广西百色市田阳高中学年高二上学期期中数学.docx
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广西百色市田阳高中学年高二上学期期中数学
2016-2017学年广西百色市田阳高中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在1000个有机会中奖的号码（编号为000～999）中，按照随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（ ）
A．随机数表法B．抽签法C．分层抽样D．系统抽样
2．101110
（2）转化为等值的八进制数是（ ）
A．46B．56C．67D．78
3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知全集S=R，A⊆S，B⊆S，若命题p：
∈（A∪B），则命题“￢p”是（ ）
A．
∉AB．
∈∁sBC．
∉A∩BD．
∈（∁sA）∩（∁sB）
5．命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列四个命题中的真命题为（ ）
A．若sinA=sinB，则A=BB．若lgx2=0，则x=1
C．∀x∈R，都有x2+1＞0D．∃x0∈Z，使1＜4x0＜3
7．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
8．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁
9．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：
若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：
若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假
C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假
10．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（ ）
A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8
11．已知命题p：
m＜0，命题q：
x2+mx+1＞0对一切实数x恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．﹣2＜m＜0
12．两位同学约好星期六8点到10点在某体育馆打羽毛球，事先约好先到者等后到者不超过20分钟，则星期六两人能在一起打羽毛球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图是某厂1～4月份用水量情况（单位：
百吨）的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为
=﹣0.7x+a，则a的值为 ．
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．
15．对于任意实数x，不等式sinx+cosx＞m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
16．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，已知y≥245，z≥245，则初三年级中女生比男生多的概率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数．
（2）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x4+3x3+5x﹣4当x=2时的函数值．
18．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：
82，81，79，78，95，88，93，84
乙：
92，95，80，75，83，80，90，85
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
请说明理由．
19．某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
n
0.350
第3组
[170，175）
30
p
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185]
10
0.100
合计
100
1.000
（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
（1）求回归直线方程
=
x+
，其中
=﹣20，
=
﹣
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从
（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
（利润=销售收入﹣成本）
21．请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中n0∈N．
（1）若输入n0=0，写出所输出的结果；
（2）若输出的结果中有5，求输入的自然数n0的所有可能的值；
（3）若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数n0的所有可能的值．
22．在平面区域
内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为圆M．
（1）试求出圆M的方程；
（2）设过点P（0，3）作圆M的两条切线，切点分别记为A、B，又过P作圆N：
x2+y2﹣4x+λy+4=0的两条切线，切点分别记为C、D，试确定λ的值，使AB⊥CD．
2016-2017学年广西百色市田阳高中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在1000个有机会中奖的号码（编号为000～999）中，按照随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（ ）
A．随机数表法B．抽签法C．分层抽样D．系统抽样
【考点】简单随机抽样．
【分析】由三种抽样的特点，本抽样方式所得号码间隔相同，符合系统抽样的特点．
【解答】解：
本抽样方式按照随机抽取的方式确定后两位是88的号码作为中奖号码，所抽取号码间隔相同，为系统抽样．
故选D．
2．101110
（2）转化为等值的八进制数是（ ）
A．46B．56C．67D．78
【考点】排序问题与算法的多样性．
【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到十进制数，再利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
【解答】解：
101110
（2）=0×20+1×21+1×22+1×23+1×25=46
46÷8=5…6
5÷8=0…5
故46（10）=56（8）
故选B．
3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：
由a2＞2a得a＞2或a＜0，
则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件，
故选：
A
4．已知全集S=R，A⊆S，B⊆S，若命题p：
∈（A∪B），则命题“￢p”是（ ）
A．
∉AB．
∈∁sBC．
∉A∩BD．
∈（∁sA）∩（∁sB）
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
【解答】解：
因为全称命题的否定是特称命题，因为p：
∈（A∪B），所以p：
∉（A∪B），即
∉A且
∉B．所以
∈∁sA且
∈∁sB．故
∈（∁sA）∩（∁sB）．
故选：
D．
5．命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用．
【分析】根据四种命题的关系以及互为逆否命题的等价性进行判断即可．
【解答】解：
根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可．
原命题：
若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原命题正确，逆否命题也正确．
逆命题：
若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆命题错误，否命题也错误．
故四个命题中，真命题的个数为2．
故选：
B．
6．下列四个命题中的真命题为（ ）
A．若sinA=sinB，则A=BB．若lgx2=0，则x=1
C．∀x∈R，都有x2+1＞0D．∃x0∈Z，使1＜4x0＜3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，若sinA=sinB，则A=B不一定成立；
B，若lgx2=0，则x=1或﹣1；
C，∀x∈R，则x2≥0⇒x2+1＞0；
D，若1＜4x0＜3⇒
＜x0＜
，不为整数；
【解答】解：
对于A，若sinA=sinB，则A=B不一定成立，故错；
对于B，若lgx2=0，则x=1或﹣1，故错；
对于C，∀x∈R，则x2≥0⇒x2+1＞0，故正确；
对于D，若1＜4x0＜3⇒
＜x0＜
，不为整数，故错；
故选：
C．
7．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．
【解答】解：
根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；
故选A．
8．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；众数、中位数、平均数．
【分析】由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数．
【解答】解：
由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35；
抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30；
抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10．
由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．
而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50；
故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10，
所以中位数是35﹣
≈33.6．
故答案选C．
9．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：
若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：
若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假
C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．
【解答】解：
∵当α⊥β，β⊥γ时，
α与γ可能平行与可能垂直
故命题p为假命题
又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时
α与β可能平行也可能相交，
故命题q也为假命题
故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真
故选C
10．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（ ）
A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．
【解答】解：
循环前，S=1，n=1
第一次循环：
S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；
第二次循环：
S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；
第三次循环：
S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；
第四次循环：
S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；
第五次循环：
S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；
第六次循环：
S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．
故选B．
11．已知命题p：
m＜0，命题q：
x2+mx+1＞0对一切实数x恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．﹣2＜m＜0
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题q：
x2+mx+1＞0对一切实数x恒成立，则△＜0，解得﹣2＜m＜2．由于p∧q为真命题，解出即可得出．
【解答】解：
命题q：
x2+mx+1＞0对一切实数x恒成立，则△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．
∵p∧q为真命题，∴﹣2＜m＜0．
则实数m的取值范围是（﹣2，0）．
故选：
D．
12．两位同学约好星期六8点到10点在某体育馆打羽毛球，事先约好先到者等后到者不超过20分钟，则星期六两人能在一起打羽毛球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|8＜x＜10，8＜y＜10}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|8＜x＜10，8＜y＜10，|x﹣y|＜
}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．
【解答】解：
由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，
试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|8＜x＜10，8＜y＜10}，并且事件对应的集合表示的面积是s=4，
满足条件的事件是A={（x，y）|8＜x＜10，8＜y＜10，|x﹣y|＜
}
所以事件对应的集合表示的面积是4﹣
=
，
根据几何概型概率公式得到P=
．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图是某厂1～4月份用水量情况（单位：
百吨）的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为
=﹣0.7x+a，则a的值为 5.25 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】求出x，y的平均数，根据线性回归方程必过样本中心点，代入方程求出a的值．
【解答】解：
由表中数据，计算
=
×（1+2+3+4）=2.5，
=
×（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程
=﹣0.7x+a中，得3.5=﹣0.7×2.5+a，
解得a=5.25．
故答案为：
5.25．
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为
．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为
，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
【解答】解：
甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为
，
则他们同时选中A食堂的概率为：
=
；
他们同时选中B食堂的概率也为：
=
；
故们在同一个食堂用餐的概率P=
+
=
故答案为：
15．对于任意实数x，不等式sinx+cosx＞m恒成立，则实数m的取值范围是 （﹣∞，﹣
） ．
【考点】全称命题．
【分析】sinx+cosx=
∈
．由对于任意实数x，不等式sinx+cosx＞m恒成立，可得m＜（sinx+cosx）min，即可得出．
【解答】解：
sinx+cosx=
∈
．
∵对于任意实数x，不等式sinx+cosx＞m恒成立，
∴
．
故答案为：
（﹣∞，﹣
）．
16．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，已知y≥245，z≥245，则初三年级中女生比男生多的概率为
．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】推导出x=380，y+z=500，且y≥245，z≥245，y，z∈N，利用列举法求出基本事件空间包含的基本事件个数和初三年级女生比男生多的事件包含的基本事件个数，由此能求出初三年级中女生比男生多的概率．
【解答】解：
∵在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，
∴
=0.19，解得x=380．
初三年级人数为y+z=2000﹣=500，
设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为（y，z）；
∵y+z=500，且y≥245，z≥245，y，z∈N，基本事件空间包含的基本事件有：
、、、，，，
，，、，，共11个．
事件A包含的基本事件有：
、、、、共5个．
∴P（A）=
．
故初三年级中女生比男生多的概率为
．
故答案为：
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数．
（2）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x4+3x3+5x﹣4当x=2时的函数值．
【考点】用辗转相除计算最大公约数；秦九韶算法．
【分析】
（1）根据辗转相除法的运算原则，结合1764=840×2+84，840=84×10+0，此时余数为0，除数即为两个数的最大公约数，可得答案；
（2）先将多项式改写成如下形式：
f（x）=（（（2x+3）x+0）x+5）x﹣4，将x=2代入并依次计算v0，v1，v2，v3，v4的值，即可得到答案．
【解答】解：
（1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数．
1764=840×2+84
840=84×10+0
所以840与1764的最大公约数是84
（2）根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）=（（（2x+3）x+0）x+5）x﹣4
从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：
v0=2v1=2×2+3=7v2=7×2+0=14v3=14×2+5=33v4=33×2﹣4=62
所以，当x=2时，多项式的值等于62
18．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：
82，81，79，78，95，88，93，84
乙：
92，95，80，75，83，80，90，85
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
请说明理由．
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】
（1）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据．
（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．
【解答】解：
（2）根据所给的数据得到
（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41
∵
=
，s甲2＜s乙2，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适
19．某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.050
第2组
[165，170）
n
0.350
第3组
[170，175）
30
p
第4组
[175，180）
20
0.200
第5组
[180，185]
10
0.100
合计
100
1.000
（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）根据所给的第二组的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，再根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率．
（Ⅱ）因为在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这三个小组共有60人，利用每一个小组在60人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果．
（Ⅲ）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C21C41+1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：
（Ⅰ）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，
第3组的频率p=
，
（Ⅱ）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：
×6=3人，第4组：
×6=2人，第5组：
=1人，
∴第3、4、5组分别抽取3人、
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