云南省专升本数学专业考试大纲.docx

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云南省专升本数学专业考试大纲

云南省专升本数学专业考试大纲

云南省专升本数学专业《高等代数》考试大纲

云南省专升本考试数学专业《高等代数》考核目标

考生应该理解和掌握《高等代数》中的映射、数域、一元多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等基本概念、基本知识。

要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。

能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。

考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。

云南省专升本考试数学专业《高等代数》考试内容

一、基本概念

（一）知识范围

1．映射

映射的定义

满射、单射与双射

映射的相等

映射的合成

逆映射

2．数域

数域的定义

最小的数域

（一）考核目标

1.熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。

能根据定义判定所给的法则是否为映射，为何种映射。

理解映射的相等与映射的合成概念。

2．会正确地判定所给的数集是否为数域。

二、一元多项式

（一）知识范围

1．一元多项式的概念、运算及整除性

一元多项式的定义

项、首项、常数项、系数、次数

零多项式

零次多项式

多项式的相等

多项式的加、减、乘的运算法则

多项式整除的定义

整除的基本性质

带余除法定理

2．多项式的最大公因式

因式、公因式、最大公因式的定义

辗转相除法

多项式互素的判别方法

多项式互素的性质

3．多项式的因式分解

不可约多项式的性质

因式分解存在唯一性定理

多项式的典型分解式

熟练掌握行列式的性质，能正确地依行依列展开行列式，并能灵活运用行列式的性质和展开定理计算行列式。

四、线性方程组

（一）知识范围

1．矩阵的初等变换与矩阵的秩

阶梯形矩阵

矩阵的k阶子式

矩阵的秩

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

用初等变换求矩阵的秩

用初等变换化矩阵为阶梯形

线性方程组的系数矩阵与增广矩阵

用初等变换解线性方程组

2．齐次线性方程组

齐次线性方程组的定义

齐次线性方程组的零解与非零解

齐次线性方程组有非零解的条件

齐次线性方程组的基础解系的定义、存在条件及求法

3．一般线性方程组有解的判别方法及解的求法

一般线性方程组可解的判别定理

唯一解的条件

无穷多解的条件

一般线性方程组求解的方法及解的结构

（二）考核目标

1．理解矩阵的k阶子式、矩阵的秩与矩阵初等变换的定义。

熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和解线性方程组。

2．准确判定所给的齐次线性方程组有无非零解。

在有非零解时，能熟练地求出齐次线性方程组的基础解系。

3.牢固掌握一般线性方程组可解的判别定理和线性方程组有唯一解及元穷多解的条件，会用导出齐次线性方程组的基础解系表示一般线性方程组的全部解。

五.矩阵

（一）知识范围

1．矩阵的运算及运算律

矩阵可加的条件与加法法则

矩阵可乘的条件与乘法法则

数与矩阵的乘法法则

方阵的幂

矩阵运算的运算律

2．初等矩阵

初等矩阵的性质

初等矩阵与初等变换的联系

3.矩阵的逆

可逆矩阵与逆矩阵的定义

可逆矩阵的性质

可逆矩阵的判定

逆矩阵的求法

4．矩阵乘积的行列式与矩阵乘积的秩

（二）考核目标

1.熟练掌握矩阵各种运算的法则及运算规律。

2.记住初等矩阵的定义、性质其与初等变换的关系。

3.理解可逆矩阵的定义、性质，掌握矩阵可逆的判定法则，能熟练运用公式法：

，及初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵

六、向量空间

（一）知识范围

1．向量空间及向量的线性相关性

向量空间的定义

向量空间的性质

向量的线性组合

向量的线性表示

向量的线性相关与线性无关

向量组的等价

极大线性无关组

向量组的秩

2．基、维数与坐标

向量空间的基的定义

基的性质

基的求法

向量空间的维数

维数的求法

向量的坐标

坐标的求法

基的过渡矩阵

过渡矩阵的性质

过渡矩阵的求法

基变换公式

坐标变换公式

3．子空间

子空间的定义

子空间的判别定理

子空间的交与和

生成子空间

子空间的基与维数

维数公式

4．欧氏空间

内积与欧氏空间的定义

内积的性质

向量的长度

向量的夹角

柯西不等式

向量的正交

正交向量组

标准正交基

标准正交化方法

（二）考核目标

1．熟记向量空问的定义、性质，深刻理解向量线性相关性的一系列概念，灵活运用上述概念、性质判断或证明有关的问题。

2．掌握常见的向量空间的基、维数、坐标及过渡矩阵的求法。

3．理解子空间、交子空间和子空间、生成子空间的概念，掌握子空间的判别方法及维数公式的应用。

4．熟记内积与欧氏空间的有关概念，会计算内积、向量的长度、夹角和标准正交基。

七、线性变换

（一）知识范围

1．线性变换及其运算

线性变换的定义

线性变换的性质

线性变换的和

数与线性变换的乘积

线性变换的合成（线性变换的乘积）

线性变换的方幂

线性变换运算的运算律

2．线性变换的矩阵

线性变换的矩阵的定义

线性变换下像向量的坐标

矩阵相似的定义

相似矩阵的性质

线性变换关于不同基的矩阵的相似关系

在一个确定基下线性变换与矩阵间的1—1对应关系

线性变换可逆的条件

3．线性变换和矩阵的特征值、特征向量

特征值

特征向量

特征多项式的定义及系数的特征

特征多项式的求法

特征值的求法

特征向量的求法

4，矩阵的对角化

矩阵对角化的定义

矩阵可对角化的条件

矩阵对角化的方法

（二）考核目标

1．掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断所给的变换是否为线性变换。

2．掌握线性变换矩阵的定义、矩阵相似的定义，会运用线性变换的矩阵计算像的坐标。

深刻理解线性变换关于不同基的矩阵--彼此相似。

3．掌握线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念。

注意线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量的联系和区别。

熟练掌握特征值、特征向量的求法。

4．理解线性变换与矩阵可对角化的含义，熟练掌握可对角化的条件和对角化的方法。

对实对称矩阵A会求正交矩阵U，使得u'AU为对角形。

八、二次型

（一）知识范围

1．二次型及其矩阵表示

二次型的矩阵

二次型的秩

变量的线性变换

变量的非退化线性变换

二次型的等价

矩阵合同的定义及性质

等价二次型的矩阵合同

任一对称矩阵必与对角矩阵合同

2．二次型的标准形

化二次型为平方和的方法

二次型的标准型（系数为±l的平方和形式）

化二次型为标准形的方法

实二次型的正惯性指标、负惯性指标、符号差

复二次型、实二次型标准形的唯一性

3．正定二次型

正定二次型的定义

正定矩阵的定义

正定二次型的判定

正定矩阵的判定

（二）考核目标

1．理解二次型及矩阵合同的有关概念，明确施行非退化线性变换前后的两个二次型是等价的，它们的矩阵是合同的。

会利用矩阵的初等变换把对称矩阵化为与之合同的对角矩阵。

2．理解二次型的平方和、标准形及实二次型的惯性指标、符号差的概念，掌握化二次型为平方和及标准形的方法

3．熟记正定二次型、正定矩阵的定义及性质，掌握正定二次型与正定矩阵的判别方法。

云南省专升本数学专业《数学分析》考试大纲

云南省专升本数学专业《数学分析》考试考核目标

考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

云南省专升本数学专业《数学分析》考试内容

一、函数、极限与连续

（一）函数

1．知识范围

函数的概念，函数的表示法与四则运算，复合函数，反函数，五类基本初等函数，初等函数，有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

2．考核目标

（1）正确理解和掌握函数的概念，熟练地求函数的定义域和一些函数的值域。

（2）理解和掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数概念，并会用定义判断函数的类别。

（3）理解函数的四则运算与反函数的概念，掌握函数的复合运算。

（4）掌握五类基本初等函数的定义与主要性质。

（二）极限

1．知识范围

数列极限的定义，数列极限的唯一性、有界性、保号性、保序性，两边夹定理，四则运算定理，单调有界定理。

函数极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，当X→∞（X→+∞，X→-∞）时函数极限的定义，函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性，局部保序性，四则运算定理，两边夹定理，海涅定理。

两个重要极限：

。

A

无穷小量与无穷大量的定义及其他们的关系、性质及无穷小量阶的比较。

2．考核目标

（1）理解和掌握数列极限与函数极限的概念，会用定义证明极限中一些有关问题。

（2）熟练地应用极限的唯一性、有界（局部有界）性、保号（局部）性、保序（局部）性证明有关问题。

（3）应用四则运算定理、两边夹定理、单调有界定理和两个重要极限，熟练地求极限。

（4）理解无穷小与无穷大概念。

（三）连续

1．知识范围

函数在一点左连续、右连续与连续的概念，在区间上连续，函数的间断点及其分类。

函数在一点连续的性质：

局部有界性，局部保号性，四则运算法则，复合函数与反函数的连续性。

初等函数的连续性。

函数在闭区间上连续的性质：

介值定理，零点定理，最值定理，一致连续性定理。

2．考核目标

（1）理解和掌握函数连续的概念，函数一致连续的概念。

（2）理解和掌握函数在一点处的连续性，并能应用它证明有关问题。

知道间断点的分类。

（3）掌握闭区间上连续函数的性质（不包括它们的证法），能用这些性质证明有关问题。

（4）知道初等函数在其定义区间上连续。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

1．知识范围

导数的定义，左、右导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系。

．

求导的运算法则：

包括四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、参数方程求导法，以及分段函数求导法。

微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性。

高阶导数的概念及计算。

导数的几何应用。

2．考核目标

（1）掌握导数、微分的定义及几何意义，了解它们的差异。

（2）牢记导数公式，会用四则运算法则、复合函数求导法、参数方程求导法熟练地求函数的导数。

（3）会求一些函数的高阶导数。

（4）熟练地计算函数的微分。

（二）微分中值定理和泰勒公式

1．知识范围

费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式。

2．考核目标

（1）掌握费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论和证明方法，会用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式。

（2）记住B的马克劳林公式，会用它们求一些简单函数的展开式。

（三）导数的应用

1．知识范围

罗必达法则，函数的单调性及其判定，应用函数的单调性证明不等式，函数的极值及其判定，最值的求法，函数的凹凸性及其判定，拐点，渐近线，函数作图。

2．考核目标

（1）熟练地应用罗必达法求待定型的极限，特别是C型。

（2）掌握用导数判定函数的方法。

（3）掌握用函数的单调性证明不等式的方法。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

1．知识范围

原函数与不定积分的概念，不定积分的运算法则，基本积分公式表。

不定积分的第一换元法、第二换元法、分部积分法。

一些简单有理函数的积分。

简单元理函数和三角函数有理式的积分。

2．考核目标

（1）掌握原函数与不定积分的概念。

（2）牢记不定积分公式表，熟练地用换元法和分部积分法求不定积分。

（3）会求简单有理函数，简单无理函数和三角函数有理式的积分。

（二）定积分

1．知识范围

定积分的概念，可积的必要条件，三类可积函数。

定积分的性质：

包括线性线，有限可加性，单调性和积分第一中值定理。

定积分的计算，可变上限积分，牛顿一莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法。

2．考核目标

（1）理解定积分概念，记住三类可积函数。

（2）掌握定积分的性质和微积分基本定理，熟练地应用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。

（3）熟练地用定积分换元积分法和分部积分法求定积分。

（三）定积分在几何上的应用

1．知识范围

平面区域的面积，平面曲线的弧长，利用截面面积计算立体的体积，旋转体的侧面积和体积。

2．考核目标

会用定积分求平面区域的面积，平面曲线的弧长，旋转体的侧面积和体积。

（四）广义积分

1．知识范围

无穷区间上广义积分收敛、发散的概念、绝对收敛与条件收敛的概念，收敛性判别法。

2．考核目标

（1）掌握无穷积分收敛与发散的概念，掌握无穷积分绝对敛与条件收敛的概念。

（2）会用收敛的定义和收敛性判别法判别一些无穷积分的散性。

四、级数

（一）数值级数

1．知识范围

数值级数的部分和，收敛与发散，和与余和的概念，收敛级的性质，收敛的必要条件，柯西准则。

正项级数的比较判别法，达朗贝尔判别法，柯西判别法。

任意项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其敛散的莱布尼兹判别法。

2．考核目标

（1）掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。

（2）牢记级数D的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。

（3）熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。

（二）幂级数

1．知识范围

幂级数的收敛半径、收敛域。

幂级数和函数的连续性，可微性与可积性。

函数的泰勒展开，函数E的马克劳林展开式。

2．考核目标

（1）会求幂级数的收敛半径、收敛域和函数。

（2）记住五个函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数。

五、多元函数微分学

（一）多元函数微分学

1．知识范围

多元函数的概念，二元函数的定义域，二元函数的重极限与累次极限，二元函数连续的概念，有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。

多元函数的偏导数、二阶偏导数、全微分，复合函数的偏导数与二阶偏导数。

2．考核目标

（1）理解二元函数重极限和累次极限的定义，会求二元函数的重极限与累次极限。

（2）理解二元函数连续的定义与有界闭区域上连续函数的性质。

（3）熟练地求偏导数、全微分和高阶偏导数，包括复合函数的二阶偏导数。

（二）二重积分

1．知识范围

二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算，包括化重积分为累次积分，用极坐标变换计算二重积分。

应用二重积分计算空间形体的体积、平面图形的面积。

2．考核目标

（1）理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。

（2）熟练地计算二重积分，包括用极坐标变换计算二重积分。

（3）会用二重积分计算一些简单空间形体的体积和平面图形的面积。

（三）曲线积分

1知识范围

第一、二型曲线积分的定义、性质和计算方法，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

2．考核目标

（1）熟练地计算第一、二型曲线积分。

（2）会用格林公式计算第二型曲线积分。

知道曲线积分与路径无关的条件。

会求P（x，y）dx+Q（x，y）dy的原函数。