追及与相遇问题知识详解及典型例题Word下载.docx

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解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。

解题的基本思路是：

①根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图；

②根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程。

注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。

③由运动示意图找出两物体位移间关联方程。

④联立方程求解。

运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：

解析法、图象法、极值法等。

应适当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。

但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主。

通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件。

2.分析“追及”“相遇”问题应注意：

①分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：

一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。

两个关系是时间关系和位移关系。

其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。

因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。

养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。

特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。

②分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。

特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。

③仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。

往往对应一个临界状态，由此找出满足相应的临界条件。

还要注意：

由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。

解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。

解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。

【典型例题】

[例1]火车以速度v1向前行驶。

司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。

分析：

司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。

解法一：

当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t，则

解法二：

以前车为参照系，后车的速度为

，当后车的速度减为零时，其位移小于s，两车不会相撞，即

解法三：

作出两车运动的速度—时间图像如图所示，由图像可知：

在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于s时，两车不会相撞。

即

解法四：

后车的位移为

，前车的位移为

，要使两车不相撞，即

说明此二次函数无解，即

以上四种解法中，以第二种解法最简捷。

[例2]甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

解析：

由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t 

①当a1<

a2时，a1t<

a2t，可得两车在运动过程中始终有v甲>

v乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；

②当a1=a2时，alt=a2t，可得v甲>

v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次：

③当a1>

a2时，a1t>

a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>

v乙，随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；

当alt—a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t—a2t>

v0，则有v甲<

v乙，若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲<

v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；

若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲=v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；

若在v甲=v乙前甲车己超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲<

v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，别两车能相遇两次。

由于x甲=v0t+

a2t2，x乙=

a1t2，

相遇时有x甲—x乙=x，

则：

v0t+

a2t2－

a1t2=x，

（a1—a2）t2—v0t+x=0

所以t=

①

a2时，①式t只有一个正解，别相遇一次。

②当a1=a2时，x甲—x乙=v0t十

a2t2—

a1t2=v0t=x，

，t只有一个解，则相遇一次。

③当a1＞a2时，若

<

2（a1—a2）x，①式无解，即不相遇，

若

=2（a1—a2）x，①式t只有一个解，即相遇一次。

＞2（a1—a2）x，①式t有两个正解，即相遇两次。

利用v—t图象求解，

a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：

的I和Ⅱ，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。

②当a1<

a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和Ⅱ，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次。

③当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移。

若划实斜线部分面积小于S，则不能相遇；

若划实斜线部分面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；

若划实斜线部分的面积大于s，如图中0─t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1—t时间内，甲车超前乙车的位移为t1─t时间内划实斜线部分的面积，随后在t─t2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。

【模拟试题】

1.甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（ 

B 

）

A.甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动

B.两物体两次相遇的时刻分别为2s末和6s末

C.乙在前4s内的平均速度等于甲的速度

D.2s后甲、乙两物体的速度方向相反

2.甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（ 

　　A.甲车先通过下一个路标 

B.乙车先通过下一个路标

　　C.丙车先通过下一个路标 

D.条件不足，无法判断

3.摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方s处，有一辆汽车正以v2<

v1的速度开始减速，加速度大小为α2。

为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速。

求其加速度至少需要多少？

13.解：

（1）如图（甲）所示，其相对位移为

即

（甲）

（2）如图（乙）所示，当两车间距较小，即

时，两车不发生碰撞的条件是，其相对速度为0，即二者有共同速度

。

因为

，所以

，

由此可得摩托车的加速度为

（3）如图（丙）所示，两车间距较大，即

，汽车经过时间

先停下，摩托车经时间

后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为

有

这时摩托车的加速度为

4.甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为6m/s、8m/s、9m/s。

当甲、乙、丙三车依次相距5m时，乙驾驶员发现甲车开始以1m/s2的加速度做减速运动，于是乙也立即做减速运动，丙车亦同样处理。

如图所示。

直到三车都停下来时均未发生撞车事故。

求丙车减速运动的加速度至少应为多大？

解：

先研究两车行驶中的一种特殊临界状态，两车同时停下且刚好接触在一起。

则

（1）若

，要使其同时停下则必然相碰。

即是说

仍要增大，

按DC线所示规律变化，在D处时二者相距最近，如图所示。

由题意知，

（1）

（2）如果

，则

还可再小些，二者不同时停下，停止时相对位移为

，如图中

线那样变化。

三式联立得

（2）

将题中数据代入可得

由

（1）式得

乙、丙两车间距

由

（2）式得

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申

A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A在前，速度为vA＝10m/s，B在后，速度为vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：

（1）车若要仍按原速前进，两车是否相撞？

试说明理由。

（2）B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？

（不计信号从A传到B的时间）

第一问的解法如下：

解：

先求B车从刹车到停下来所需时间tB

　　由sB=

vB·

tB得BAA’B’

　tB=

=2×

s=120s

再求在相同的时间内A车通过的位移sA

sA=vA·

tB=10×

120m=1200m

最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断结果

由于sA+s0=（1200+500）m=1700m故sA+s0＜sB由位置关系图可知两车会相撞。

提问1：

通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？

设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有sA+s0=sB

而sA=vA·

t，sB=vB·

t+

at2（其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a＝-0.25m/s2），

将sA、sB的表达式代入上式解得

t1=31s，　　　t2=129s

提问2：

为什么有两个解？

t2是否有意义？

　　答：

A、B两车相撞两次，第一次是B车追上A车，第二次是A车追上B车。

两车只能相撞一次，故t2没有意义。

提问3：

B车追上A车时，哪车的速度大？

答：

B车的速度大，因为B车从减速到和A车的速度相等所需的时间为：

t’=

=

s=80s，因为t’＞t1，故B车的速度大。

提问4：

若A、B两车相遇但不会相撞，A车又追上B车时，B车的速度是多大？

从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？

由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍为零。

由于B车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：

t2’=

s=130s。

这是一个实际问题，要注意解的合理性。

提问5：

若开始两车相距700m，试问两车是否会相撞？

由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0＞sB，故两车不会相撞。

提问6：

若用第二种方法，即设B刹车后经过时间t两车相撞，方程是否有解呢？

由sA+s0=sB得

vA·

t+s0=vB·

at2

即10t+700=30t-0.125t2

移项并整理得

t2-160t+5600=0

该方程的判别式为

△=1602-4×

5600=3200＞0，

故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。

原来先是B超过A，后来A又超过B，我们不能认为开始时A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。

由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。

提问7：

试问：

若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s0至少为多少？

　　　解：

设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出：

　　　　　vA·

t+

　　　　　即10t+s0=30t-0.125t2

　　　　　t2-160t+8s0=0

要使两车不相撞，即要使该方程无解，即△＜０

　　　　　即　1602-4×

8s0＜0

故s0＞800m，即开始时两车间的距离至少为800m。

提问8：

若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？

应该刚好相等，刚开始时B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。

若s0=800m时，解得t=80s，此时B车的速度为

vB’=vB+at=30+（-025）×

80m/s=10m/s=vA。

规律总结：

求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于t的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若△≥０，则二者能相撞，若△＜０，则不能相撞；

若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；

若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；

若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；

也可设经过时间t后两者相距△S，根据位置关系写出△S的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。

这样，该题第二问的解法很易得出：

设B车刹车后经过ts两车刚好相撞，则应有：

sB=sA+s0

即vB·

aBt2=vA·

t0+vA（t-t0）+

aA（t-t0）2+s0

30t-

t2=15+10（t-1.5）+

aA（t-1.5）2+500

刚好相撞，则△=0，解得aA=0.16m/s2