高中教育最新高考数学专题十六利用空间向量求夹角精准培优专练理Word下载.docx

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如图所示，

又，∴为等边三角形，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

故平面．

∵为平行四边形，∴，∴平面．

又∵，∴平面．

∵，∴平面平面．

由

（1），得平面，∴平面，∴．

∵，∴平面，∴是与平面所成角．

∵，，∴平面，平面，∵，

∴平面平面．

∴，，解得．

在梯形中，易证，

分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，，，，，

由，及，得，

∴，，．

设平面的一个法向量为，由得，

令，得

令，得．∴，

又∵二面角是钝角，∴二面角的余弦值是．

2．线段上的动点问题

例2：

如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，

使平面平面．

（1）求证：

（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，

求的值．

（1）中，由余弦定理，可得．∴，

∴，∴．作于点，

∵平面平面，平面平面，∴平面．

∵平面，∴．

又∵，，∴平面．

又∵平面，∴．

又，，∴平面．

（2）由

（1）知，，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则，，．设，

则由，

设平面的一个法向量为，

取．平面的一个法向量可取，

∴．

∵，∴．

3．翻折类问题

例3：

如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．

；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小．

（2）；

（3）．

（1）在正方形中，为中点，，，

∴在三棱锥中，，．

∵，∴平面．

（2）取中点，连接，取中点，连接．

过点作的平行线．

∵平面，∴，．

∵，为的中点，∴．∴．

如图所示，建立空间直角坐标系．

，，，．

∵，为的中点，∴．

∵平面，平面，∴平面平面．

∵平面平面，平面，

∴平面．∵．

∴平面的法向量．．

设直线与平面所成角为，则．

∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3）由

（2）知，，．

设平面的法向量为，则有即，

令，则，．即．∴．

由题知二面角为锐角，∴它的大小为．

一、单选题

1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设的中点，以，，为，，轴建立坐标系，

则，，，，

则，，

设与成的角为，则，故选C．

2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，

且，若与平面所成的角为，则的值是（）

【答案】D

【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点．

平面的一个法向量是，∴，则．故选D．

3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（）

【答案】B

【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

∵圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，

∴可得，，，，

设空间两条直线与所成的角为，∴，

∴，即直线与所成的角为，故选B．

4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）

【解析】由题可知，，，，

∵是的中点，∴，

设平面的法向量，直线与平面所成角为，

则可取，，故选D．

5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（）

【答案】A

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

由于，∴，∴，

故，

∴当时，线段长度取得最小值，且最小值为．故选A．

6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（）

【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：

，

由空间向量的结论可得：

．故选C．

7．如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，，且．

设与平面所成的角为，，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（）

A．B．1C．D．

【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，

取的中点，则，则平面的一个法向量为，

由题意，

又由，∴，解得，∴的最大值为，

当时，设平面的法向量为，

则，

取，由平面的法向量为，

设平面和平面所成的角为，

则，∴，∴，故选C．

8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，

则与底面所成角的正弦值等于（）

【解析】如图，设在平面内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图．

设边长为1，则，，

∴．又平面的法向量为．

设与底面所成角为，则．

故直线与底面所成角的正弦值为．故选B．

9．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（）

【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，∴，

设平面的一个法向量为，则，

取，得，平面的法向量为，

∴．∴平面与平面的夹角的余弦值为．故选B．

10．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）

【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：

设正方体的棱长为1，可得，，，，

∴，，，

设是平面的一个法向量，∴，即，

取，得，∴平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，∴；

∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．

11．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角

的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（）

【解析】取中点，连结，，

∵．，∴，，且，，

∴是二面角的平面角，

以为原点，为轴，为轴，

过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

，，，

设二面角的平面角为，则，

连、，则，，

∴，，

设、的夹角为，则，

∵，∴，

故，∴．故选A．

12．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）

【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点坐标为，

设、的夹角为，

∴当时，取最大值，．

当时，取最小值，．

∵，∴与所成角的取值范围是．故选D．

二、填空题

13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．

【解析】在直三棱柱中，，，是的中点，∴，．

以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，

设异面直线与所成角为，则．

∴异面直线与所成角的余弦值为．

14．已知四棱锥的底面是菱形，，平面，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平面所成角的正弦值为__________．

【解析】以点建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形的边长为2，

则，，，∴，

平面的一个法向量为，

即直线与平面所成角的正弦值为．

15．设，是直线，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为________．

【解析】由题意，∵，，

∴，

∵，，向量在上，向量在上，

∴，所成二面角中较小的一个余弦值为，故答案为．

16．在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是__________．

【解析】如图建立空间直角坐标系，得，，，，

设平面的法向量，，，

∴，得，

又，∴，

∴，则

三、解答题

17．如图所示：

四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，，

（2）若四边形中，，是否在上存在一点，使得直线与平面

所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

（2）存在，．

（1）设，连接

，为中点

又，

平面平面，平面平面

平面，而平面

在中，由余弦定理得，

，而

平面．

（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：

，，，，

，，设

设平面法向量为，

∴，取，

设与平面所成角为，

解，．

18．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，．

平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

（1）取的中点，连接，，

∵底面是边长为2的正三角形，∴，且，

∵，，，∴，

∴，又∵，∴，

∴，又∵，∴平面，又∵平面，

（2）如图所示，

以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，其中，

设为平面的法向量，

则，即，令，得；

设为平面的法向量，则，即，

令，得；

∴二面角的正弦值为．