高考数学概率统计专题复习学案doc.docx
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高考数学概率统计专题复习学案doc
高考数学一一概率统计专题复习学案
【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识•概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合
题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算•解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.由
于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题.
【考点透析】概率统计的考点主要有：
概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等.
【例题解析】
题型1抽样方法
【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000-999）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）
A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对
分析：
实际间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样.
解析：
题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：
088,188,288,388,488,
588,688,788,888,988.答案B.
点评：
关于系统抽样要注意如下几个问题：
（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先
定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法.
（2）系统抽样的步骤：
①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本.（3）适用范围：
个体数较多的总体.
例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表.已知在全校学生
中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应
在三年级抽取的学生人数为（）
x=20000,这样一年级和二年级学生的总数是373'377-380'370=1500，三年级
64
学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是一竺500=16.答案C.
2000
点评：
本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等
可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识.
例3.（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据
所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的
关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3500（元）月收
入段应抽出
人.
分析：
实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可.
解析：
根据图可以看出月收入在12500,3500的人数的频率是
0.00050.0003500二0.4，故月收入在〔2500,3500人数是100000.4二4000,
故抽取25人.
点评：
本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力.
题型2统计图表问题
例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：
若某高校A
专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为
f窖
止卜二i粳"
IUP30上0.709L11315
A.10B.20C.8D.16
分析：
根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可.
解析：
B.视力住0.9以上的频率为（1•0.75•.025）0.2=0.4，人数为0.450=20.
点评：
在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距.
例5（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场
比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是;众数是.
0
1
2
3
4
分析：
根据茎叶图和中位数、
1
2
2
2
3
3
4
6
7
8
9
0
1
1
1
3
3
3
3
5
5
788
0
1
2
2
3
4
4
8
9
0
1
3
5
6
众数的概念解决
解析：
由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23;而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23.
点评：
一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点.
例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了
20位工人某天生产
该产品的数量•产品数量的分组区间为1.45,55,〔55,65,65,75,〔75,85,
题型3平均数、标准差（方差）的计算问题
例6（2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩
的标准差为（）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在1.55,75的人数
分析：
根据标准差的计算公式直接计算即可.
520410330230110o
解析：
平均数是3,
100
标准差是
22222
5-3]TO4-3]亠303-3302-3101-3
100
_80—10—30—40_8_2五
100_Y5_5
答案B.
点评：
本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力•解题的关键是正确
理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难.
例7•（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据x1,x>,x3^|,xn
的平均数x=5，方差2=2，则数据3为+1,3X2+1,3X3+1^）,3x^+1的平均数为，方差
为•
分析：
根据平均数与方差的性质解决.
解析：
16,18
例8.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持
人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据
解析：
C
题型4用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
件a理7^
男
女
能
178
278
不能
23
21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人.
23—21
解析：
60由上表得15000230=60.
点评：
考查样本估计总体的思想.
题型5•线性回归分析
x（吨）
例9•（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）
y=bxa;
请画出上表数据的散点图;
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据
（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
分析：
本题中散点图好作，本题的关键是求y关于x的线性回归方程y=bx•a，它既可以由给出的回
即所求的直线应使残差平方和最小,
归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想用求二元函数最值的方法解决.
解析：
（1）散点图如右
（2）方法一：
设线性回归方程为y=bxy，则
2222f（a,b）=（3ba-2.5）（4ba-3）•（5ba—4）（6ba—4.5）
22222=4a2a（18b-14）-（3b-2.5）•（4b—3）（5a—4），（6b—4.5）
7—9b2222
”丁皿5".^时，f（a，b）取得最小值w）•（—）co.5）（1^-1）,
5
即0.5[（3b-2）2（b-1）2]=5b2-7bb=0.7,a=0.35时fa,b取得最小值.
所以线性回归方程为y=0.7x0.35.
方法二：
由系数公式可知，x=4.5,y=3.5,b二66^上5异二66^63=0.7
86—4M.55
9
a=3.5-0.7-=0.35，所以线性回归方程为y=0.7x-0.35.
2
（3）X=100时，y=0.7x-0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低
19.65吨标准煤.
点评：
本题考查回归分析的基本思想.求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推
导过程，这里的另一个解决方法是对fa,b我们再按b集项，即
fab86b（3-6
222
吗.醪）+（3-）+而这个时候.,5当
AQQQOo
b=一初一时fa,b有最小值，结合上面解法中a=3.5-4.5b时fa,b有最小值，组成方程组就可以解出a，b的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值•对
于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数r=0.9899，相关指数R2=0.98.这说明x,y
具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，
只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的•本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了.
例10.（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学
习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议•现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分
析.下面是该生7次考试的成绩.
娄
1
8
8
1
9
1
11
学
8
3
17
2
08
00
12
物
9
9
1
9
1
11
理
4
1
08
6
04
01
06
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？
请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计
他的数学成绩大约是多少？
并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
分析：
成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决.
解析：
（1）x=100一12一1717一8812/00；
7
从而S数学-S物理，所以物理成绩更稳定.
（2）由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
t?
-497=0.5，砂100-0.5100=50,
994
.线性回归方程为y=0.5x50.当y=115时，x=130.
建议：
进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.
点评：
《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用
散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”.2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心.
题型6古典概型与几何概型计算问题
例11（2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率.
分析：
枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算.
31
解析：
点数和为4，即1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是—.或是数形
369
结合处理.
点评：
古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题
外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算.
例12.（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆.在图形
上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是
兀
4
4-7：
A.
B.
C.
D.二
4
n
4
分析：
就是圆的面积和正方形面积的比值.
解析：
根据几何概型的计算公式，这个概率值是一，答案A.
4
点评：
高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查.
例13.（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者AA,,A通晓日语，BnB,,B3
通晓俄语，Ci,C2通晓韩语•从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
（1）求A被选中的概率；
（2）求B1和G不全被选中的概率.
分析：
枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决.
解析：
（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
C={（A,Bl,C1）,（A,Bl,C2）,（A,B2,C1）,（A1,B2,C2）,（A,B3,C1）,
（A,B3,C2）,（A2,B1,C1）,（A2,Bl,C2）,（A2,B2,C1）,（A2,B2,C2）,
（A2,B3,C1）,（A2,B3,C2）,（A,B1,C1）,（A3,B1,C2）,（A3,B2,C1）,
（A3,B2,C2）,（A3,B3,C1）,（A3,B3,C2）}
由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示’A恰被选中”这一事件，则M={（A,B1,C1）,（A1,B1,C2）,（As,b2,CJ,
（A,B2,C2）,（A1,B3,C1）,（A,B3,C2）}
事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=61.
183
（2）用n表示b,g不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示B,,G全被选中”这一事件，
由于N二｛（A,B,,C1）,（A2,B,,C1）,（A3,B,,G）｝，事件N有3个基本事件组成，
3115
所以P（N），由对立事件的概率公式得P（N）=1-P（N）=1--
18666
点评：
本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、正难则反”等数学思想方法，
考查分析问题解决问题的能力.
题型7排列组合（理科）
例14.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复
数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列｛an｝则a19=
A.2014B.2034C.1432D.1430
分析：
按照千位的数字寻找规律.
解析：
千位是1的四位偶数有c3a2=18，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即
2014，答案A.
例15.（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A,6张分别
标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等
于.（用数字作答）
分析：
由于字母A是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A的多少分类解决，如含有2个字母A时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A即可，再在其余位置上安排数字.
解析：
不含字母A的有A6=720；含一个字母A的有C6A5=6x720=4320；含两个字母A时，
CfAj=5400；含三个字母A时，C<3a3=2400.故总数为720432054002400二12840.
点评：
解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算.
题型8二项式定理（理科）
例15.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知
（ax1）^anxnanjxn‘•川a^xa0（n•N*）,点列AGaJQ=0,1,2,川，n）部分图象女口图所
示，则实数a的值为.
分析：
根据点列的图可以知道a0,c^,a2的值，即可以通过列方程组解决.
a2乂：
肯=3a2=但归仝=2^=4，解得
2n222
解决问题的基本出发点是方程的思想.
4题）
点评：
本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题,例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第
若（1-x）n=1qxa2x2a3x3111xn（nN），且a1:
a3=1:
7，则a5等于
D•一35
A•56B•-56
分析：
根据展开式的系数之比求出n值.
235
解析：
a2=-Cn,a3=-Cn，由a2:
a^1:
7，得n=8，故a5=-C^=-56，答案B.
点评：
解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了.题型9离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）
19题）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,
地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记
例17.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第
3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回
=x-2+y_x•
（2）求随机变量的分布列和数学期望.
的意义，分别计算其概率.
二匕兰3，且当x=1,y=3或x=3,y=1时,
-3•因此，随机变量的最大值为3
（2）'的所有取值为0,1,2,3•
■■=0时，只有x=2,y=2这一种情况,
F=1时，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,
=2时，有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.
142
P（7匚，P（"肓，P（'2）^•
则随机变量•的分布列为:
0
1
2
3
P
1
4
2
2
9
9
9
9
142214
因此，数学期望E=0—，1—•23
99999
点评：
有放回的取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型.
例18.（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在
2
甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
3
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望.
分析：
比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、
四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等.
解析：
记甲n局获胜的概率为巳,n=3,4,5,
3238
（1）比赛三局甲获胜的概率是：
巳=c；（）3：
327
22318
（2）比赛四局甲获胜的概率是：
F4=C；（）3（厂
3327
2231216
比赛五局甲获胜的概率是：
p5-c2（）3（）2：
2381
64
甲获胜的概率是：
P3P4P5：
81
（3）记乙n局获胜的概率为Pn',n=3,4,5.
3〔312〔322213228
Ph®?
亏，卩4』叫）（？
亏；卩573）（"；
故甲比赛次数的分布列为:
X
3
4
5
数图像如图所示•则有
A•7「2,；—
C•7*2,；—
分析：
根据正态密度曲线的性质解决•
解析：
A根据正态分布N（・,「2）函数的性质：
正态分布曲线是一条关于X-■'对称，在X-」处取
得最大值的连续钟形曲线；匚越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，二越小，曲线的最高
点越高且弯曲较陡峭，选A•
点评：
考试大纲对正态分布的要求是利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示
的意义”这个考点多次出现在高考试卷中•
【专题训练与高考预测】
文科部分
一、选择题
1•从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，
若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为（）
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为y=a•bx必过点
A.2,2B.1.5,0C.1,2D.1.5,4
3.从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：
先用简单随机抽样从2007
人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）
A.不全相等B.均不相等
501
C.都相等，且为D.都相等，且为
200740
根据某医疗研究所的调查，
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