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考研数二真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

设函数y=f（x）由方程e2x£_cos（xy）=e-1所确定，则曲线y=f（x）在点（0,1）处的

法线方程为

―322

J；（x+sinx）cosxdx=

过点f1,01且满足关系式

12丿

y'arcsinx+y一=1的曲线方程为

（1）=f'

（1）=1,则

（A）在（1—6,1）和（1,1+6）内均有f（x）cx.

（B）在（1—61）和（1,1”）内均有f（X）>x.

（C）在（1-6,1）内，f（x）ex.在（1,1+6）内，f（x）》x.

（D）在（1-6,1）内，f（x）>x.在（1,1+6）内，f（x）ex.

⑸设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图形如右图所示，

求］dx

'（2x2+1）Jx2+1

四、（本题满分7分）

五、（本题满分7分）

设P=P（x）是抛物线

y=JX上任一点

M（x,y）（x>1）处的曲率半径，s=s（x）是该抛

物线上介于点A（1,1）与M

之间的弧长，计算

-f—〕的值.（在直角坐标系下曲率ds2Ids丿

公式为K”）

（1+y'2）2

六、（本题满分7分）

f（x）

设函数f（x）在［0,+=c）上可导，f（0）=0,且其反函数为g（x）若Jog（t）dt-

求f（X）.

七、（本题满分7分）

设函数f（x）,g（x）满足f'（X）=g（x）,g'（X）=2eX-f（X），且f（0）=0,g（0）=2，

求聯-罟+

八、（本题满分9分）

设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化

了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时?

十、（本题满分8分）

设f（x）在区间[―a,a]（a>0）上具有二阶连续导数，f（0）=0,

（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式

卜一、（本题满分6分）

1）

0）

已知矩阵A=

1.且矩阵X满足

AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是3阶单位阵，求X.

十二、（本题满分6分）

设％,口2,川，口4为线性方程组AX=0的一个基础解系，凤=%+^2,02=5+口3,

33+伴4,S=叫+t%试问实数t满足什么关系时，斥鷺，03沖4也为AX=0的一个

基础解系.

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题

（1）【答案】一4

【详解】lim

x-H

X2+X-2

=limC-应心（x+2）（x-1）

=lim

（J3-X-+xX（3-x++x）

3-x-（1+X）

x+2善X-1xJ3-X+j1+x）

=-lim

T（x+2）（j3-x+J1+x）

2_1_2ZI

1凹（x+2）（7^）（1+2+3丘6

（2）【答案】x-2y+2=0.

【详解】在等式e2x旳—cos（xy）=e—1两边对x求导，其中y视为x的函数，得

ex为（2x+yj+sin（xy）（xy）=0，即e2%刊（2+y'）+sin（xy）（y+xy'）=0

-1

将x=0,y=1代入上式，得e（2+y'）=0，即y'（0）=—2.故所求法线方程斜率k=—

-2

根据点斜式法线方程为：

y—1=-x,即X-2y+2=0.

⑶【答案】8

Jf（x）dx=2.秩f（x）dx,f（x）为偶函数

Hdf（X）dx=0,f（X）为奇函数

【详解】由题设知

J；jI

J2兀（X+sin2x）cosxdx=J和x3cos2xdx+J^iSifxcos2xdx

"2"2~2

在区间［—3,3］上，X3cos2X是奇函数，sin2xcos2x是偶函数，故

兀

—32

『兀Xcosxdx=0，

J；sin2xcosxdx=2（02sin2xcosxdx，

所以，原式

兀

^232

=cosxdx+

J2兀sin2xcos2xdx=2rsin2xcos2xdx

『（1-cos4x）dx

迟1迟

2-—f2cos4xd4x

016'o

兀1

—-—sin4x

216

Z-兀

02=丁0

⑷【答案】

yarcsinx-x-1

【详解】

方法1因为

（yarcsinx）=y'arcsinx+

y，所以原方程

y'arcsinx+’一=1可

改写为

（yarcsixn）=1,

两边直接积分，得

yarcsinx=x+c.

又由y

（1）=0代入上式，有

0arcsinx

故所求曲线方程为

yarcsinx=x--.

方法2:

将原方程写成一阶线性方程的标准形式

y叶y=—1—

J—xarcsinxarcsinx

由一阶线性微分方程^^+卩（x）y=Q（x）通解公式:

f（x）JP（xdx（CrQ（x』P（xdxdx]

这里P（X）=,Q（X）=1—，代入上式得:

d-x2arcsinxarcsinx

y_e前-x2arcsinx

1fI-2dx

C+J—1—e^1-arcsinXjx‘arcsinx

—f_1——darcsinx_e」arcsinx

「r1〔亠

C+J■e「arcsinx

|_、arcsinx

darcsinx

dxl

_lnarcsinx「小，.1lnarcsinx,[

=eC+fedx\

[、arcsinx」

arcsinx[arcsinx」arcsinx

arcsinx

又由

=0,解得C=—丄.故曲线方程为:

yarcsinx=x-£.

⑸【答案】-2

【详解】方法1：

利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形

「1

1,3行

-2」互换La

a-21

1：

「11

-21

0a-1

1-a!

|_01-a

1-al

1+2a

■

-2

a-1

1-a

0（1

-a）（a+2）

2（2+a）

1行的（-1）,（-a）倍

分别加

「1

2行加到3行0

由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件：

设A是mxn矩阵，方程组Ax=b有无

穷多解一r（A）=r（A）Mn.可见，只有当a=-2时才有秩r（A）=r（A）=2c3，

应方程组有无穷多个解.

方法2：

设A是m咒n矩阵，方程组Ax=b有无穷多解=r（A）=r（A）<:

n，则方程组

「a

111\1[1-_

1有无穷多解Ur（A）=r（A）v3.从而有円=0，即

a」Lx3」

a11

a+2a+2a+2

111

2,3行分别

1行提出

1a1

（a+2）

1a1

加到1行

（a+2）

11a

L—2」

A-

1行X（—1）分别

加到2,3行

八1+1“、

a-10

a-1

=（-1）（a+2）

0a-1

a—1

（a+2）

则,

=（a+2）（a-1）=0,

a=1或a=—2.

当a=1时,

当a=—2时,

可见r（A）=1Hr（A）=2,原方程组无解.

「-2

11f

■1

-2；

-2-

-2

13行互换

-2

-2；

-2

[

-2

有

-3

3：

1行X2加至"3行

-3

L-2

[

-3：

-3”

「1

-21

—2：

2行-1行

「1

-2：

-21

-2：

-21

-3

-1：

-1

3行^2行

■

可知，r（A）=r（A）=2c3,

故当a=-2时，原方程组有无穷多解

二、选择题

（1）【答案】（B）

f（x）<1,于是f

【f（x）]=1,从而f{f〔f（x）D=f

（1）=1

⑵【答案】（B）

【详解】根据高阶无穷小的定义：

如果limE=0，就说P是比a高阶的无穷小，由题设当

XT0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，所以

122

二lim-X

102

0=lim（1-cosx）ln（1+x2）等价limL_

XTxsinxTXX

从而n应满足n兰2；

又由xsinxn是比（ex-1）高阶的无穷小，所以根据高阶无穷小的定义有:

・n

0=limxsfnx等价lim=limxn」，从而n应满足n>2

Tex_1TX7

综上，故正整数n=2,故选（B）

⑶【答案】（C）

【详解】y=（x—1）2（x—3）2,所以y，=2（x-1）（x-3）2+2（x-1）2（x-3）=4（x-1）（x-2）（x-3）

y”=4[（X-2）（x-3）+（x-1）（x-3）+（X-1）（x-2）]

=4[x2-5x+6+x2-4x+3+x2-3x+2]=4[3x2-12x+11]

yJ4l6x-12]=24（x-2）

222

令y"=0,即3x坨x10=，因为判别式：

A=b-4ac=12-4311=12》0,

所以y”=0有两个不相等的实根，且y”

（2）=3”22-12”2+11=-1HO，所以两个实根不

为2,因此在使y”=o这两点处，三阶导数y'^o,（—般地，若f"（xo）=O，且■r（xo）H0,

则点（xo,f（xo））—定是曲线y=f（X）的拐点），因此曲线有两个拐点，故选（C）

或根据y=4{3x2-12x+11］是一条抛物线，且与X轴有两个不相同的交点，所以在

两个交点的左右y"符号不相同，满足拐点的定义，因此选（C）

⑷【答案】（A）

【详解】方法1：

令F（x）=f（x）-x，贝yF'（x）=f'（x）-1=f'（x）-f'

（1）

由于f'（X严格单调减少，因此当（1-6,1）时，f'（X）》f（1,

F'（x）=f（x）-f

（1）>0;当xp1+61时，f'（X）'（f）1,

F'（x）=f（x+，且在x=1处F'

（1）=厂⑴-f'

（1）=0.

根据判定极值的第一充分条件：

设函数f（X）在x0处连续，且在x0的某去心6

域内可导，若X引xo-6Xo）时，f'（X）>0，而X巳xo,xo+5）时，f'（x）<0,则f（x）

在Xo处取得极大值，知F（x）在x=1处取极大值，即在在（1-61）和（1,1+5）内均有

F（X）£F1=0,也即f（x）ex.故选（A）

方法2:

排除法，取f（X）一笃1）+X，贝Uf'（x）=-2x-）1+1=-x+3

f7x）=—2v0，所以满足题设在区间（1-6,1+6）内具有二阶导数，f'（x）严格单调

f'（X）A0，对应y=f'（X）图形必在x轴的上方，进一步可排除（B），故正确答案为（D）.

三【详解】作积分变量变换，令X=tanu,则dx=sec2udu,

原式=f—■!

（2tan2u+1）Jtan2u+1（2tanu+Jsecu

cos2udu

=J2

（2tanu+1）cosu

'（2sin2u

cosu

中1）cosu

'（2sin2u+cos2u）cosu

cosudu

dsinu

、2sin2u+cos2u

sin2u+1sin2u+1

=arctan（sinu）+C

tanusinu=.

J1+tan2u

tanu=x

xarctanE+C

四【分析】应先求出f（x）的表达式，再讨论它的间断点,

首先明确间断点的类型分为两大

类：

第一类间断点和第二类间断点，第一类间断点又可分为：

相等的间断点）和跳跃间断点（左右极限存在但不相等的间断点）；第二类间断点又可分为：

穷间断点（有一个极限为无穷的间断点）和振荡间断点（极限值在某个区间变动无限多次）.

可去间断点

（左右极限存在且

无

【详解】

”-、,（sitnVitn—

fsirtpdsxinln^j_=hmeI丿

飞inx,/sitn''

=limesint』nx^inx/Mx

limIn

7sint-sinx

〔如|=lim—InIsinX丿tfsint-sinx

sint

+——-1

sinx

所以

=limjsint-sinx

ln〔1+sint—sinxLlim

LsinXJisint-sinx

fsint-sinx

Isinx

所以

..xx

=hm=

Tsinxsinx

ln/sinOlimxln/sint

f（x）=limesint』inx莎丿N—sintdinx莎丿虽

sinx

f（x）=esinx的表达式，可以看出自变量x应满足sinxh0，从

k=0,±1黑2,

当XT0时,

亠lim亠"

四fg"迪eSiJef—e,

x=0为f（x）的第一类间断点（左右极限相等，又进一步可知是可去间断点）；

对于非零整数k，

—lim亠

limf（X）=limesin^ex-^^^inxsinxt0处，

故x=k\k=±1,±2川I为f（x）的第二类间断点（无穷间断点）

-4亏，抛物线在点M（x,y）处的曲率半径

Wx3

P=P（x）=

|y"l

LI2仮丿

2平

（1+y'2f

r4xj

匕（4".

若已知平面曲线

的显式

表示为y=f（x）（a

s=fJ1+f2（xpx，其中f（X）在[a,b]有连续的导数.

又g（f（X））=x，所以

xf（x）=x2eX+2xeX=f'（x）=xeX+2eX，x迂（0,母）

=f（X）=Jxde+2eX=f（x）分部xeX-fexd^2ex

=f（X）=xeX—eX+2eX+C=f（x^xe^ex+C.

由于题设

f（x）在［0,母）上可导，所以在x=0处连续，故

f（0）=limf（X）=lim（xf+£+C）=1+C=0，''—0+jj0+''

f（x）=xeX+eX-1，X迂［0+k）

f"（X）+f（x）=2eX

此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈巳（x）e挞型（其中Pm（x）=2,A=1），

对应的齐次方程为f"（x）+f（x）=0，特征方程为r2+1=0，对应的特征值为r=±i，

于是齐次方程的通解为：

y=Crcosx+C2sinx，

因为几=1Hr，所以设特解为y*=aeX（a为实数），（y*）=aex，

非齐次方程的通解为f（XpGcosx+C2Sinx+eX,

又f（0）=0，所以，f（0）=6cos0+C2sinO+e0=0=Cj+1=0=Cj=—1

又，f'（X）=—Gsinx+C2COSX+eX,f'（0）=g（0）=2，

所以，f'（0）=-GsinOgcosO+e0=C2+1=2=C^1，

所以原方程的解为：

f（x）=sinx-cosx+eX

根据两点（x,y）,（X0,y。

）距离公式d=J（x—X0）2+（y—y0）2，所以原点到点P（x,y）

的距离为Jx2+y2，由题设P（x,y）（x>0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在

（X》0）

上的截距，所以:

（x>0）

y=ux，贝y^uu+xdu，代入，方程变为:

积分得J為一严inu+时）=gu+^=

把u代入上式，得

'=C=y+Jx2+y2=C.X

截距分别为X2+丄和X+丄.

428x

此切线与两坐标轴围成的三角形面积为:

AX）冷卜訂〔宀抄圭以灯*0

求最值点时与&无关，以下按微分学的办法求最值点

2召x（4x2+1）x-（4x2+1）（4x2+1）（12x2—1）

64X2

令S'（x）=0得x=^=—，当o—时，S'（x）aO,

V12666

根据极值存在的第一充分条件：

设函数f（X）在xo处连续，且在Xo的某去心5领域内

可导，若X€（X0-①Xo）时，f'（X）>0,而（Xo,Xo+6）时，f'（X）c0,则f（X）在Xo

处取得极大值，知：

X是S（x）在X>0处的唯一极小值点，即最小值点,

于是所求切线方程为:

2囘。

Q,即Y一逅X十1

2dr2

t=0=ro.

积分得r=-kt+c，把r

即2兀r—=-k2兀r2，从而dr=-kdt，rdt

td代入，得c=r。

，所以r=-kt+「0.

又半径为r0的雪堆在开始融化的小时内，融化了其体积的2，即

=Vo-7Vo=1Vo，其中Vo表示t=0时的V.以V的公式代入上式，为y88

t=0

将r=-kt+ro代入上式，两边约去—兀，得:

（―kt+ro3=8「03，即-kt+r。

=1「0

11ft）

从而求得：

k=一r0，于是r=-kt+r0=-一r0t+r0=r0M-一，当t=6时r=0，雪

66I6丿

方法2:

半球形雪堆在时刻t时设其半径为r，

则半球体积V

=2兀r3，侧面积S=2%r2，

sJl8W2

由题设体积融化的速率与半球面面积

S成正比，知:

理=-kS，从而推知

=-kVl8^V2,V

tT=V0

分离变量

dV=-k茁8^dt，积分:

3V?

=-k即而t+c，把V

tT=Vo代入,

十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：

设f（x）在[a,b]上连续，f（a）Hf（b），

则对f（a）与f（b）之间的任何数n,必存在c（acccb）,使得f（c）=n.

【详解】

（1）麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开

f（x）的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为:

闭区间上的连续函数必有最大值和最小值），即

m=minf'（x）,M=maxf"（x）,

[-a,a][-a,a]

由连续函数介值定理知，存在n亡[-a,a】，使

3aca

f（x）dx，即a3f0）=3［f（x）dx.

aV7

方法2:

观察要证的式子，做变限函数：

F（x）=Jxf（t）dt，易得F（0）=0,

F'（X）=f（x）+f（―x）（变限积分求导）

F”（x）=（f（x）+f（—X）j=「（x）-f「x）

F”（x）=（f'（X）-f'（-X））=f”（x）f（-X）

则有F'（0）=f（0）+f（-0）=0+0=0

F"（0）=f'（0）-f'（-0）=f'（0）-f'（0）=0

将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：

F（X）=F（0）+F（0）X+丄F"（0）X2+-F”徉以323!

由于f"（X）在［-a,a］上连续，则由连续函数介值定理，存在n】，使

F（x）=0+0+訂'"（®x3

于是有，存在n忘（-a,a）,使

111

把X=a代入F（x）有:

F（a）=—fU）a3，即J」f（x）dx=—厂0）n€（_a,a）

即a3fU）=3」f（x）dxn（-a,a）

卜一【详解】题设的关系式

AXA+BXB=AXB+BXA+E=AXA+BXB-AXB-BXA=E

=（AXA—AXB）+（BXB—BXA）=E=AX（A—B）+BX（B—A）=E=AX（A—B）—BX（A—B）=E=（AX—BXXA—B）=E

（A-B）X（A-B）=E.

其中,

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