利用空间向量解立体几何(完整版).doc

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向量法解立体几何

基本思路与方法

一、基本工具

1.数量积：

2.射影公式：

向量在上的射影为

3.直线的法向量为，方向向量为

4.平面的法向量（略）

二、用向量法解空间位置关系

1.平行关系

线线平行两线的方向向量平行

线面平行线的方向向量与面的法向量垂直

面面平行两面的法向量平行

2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直

线面垂直线与面的法向量平行

面面垂直两面的法向量垂直

三、用向量法解空间距离

1.点点距离

点与的

距离为

2.点线距离

求点到直线的距离：

方法：

在直线上取一点，

则向量在法向量上的射影=即为点到的距离.

3.点面距离

求点到平面的距离：

方法：

在平面上去一点，得向量，

计算平面的法向量，

计算在上的射影，即为点到面的距离.

四、用向量法解空间角

1.线线夹角（共面与异面）

线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角

2.线面夹角

求线面夹角的步骤：

①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；

②再求其余角，即是线面的夹角.

3.面面夹角（二面角）

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析

一、运用法向量求空间角

α

n

A

向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量，则角<>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=,不需要用法向量。

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为=（x,y,1），则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为

sinθ=cos（-θ）=|cos<,>|=

2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。

这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。

二、运用法向量求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离

d=AB·cos∠BAA＇=

略证：

如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，

在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇EF，交a＇于A＇，

则，所以∠BAA＇=<>（或其补角）

∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=*

其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得

①解方程组可得。

2、求点到面的距离

求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=

4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则

四、应用举例：

例1：

如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.

（1）求二面角C—DE—C1的正切值;

（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值.

解：

（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，

则D（0,3,0）、D1（0,3,2）、E（3,0,0）、F（4,1,0）、C1（4,3,2）

于是，

设法向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

例2：

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值

证明：

（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD

∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，

∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）

∴=（，，-1），=（，0，-1），

平面PED的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为=（x,y,1）

由∴=（,0,1）

∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB

（2）解：

由

（1）知：

平面PAB的法向量为=（,0,1）,设平面FAB的法向量为1=（x,y,-1），

由

（1）知：

F（0，0，），=（，，-），=（，0，-），

由

∴1=（-,0,-1）

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=|cos<,1>|=

例3：

在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.

（Ⅰ）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：

D1H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离.

解:

（Ⅰ）如图建立坐标系D-ACD1,

∵棱长为4

∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）

∴=（-4,4,1）,显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量

∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=|cos<,>|=

∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin

（Ⅲ）设平面ABD1的法向量为=（x,y,1），

∵=（0，4，0），=（-4，0，4）

由⊥，⊥得∴=（1,0,1），

∴点P到平面ABD1的距离d=

例4：

在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。

解：

如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）

∴

设A1O与B1C的公共法向量为，则

∴

∴A1O与B1C的距离为

d=

例5：

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。

解：

如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1）

∴

设面BDFE的法向量为，则

∴

∴A1到面BDFE的距离为d=

五、课后练习:

1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线;

（2）求点D1到面BDE的距离.

2、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点，

（1）求D到平面PEF的距离；

（2）求直线AC到平面PEF的距离

3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）

（1）求证：

平面A1BC1//平面ACD1；

（2）求

（1）中两个平行平面间的距离；

（3）求点B1到平面A1BC1的距离。

4、如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

（Ⅰ）证明：

SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

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