。
1.表述方法。
应用性问题的表述方法很多，常见的有：
（1）自然语言；
（2）图形；（3）表格；（4）图像。
2.涉及的对象。
初中应用性问题涉及的对象可以是极其广泛的，主要有以下几类：
（1）数学学科中的常规应用性问题。
主要是与日常生活密切相关的一些问题，如工程、行程、数字、长度、角、面积、体积、利率、购物、投资经营、股票等。
（2）其它学科中的相关问题。
如行程、力学、电学、光学、浓度、方程式的计算、时区、温度曲线、降雨量直方图、等高线、有关DNA、RNA的结构和遗传等。
（3）与生产生活相联系的问题。
如工作、生产调配测量、物资调配、优惠等问题。
3.就学生学习的情况来看，又可分为：
（1）常见的类型。
指在在教学中多次学习和解答的，一般是那些比较“数学化”了的应用性问题，或者是教材中出现过的问题，它们的解答思路是直接构造已知的数学模型进行解答，经过一定时间的训练之后可达到良好的效果。
（2）不常见的类型。
通常是在生活和生产中出现的，而经过数学化的问题，它们对于学生来说是接触比较少的，需要学生自己进行合理的分析，通过联想题目的实际原型，或者与已经学习过的某个原型建立一定的联系，才能正确理解题意。
三、实施的宏观构架：
追寻有效的应用性问题教学策略
通过对应用性问题和学生情况的分析，我们发现：
问题情境和数量关系是它的两个基本构成要素，而由于数量关系或其运算通常是隐含在题目文字的陈述之中的，其解决需要较复杂的思维操作。
而就学生解决应用性问题的常规思路来说，数学应用性问题解决的难点主要在于将问题情境向数学问题的转化，也就是我们要经常引导学生从所熟悉的生活实际和相关的学科的实际问题出发，通过消除学生学习应用性问题的心理负担，帮助学生度过信息转换、整合、提炼的难关，归纳、抽象出数学概念和规律，建立起相应的数学模型，从而把实际应用性问题转化为数学问题来解决。
结合数学建模教学理论，构建了以下的实施策略（如下图）：
实际问题的解
实际问题
心理关
数学建模
数学的解
成功
失败
文理关
事理关
数理关
（新课程下初中数学应用性问题解决的实施对策图）
四、课题研究的具体实施：
使我们的教学更高效
我们的实践是在引导学生度过心理、文理、事理、数理——“四理关”的同时，更注重引领学生主动参与数学的学习，实现主动的自我构建。
1.心理关
在平时的教学加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。
1.1发掘教材因素
初中数学教材中含有大量的应用性问题素材。
如课本上的例题、习题，它具有目的性、典型性、层次性、综合性的特点。
在教学中，应精心发掘它们的内在功能，还应适当引申发展，充分发掘课本例习题的示范作用。
【案例2】
七上“5.3一元一次方程的应用
（1）”的“课内练习2”是一个一元一次方程的具体应用性问题，学生在解决本题时并不会有太多的困难，因此我又进一步开展以下的教学活动：
（1）新的问题：
若两人同时出发，
①相向而行。
问多少时间后两人相距30千米？
②同向而行。
问多少时间后乙追上甲？
③背向而行。
问多少时间后两人相距300千米？
以上的问题设计目的是让学生更清楚题目中的数量关系和所要开展的讨论。
在教学中95%以上能解答的学生都只考虑了其中的一种情况，于是我采用了让学生参与的教学方式——让学生在教室里进行实际的演示。
（2）学生演示（主要结合上述的问题①）：
结合学生对其中一个线段图的演示，教室里产生了不同的声音：
还有一种情况。
于是就有了学生的又一种线段图。
（3）题后总结
本题的教学，我只是采用了教材常规的拓展，让学生在疑惑中思考，进行自我的知识构建，让许多学生感受到了学习应用性问题的乐趣，在拓展中不断深化知识，也带给学生良好的自信。
（4）课后引申
请学生参照习题自己编拟一道类似的应用性问题。
要求：
可以改变实际问题的背景和数据，但不能改变列方程的形式和解法。
其中2例如下：
（1）甲、乙两人合做180个零件，甲每小时做15个，乙每小时做20个。
甲先做1时，乙再加入，问甲再多少时间后完成任务？
（2）买甲、乙两种糖果共付款180元，甲种糖果每千克15元，乙种糖果每千克10元。
若甲种糖果比乙种糖果多买1千克，问各买了多少千克？
这样，既丰富了课堂教学内容，又结合实际灵活多变进一步加强了学生的数学应用意识，在一定程度上消除了学生对实际问题的畏惧心理。
1.2利用多媒体辅助教学，提高课堂效率
借助多媒体，教师可以利用音频、视频、文本、色彩、速度调控等技术手段，以图象、动画、幻灯、影片等生动形象的表现形式，把抽象的数学问题具体化，复杂的过程条理化，内存联系表面化，动态过程展示化。
根据需要在顷刻间展现教师的意图，以生动的形式体现抽象的思维过程和思维方法。
【案例3】八下5.2平行四边形引入的教学中：
我事先准备好任意两个全等的三角形，用这两个全等三角形你能拼出几种不同形状的四边形？
又有什么规律？
学生小组在自主探究后，一个小组的图形如下：
①②③④⑤⑥
后让学生进行总结——有什么体会（规律、方法等）。
在学生不能得到规律时，我采用动画演示分类：
①②；③④；⑤⑥，并组织了学生的交流。
从“三边×2=6种”到“对6个四边形进行分类”到“每边重合后旋转可得到2个”等，学生的回答有许多超出教师设想之外的。
1.3开展课外活动
从生活中来到生活去，这是学生最感兴趣的问题。
因此，我们可以开展一些丰富多彩的数学课外活动，让学生在活动中寻找数学学习的乐趣和解决问题的信心。
如测量校园内的一棵高不可攀的大树的高度的探索
【案例4】
实践1根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计一个测量方案。
①②
学生设计：
如图①，把镜子放在离树（AB）8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察者目高CD=1.6M。
实践2提供选用的测量工具有①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架；请你选用适当的测量工具，设计可行的测量方案。
要求：
（1）写出你选用的测量工具？
（2）简单地画出你的测量方案示意图？
（3）根据你的方案记录测得的数据并计算出树的高度？
（4）你能设计多种方案吗？
虽然在实践中许多学生设计方案如图②（缺少创造性），能设计出两种方案以上的同学仅占10.2%，一些学生设计的计算方案中的树高达到100多米，一些学生设计的方案不具有实际的可操作性，但明显地可以感受到开展这样的课外活动可以使学生明显地提高学习的乐趣和自信心。
通过引导学生参与实践生活，了解和熟悉数学实际问题的现实背景，沟通数学应用性问题与实际模型之间的联系，使学生从本质上的认识数学实际问题，对学生的数学学习不无裨益。
2.文理关
阅读一个问题，需要在问题的文字语言中捕捉信息，并将文字语言转化为数学的符号语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流，这就需要对学生加强数学语言能力的培养，数学语言包括文字语言、图形语言和符号语言。
2.1注重多角度的理解语义
教学中我们发现，其实学生解决应用性问题的关键在于转化，而转化的关键在于会从合理的角度对数学应用性问题进行理解和抽象，在进行审题之后，学生对于其中数学语言的理解能力应该通过多个角度的训练才能有较大的提高。
2.2加强数学语言互译的训练
数学概念、定理、公式、法则等往往只是一种数学语言表述的，而学生要真正理解和运用它们，则必须要能灵活地运用三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）进行表述。
3.事理关
通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展和认知水平的发展；通过数学阅读，有助于学生探究能力的培养和自学能力的培养，有助于学生更好地掌握数学。
加强数学阅读能力的培养要注意以下几个方面：
3.1学会说数学
就是通过阅读后的分析思考，说出问题的信息条件、现象过程、解题思路及方法等。
可让学生通览全题后，说问题的条件；也可以让学生剖析字句后，说问题的思路构想；还可以让学生形成解题思路后，说问题的解题步骤。
3.2学会议数学
讨论是议论数学的有效举措。
学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解，互相讨论。
讨论时学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集资料、统计数据等多种活动，并与别人思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。
因此，讨论不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣、增进对知识的理解。
3.3学会写数学
让学生写数学，就是要把学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并进行交流。
如让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等等。
这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索探究能力。
4.数理关
数学实际问题最突出的特点是数据多，变量符号多，数量关系隐蔽，而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。
学生对数据的感悟能力较差，对已知与所求之间的数量关系比较模糊。
为了有效解决这个难题，我的做法是：
4.1数学建模
数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。
建立数学模型的过程就称为数学建模，它主要有三个步骤：
①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。
其中最关键也是学生最感困难的是第一步。
具体操作是：
（1）读题：
获取题中的关键信息，这个信息包括已知信息、隐含信息和未知信息。
（2）建模：
通过对数量关系和等量关系的分析，考虑可以用方程建立数学模型。
4.2教材中的数学模型
我们的教材中已经给我们展现了许多的数学模型，虽然涉及的是与社会、生活、科学、生产联系十分密切的事例，但教师必须要对其中所包含的数学模型加以认识，才能使我们的教学更具有针对性。
详见下表：
模型名称
数学知识
生活中的数学应用问题
方程（组）模型
一元一次、一元二次、二元一次、分式方程
行程问题，工程问题，溶液配置，人员调配，银行存代，数字问题，平均增长率……
不等式（组）模型
一元一次不等式
市场营销，生产决策，投资方案…
函数模型
一次、反比例、二次函数
市场营销，生产决策，投资方案…的最大、最小、最优…
三角模型
解直角三角形
航海，测量…
几何模型
线，多边形，圆
美工设计，建筑设计，区域规划…
统计、概率模型
平均数，方差
频率分布，概率
调查，报表，统计，概率…
4.3数学模型中信息整合的对策
⑴爬坡策略
波利亚在“怎样解题”一文中这样强调：
先去解决一个更简单、更容易、更具体的问题，看一看从中能否得到一点什么启示；若有，则从这一点启示出发，再解决一个比它稍复杂一点的问题，又得到一点经验；这样一步一步地爬到最终目标，这就是爬坡策略。
【案例5】
例2：
购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第二次付款，如此下去，共付款5次还清。
如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金）那么每期应付款多少元？
（精确到1元）
简析：
①从最原始的思维开始
学生思维一：
不少学生认为买5000元商品，每次付款1000元即可。
引导调整：
假如商家愿意这样，当然可以，但是和一次性付款相比，商家是否吃亏了？
学生思考讨论后认为，和一次性付款5000元比较，商家确实吃亏了，因为5000元存银行还有利息，经商会产生效益，因此这5000元必须考虑利息，按题意以月利率0.8%，按复利计算比较合理，5个月后5000元的本息应该是。
②不放过任何错误思路
学生思维二：
在理解复利的意义后，许多学生开始认识到问题的复杂性，但仍有部分学生提出每月付款是。
对这种算法，教师不要立刻否定，要做进一步分析，调整学生思维，培养学生思维的深刻性。
引导调整：
这样付款商家当然不吃亏了，但是如果是你去买东西，这样付款你吃亏了吗？
问题提出后，学生普遍认为顾客吃亏了，因为顾客每一次还的钱都要计算5个月的利息了。
③让学生自己发现解法
学生思维三：
学生认识到若商家的5000元折算成5个月后的钱要计算5个月的利息；那么顾客第一次还的钱应计算4个月的利息，第二次还的钱应计算3个月的利息……
由此，根据学生的思维现状，从学生最初的错误思维出发，经过不断的调整，深化，可以收到良好的学习效果。
⑵图示策略
也就是采用图示的方法直观地演示问题的量与量之间的关系。
【案例6】
例3：
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，销售给A、B两地各式各10台和8台已知从甲地调运一台机器到A、B两地运费各为400元和800元，从乙地调运一台机器到A、B两地运费各为300元和500元，请设计一个方案，使得总运费最小？
简析：
设从乙厂调运x台机器到A地，则剩余（6－x）台调运到B地；则甲厂只能往A地调运（10－x）台，剩余（x＋2）台调运到B地。
图示如下：
⑶数表策略
数表是统计学中常用的一种方法。
用数表提炼和整合信息，能定性、定量地描述信息的过程和状态，沟通问题中所蕴涵的各种信息之间的内在联系。
【案例7】
例4：
在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候进站。
检票开始后，仍有旅客来排队进站。
设旅客按固定的速度增加，检票口的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放二个检票口，则只需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕；以使此后来到的旅客以随到随检，问至少要同时开放几个检票口？
数表分析如下：
旅客原有人数
旅客增加速度（人/分钟）
旅客增加人数
1个检票口速度（人/分钟）
时间（分）
检票人数
开放1个检票口
a
x
30x
y
30
30y
开放2个检票口
a
x
10x
y
10
2×10y
开放n个检票口
a
x
5x
y
5
n×5y
⑷子问题分析策略
从系统论的观点来看，每一个应用性问题都是一个系统，系统是由一定的要素组成的。
对于信息系统复杂的应用性问题，可以考虑分解成若干个子问题来分别解决。
【案例8】
例5：
一船运货，在河中顺流航行105千米，逆流航行60千米，共需用9小时，需要运费2460元；若顺流航行84千米，逆流航行75千米，也用9小时，但运费需要2508元；试问若船顺流航行75千米，逆流航行84千米，那么需要多少运费？
可以分成以下几个子问题来解决：
子问题①：
求顺流航行的速度x千米/时，逆流航行的速度y千米/时各是多少？
子问题②：
求顺流航行的运费a元/千米，逆流航行的运费b元/千米各是多少？
子问题③：
求船顺流航行75千米，逆流航行84千米，所需要的运费？
⑸等价性转换策略
利用问题的等价转换，可以把一个信息结构复杂的应用性问题,整合为一个过程和结构十分简单的数学模型，从而实现建模目标。
⑹应用性问题编写策略
在数学教学中，多数教师比较重视对知识的传授和对方法的掌握，而往往忽视对学生进行实践活动的教学，使学生对所学的知识与实际模型之间缺少联系。
虽然初中阶段在数学教学中可以进行实践活动的时间不多，但我们也应该在这个方面加以实施。
如结合学生进行的社会调查、春、秋游时租车或门票优惠的问题、针对学校的规划布局设计、校园面积、绿化面积的测量等情况就可以组织学生开展活动，并结合实践活动的成果，要学生参考教材的例题编写应用性问题。
这样，不但使学生学会由实际模型编写实际应用性问题题的方法和思路，加强解答应用性问题的技能和技巧，沟通了实际模型与应用题之间的联系，还能让学生更有应用意识，更关注周围发生的数量关系，提高解决问题的能力。
四、课题研究的收获与思考
（一）实施收获
1.问题的解决充满挑战和创造，成功地问题解决将带给学生愉悦的心情与自信心的高涨，从而有助于树立正确地数学观。
2.学生在将文字语言表述的实际问题用数学语言表达成数学问题，建立数学模型，并将数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表达出来的过程中提高了数学“翻译”能力。
3.问题解决过程中的相互交流、互相争论、密切合作、取长补短，锻炼了学生的合作、交流、表达能力。
4.数学问题源于生活、寓于生活、用于生活，唤起了学生对数学应用价值的认识，激发了学生的数学应用意识。
这对学生在生活背景中发现数学、创造数学、运用数学是具有积极意义的。
（二）两点思考
1.怎样选择可供教学的实际应用性问题？
可以说，我们的研究也走了不少的弯路，初中学生接受知识的能力是有限制的，因此，在数学应用的教学中要与《新课标》相接轨，要与学生的实际能力相吻合；并且要求学生经过努力才可以达到，不可随意性拔高，也不能随意加重学生的学习负担，要引导学生自觉地在学中用，在用中学，这也是我们最难以掌握的。
2.教师的教学理念应作如何调整？
①转变观念：
树立以学生发展为本，以培养学生创新意识、探索能力、问题解决能力为价值取向的教育观。
②变换角色：
教师应该担当起一个组织者、引导者、合作者的角色。
“冰冻三尺，非一日之寒”，学生数学应用问题解决能力的培养也不是一朝一夕之功，需要我们从多方面，多角度，多层次，持续性地培养！
当前的研究性课题学习也是提升学生数学问题解决能力的良好载体，在这方面有待于作进一步的探索。
参考文献：
1.张奠宙、戴再平，数学问题解决，华东师师范大学出版社1998、1
2.刘来福，数学模型与数学建模，北京师范大学出版社，1997
3.叶其孝，中学数学建模，湖南教育出版社，1998
4.张肇丰，试论研究性学习，课程、教材、教法，2000、6
5.丁雪梅，例说“研究性课题教学中学生思维的调整与深化”中学数学教学参考2002.4
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