2三角形辅助线总结及口诀.docx

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2三角形辅助线总结及口诀

三角形作辅助性方法大全

口诀：

总则：

{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。

{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。

等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边。

{4}2、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三角，大外小内找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。

{3}3、两线做比较，截长补短可求证。

特殊角求三边，带平方都要用直角三角形。

三角形内构四边，四边周长小于三角形周长；。

{3}4、角分线，到边距离相等经常用，也可两边截等段；三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等，三角形内角平分线交予一点，且到三边距离相等。

平行线间角分线的交点一定是中点（见后）

{2}5、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段；

{1}6垂分线上点连线段端点有帮助；

{3}7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点；

如图，AE\AD是角分线，AB//DC.E一定是bc中点

Bc为任意线段

一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

1、三线合一

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：

DE=DF

证明：

连结AD.

∵D为BC中点，

∴BD=CD

又∵AB=AC

∴AD平分∠BAC

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE=AF，求证：

EF⊥BC

2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线

例：

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F

求证：

DF=EF

证明：

（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB=∠ACB，∠NDE=∠E，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DNB

∴BD=DN

又∵BD=CE

∴DN=EC

在△DNF和△ECF中

∠1=∠2

∠NDF=∠E

DN=EC

∴△DNF≌△ECF

∴DF=EF

（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B（过程略）

引入：

如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行（,端点除外）,设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是（）

A、d＞h

B、d＜h

C、d＝h

D、无法确定

三种方法

1.过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等

2.连接B、P，将大三角形转换为两个小三角形，并利用三角形面积公式。

3.考试中规范画图量出答案注意取整值

3、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80o,P为形内一点，若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度数.

解法一：

以AB为一边作等边三角形，连结CE

则∠BAE=∠ABE=60o

AE=AB=BE

∵AB=AC

∴AE=AC∠ABC=∠ACB

∴∠AEC=∠ACE

∵∠EAC=∠BAC－∠BAE

=80o－60o=20o

∴∠ACE=

（180o－∠EAC）=80o

∵∠ACB=

（180o－∠BAC）=50o

∴∠BCE=∠ACE－∠ACB

=80o－50o=30o

∵∠PCB=30o

∴∠PCB=∠BCE

∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o

∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o=10o

∵∠PBC=10o

∴∠PBC=∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC=∠EBC

BC=BC

∠PCB=∠BCE

∴△PBC≌△EBC

∴BP=BE

∵AB=BE

∴AB=BP

∴∠BAP=∠BPA

∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o

∴∠PAB=

（180o－∠ABP）=70o

解法二：

以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：

以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则

EB=EC=BC，∠BEC=∠EBC=60o

∵EB=EC

∴E在BC的中垂线上

同理A在BC的中垂线上

∴EA所在的直线是BC的中垂线

∴EA⊥BC

∠AEB=

∠BEC=30o=∠PCB

由解法一知：

∠ABC=50o

∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10o=∠PBC

∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB

∴△ABE≌△PBC

∴AB=BP

∴∠BAP=∠BPA

∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o

∴∠PAB=

（180o－∠ABP）=

（180o－40o）=70o

二、角比较

1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例：

已知D为△ABC内任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC

证法

（一）：

延长BD交AC于E，

∵∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC

同理：

∠DEC＞∠BAC

∴∠BDC＞∠BAC

证法

（二）：

连结AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角，

∴∠BDF＞∠BAD

同理∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：

∠BDC＞∠BAC

1.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：

已知，如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，

求证：

AB＋BD=AC

证明：

延长AB到E，使BE=BD，连结DE

则∠BED=∠BDE

∵∠ABD=∠E＋∠BDE

∴∠ABC=2∠E

∵∠ABC=2∠C

∴∠E=∠C

在△AED和△ACD中

∠E=∠C

∠1=∠2

AD=AD

∴△AED≌△ACD

∴AC=AE

∵AE=AB＋BE

∴AC=AB＋BE

即AB＋BD=AC

⑵平分二倍角

例：

已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC

求证：

∠ABC=∠ACB

证明：

作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE=∠CAE=∠DBC

∵BD⊥AC

∴∠CBD＋∠C=90o

∴∠CAE＋∠C=90o

∵∠AEC=180o－∠CAE－∠C=90o

∴AE⊥BC

∴∠ABC＋∠BAE=90o

∵∠CAE＋∠C=90o

∠BAE=∠CAE

∴∠ABC=∠ACB

例：

已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，

求证：

∠BAC=2∠DBC

证明：

（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1=∠2=

∠BAC

又∵AB=AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB=90o

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB=90o

∴∠2=∠DBC

∴∠BAC=2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

⑶加倍小角

例：

已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC

求证：

∠ABC=∠ACB

证明：

作∠FBD=∠DBC,BF交AC于F（过程略）

三、两线做比较

1、截长补短作辅助线的方法

截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：

延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：

①a＞b

②a±b=c

③a±b=c±d

例：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，

求证：

AB－AC＞PB－PC

证明：

⑴截长法：

在AB上截取AN=AC，连结PN

在△APN和△APC中，

AN=AC

∠1=∠2

AP=AP

∴△APN≌△APC

∴PC=PN

∵△BPN中有PB－PC＜BN

∴PB－PC＜AB－AC

⑵补短法：

延长AC至M，使AM=AB，连结PM

在△ABP和△AMP中

AB=AM

∠1=∠2

AP=AP

∴△ABP≌△AMP

∴PB=PM

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC

∴AB－AC＞PB－PC

2、利用三角形三边关系。

n

3、当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.

例：

已知，如图，在△ABC中，∠A=90o，DE为BC的垂直平分线

求证：

BE2－AE2=AC2

证明：

连结CE，则BE=CE

∵∠A=90o

∴AE2＋AC2=EC2

∴AE2＋AC2=BE2

∴BE2－AE2=AC2

练习：

已知，如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，P为BC上一点

求证：

PB2＋PC2=2PA2

4条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：

已知，如图，在△ABC中，∠B=45o，∠C=30o，AB=

，求AC的长.

解：

过A作AD⊥BC于D

∴∠B＋∠BAD=90o，

∵∠B=45o，∠B=∠BAD=45o，

∴AD=BD

∵AB2=AD2＋BD2，AB=

∴AD=1

∵∠C=30o，AD⊥BC

∴AC=2AD=2

四、角平分线

1、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，

求证：

BE＋CF＞EF

证明：

在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，则DN=DC

在△BDE和△NDE中，

DN=DB

∠1=∠2

ED=ED

∴△BDE≌△NDE

∴BE=NE

同理可证：

CF=NF

在△EFN中，EN＋FN＞EF

∴BE＋CF＞EF

2、可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：

∠B+∠ADC=180°。

有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.

例：

已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，

求证：

∠BAP＋∠BCP=180o

证明：

过P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1=∠2

∴PE=PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中

BP=BP

PE=PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD

∴BE=BD

∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE

∴AE=CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

∠PEB=∠PDC=90o

在△PEA和△PDC中

PE=PD

∠PEB=∠PDC

AE=CD

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB=∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP=180o

∴∠BAP＋∠BCP=180o

练习：

1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，

PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：

BP为∠MBN的平分线

2.已知，如图，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=20o，求∠CED的度数。

解：

∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，

∴BD=CD，

又BD=ED，

∴ED=CD，

∴∠CED=∠DCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠CED=∠DCE=10°．

五、中线

1、有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证明：

延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM

△BDE和△CDM中，

BD=CD

∠1=∠5

ED=MD

∴△BDE≌△CDM

∴CM=BE

又∵∠1=∠2，∠3=∠4

∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o

∴∠3＋∠2=90o

即∠EDF=90o

∴∠FDM=∠EDF=90o

△EDF和△MDF中

ED=MD

∠FDM=∠EDF

DF=DF

∴△EDF≌△MDF

∴EF=MF

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF

BE＋CF＞EF

（此题也可加倍FD，证法同上）

2、在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连结BE

∵AD为△ABC的中线

∴BD=CD

在△ACD和△EBD中

BD=CD

∠1=∠2

AD=ED

∴△ACD≌△EBD

∵△ABE中有AB＋BE＞AE

∴AB＋AC＞2AD

3、.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.

例：

AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E

求证：

BE=CF

证明：

（略）

4.有中点时常构造垂直平分线.

例：

已知，如图，在△ABC中，BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD

求证：

△ABC为直角三角形

证明：

过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE=CE，

∴∠C=∠EBC

∵∠ABC=2∠C

∴∠ABE=∠EBC

∵BC=2AB，BD=CD

∴BD=AB

在△ABE和△DBE中

AB=BD

∠ABE=∠EBC

BE=BE

∴△ABE≌△DBE

∴∠BAE=∠BDE

∵∠BDE=90o

∴∠BAE=90o

即△ABC为直角三角形

六、高

1、有垂直时常构造垂直平分线.

例：

已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D

求证：

CD=AB＋BD

证明：

（一）在CD上截取DE=DB，连结AE，则AB=AE

∴∠B=∠AEB

∵∠B=2∠C

∴∠AEB=2∠C

又∵∠AEB=∠C＋∠EAC

∴∠C=∠EAC

∴AE=CE

又∵CD=DE＋CE

∴CD=BD＋AB

（2）延长CB到F，使DF=DC，连结AF则AF=AC（过程略）

2有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E

求证：

BF=

FC

证明：

连结AF，则AF=BF

∴∠B=∠FAB

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵∠BAC=120o

∴∠B=∠C∠BAC=

（180o－∠BAC）=30o

∴∠FAB=30o

∴∠FAC=∠BAC－∠FAB=120o－30o=90o

又∵∠C=30o

∴AF=

FC

∴BF=

FC

练习：

已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N

求证：

BM=CN

七、四边形构三角形

1、条件不足时延长已知边构造三角形.

例：

已知AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B

求证：

AD=BC

证明：

分别延长DA、CB交于点E

∵AD⊥ACBC⊥BD

∴∠CAE=∠DBE=90o

在△DBE和△CAE中

∠DBE=∠CAE

BD=AC

∠E=∠E

∴△DBE≌△CAE

∴ED=EC，EB=EA

∴ED－EA=EC－EB

∴AD=BC

2、连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.

例：

已知，如图，AB∥CD，AD∥BC

求证：

AB=CD

证明：

连结AC（或BD）

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠1=∠2

在△ABC和△CDA中，

∠1=∠2

AC=CA

∠3=∠4

∴△ABC≌△CDA

∴AB=CD

练习：

已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，

求证：

BE=DF

例：

已知，如图，AB=DC，∠A=∠D

求证：

∠ABC=∠DCB

3、当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

例：

已知，如图，AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，

求证：

∠A=∠D

证明：

（连结BC，过程略）

.

证明：

分别取AD、BC中点N、M，

连结NB、NM、NC（过程略）

如果一个三角形三条边的比543这个三角形是直角三角形