微分方程试题及部分应用题答案整理版Word文档格式.docx

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kt0.03Q

1-23-63、若Q=Ce满足dt，则k=.

1-24-64、y^2y的解是

1-25-65、某城市现有人口50（万）,设人口的增长率与当时的人口数x（万）和

1000-X的积成正比，则该城市人口x（t）所满足的微分方程为

222

1-26-66、圆xy=r满足的微分方程是

1-27-67、y二aea满足的微分方程是

乎+P（x）y=Q（x）

1-28-68、一阶线性微分方程dx的通解是

1-29-69、已知特征方程的两个根r1=2，「2二-3,则二阶常系数线性齐次微分方

程为.

1-30-70、方程y二5x2是微分方程xy'

=2y的解.

1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.

1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程y'

^py'

q^0对应的特征方程有两个不

等实根，则其通解为•

1-33-73、将微分方程（xy-y）dx-（x-2xy）dy二0写成齐次微分方程的标准形式

.选择题：

（29）

dy-

x——=2y

2-1-56、微分方程dx的通解是（）

Ay=x2by=5x2cy=Cx2dy=Cx

□2

2-2-57、微分方程xydx：

-xdy=0的通解是（）

1_x21_x2

y=e“1」b.y=Ce2

y=Carcsinxd

y=C、1_x2

2-3-58

、下列方程中是全微分方程的是

（）

（x_y）dx—xdy=0b

ydx-xdy=0

（1xy）ydx（1-xy）dy=0

（xy）dxxydy=0

2-4-59

、下列函数组中，线性无关的是

2x3x

e,ebcos2x,sin2x

sin2x,cosxsinxd

lnx,lnx2

2-5-60

、方程y"

-2y^3y的通解是

y=Ge」+C2eSB.

y二GexC2e3x

^C1e^HC2e^xd

y二Ge^C2e3x

2-6-61

、方程y'

y=°

的通解是（）

y=Csinxby=Ccosxc

y=sinx+Ccosxdy=Gsinx+C2cosx

2-7-62

、下列方程中是可分离变量的方程是

dy33

xy-xy

dxB.

（ex3y2）dx2xydy

dyx4y3

dy1y2

dxxy2d

dxxyx3y

2-8-63

、微分方程y'

—ycotx=0的通解是（

）

y=Ccosxby=Csinxc

y=Ctanxd

y=Ccscx

2-9-64、已知微分方程厂一厂P=°

的通解为y二e"

iC2x）,则p的值是（）

10-65、微分方程y'

-2y=0的通解是（）

2-16-71、过点（°

一2）的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的

曲线方程是（）

Ay=x2-3by=x2+5cy=3ex_5dy=Cex_5

虫='

tan'

17-72、齐次方程dxxx化为可分离变量的方程,应作变换（）

2-18-73、设方程y'

P（x）y=Q（x）有两个不同的解yi,y2,若:

yiy2也是方程

的解，则（）

A.i二-B.「一0C.「一1D.为任意常数

2-19-74、方程xdyxdx=2ydx的通解是（）

2222

Ay=Cx+xby=Csinx+xcy=cosx+Cdy=x+C

2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是（）

Axy'

+y=xby'

+xy=sinxcyy'

=xdy'

=_xy

2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OF垂直的曲线方程是（）

xy'

二

D.x

2-22-77

、方程

y：

=0,y（3）=2的解是

a.y

=2尹

y=-2e3」

x-3

y=2e

x-3

d.y—2e

2-23-78

、微分方程

=ylnx的通解是

xlnx

y=Ce

xIn

y=e

x_x

xlnx_x

D.y=Ce

2-24-79、下列哪个不是方程W'

f的解（）

2x2x-2xx

a.y=2eb.y=ec.y=ed.y=2e

2-25-80、方程yxyxyyy-siny=°

的阶是（）

A.6B.5C.4D.3

空

2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y，则这条曲线是（）

A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆

2-27-82、下列可分离变量的方程是（）

dy_

xy-xy

B（e+3y）dx+2xydy=0

1y2

C.dx-

D.dx-

_丄3

xyxy

2-28-83、

微分方程

-ycotx二

0的通解是（）

二Ccosx

B.y

=Csinxc

y=Ctanxd

2-29-84、

已知微分方程y'

-y

•P=0的通解为

y=e2（G+C2X）,则

P的值（）

A.1

B.0

D.4

3.计算题：

（59）

3-1-52、

secxtanydxsecytanxdy=0

3-2-53、

xy'

_y1ny=0

3-3-54、

3extanydx（^ex）secydy-0

3-4-55、

22222

（1「yx「xy）y'

二xy

dyx_e亠

3-5-56、

dxyey

3-6-57、

（1x）ydx（1-y）xdy二0

3-7-58、

cosxsinydy=cosysinxdx

y|x』=

-4

3-8-59、

（x-1）y'

2xy=0,y（0）=0

3-9-60、

=2ylnx,y（e）=1

3-10-61、

cosxsinydy二cosysinxdx

31y|xz0=—

3-11-62、

（xy）dy（x-y）dx二0

3-12-63、

xy（lny-1nx）

3-13-64、

（y-2xy）dxxdy=0

3-14-65、

_y=xtan—

3-15-66、

x十yxy'

_y=（xy）ln

3-16-67、

22dydy

yxxy一

dxdx

3-17-68、

yxy|x^=2

3-18-69、

y=y》

\xxy|x=e=e

3-19-70、

-y「x2-y2,yL厂2

3-20-71、

3-21-72、

3-22-73、

3-23-74、

3-24-75、

3-25-76、

3-26-77、

3-27-78、

3-28-79、

3-29-80、

3-30-81、

3-31-82、

3-32-83、

1sinx

_2xy=4x3

.11yy=xInx

1-xe2x

y二

-ytanx=secxy1x^=0

y|^r1

1x2

ylx£

-y二汁

lnx

=2xyxe'

变y=y2（cosx-sinx）dx

_y二xy

变2xyxy4=0

3-33-84、

3八3（「2x）y4

dyy2-x

3-34-85、

dx2xy

3-35-86、

二y'

3-36-87、

（y'

）23=0

3-37-88、

y3y'

3=0

3-38-89、

y”=3,y

y良才3

lx卫=2

3-39-90、

..32yp

y|x£

|xJ-3

3-40-93、y'

2y=°

3-43-92、y'

4y'

13y=o

3-42-93、y'

-2y'

y=0

3-43-94、y'

-5y'

4y=0

3-44-95、y'

Ty'

Vy=°

y良=0=0

丫去凶=-5

3-45-96、y'

29y=°

y心=0

l»

3-46-97、4y'

y7=2

lx/0

3-47-98、4y'

仃y=°

y2=2

lx^0

3-48-99、y'

33y=0,

y1x^=0

lx畀3

3-49-300、y'

4y=°

y|x=0=0

|x=0=3

3-50-303、2y'

—y二右

3-53-302、y'

y=ecosx

3-52-303、y'

-6y'

9y=（x

3）e3x

3-53-304、y”-y'

-2y=2e

3-54-105、y'

-2y'

-3y=2x1

3-55-106、『'

ySin*-0,y—Jyji

3-56-107、y'

y=5,ylx/二1,y'

lx」=2

6t33

3-57-108、y'

-10y'

9yylx-7,y|x-7

3-58-109、y'

-y=4xe,yh"

3-59-110、yJ5y'

6y二xe2x

4.应用解答题：

（14）

4-1-9、一曲线通过点（2,3）,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求

这曲线方程•

4-3-13、求一曲线，这曲线通过原点，并且它在点（X,y）处的切线斜率等于

y=—+1

4-4-14、试求Wx的经过点M（0；

1）且在此点与直线2相切的积分曲线.

4-5-15、设某曲线，它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.

4-6-16、已知某曲线经过点（11）,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程.

（x）（x）cosx2（t）sintdt=x1+「（x）

4-7-17、设可导函数（x）满足、'

，，求（x）.

4-8-10、已知某商品需求量Q对价格p的弹性为

EQ「2p2

最大需求量为

Q=1000,求需求函数Q=f（P）.

4-9-11、设质量为m的物体在高空中静止下落，空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率v与时间t的关系，再求物体下落距离与时间t的关系

4-10-12、在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势E=EoSin「t,在时刻

t=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（Eo,为常数）.

4-11-13、如图,位于坐标原点的我舰向位于x轴上A（1，0）点处的敌舰发射制导鱼

雷，鱼雷始终对准敌舰，设敌舰以常数Vo沿平行与y轴的直线行驰，

又设鱼雷的速度为2Vo,求鱼雷的航行曲线方程•

4-12-14、根据经验可知,某产品的纯利润L与广告支出x有如下关系

k（A-L）

dx，（其中k0，A0）,若不做广告，即x=0时纯利润

为L。

，且"

A,试求纯利润l与广告费x之间的函数关系.

4-13-15、在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I

丄

均是时间t的函数,且在任一时刻t,储蓄s（t）为国民收入y（t）的10,

dy1

投资额I（t）是国民收入增长率dt的3.设t=0时国民收入为5（亿

元）,假定在时刻t的储蓄全部用于投资，试求国民收入函数.

4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.

5.证明题：

（2）

5-1-18、设y1（x）,y2（x）是二阶齐次线性方程y'

「P（x）y'

y（x）y=0的两个解，令

%（x）y2（x）

w（x）==y1（x）y2‘（x）-yj（x）y2（x）

y1（x）y2（x）

证明：

w（x）满足方程w'

・p（x）w=0

W+P（x）y=Q（x）

的3个相异特解,

2-19、设y1,y2,y3是线性方程dx

证明y2_yi为一常数.

部分应用题答案

487.在串联电路中，设有电阻R,电感L和交流电动势E=E。

sin，・t,在时刻t=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,-■为常数）.

didiRE0.+

RiLE0sint-sin，t

解.设丨=i（t）,由回路电压定律dt，即dtLL

-fdtrE0fRt£

rE0£

i（t）二e[0sintedtC][0sin，teLdtC]

二L=L

Ce$2E°

22（Rsint-Leost）

R+«

LE0

将iIt曲=0代入通解得

488.设质量为m的物体在高空中静止下落，空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体

下落的数率V与时间t的关系，再求物体下落距离与时间t的关系

解：

.物体重力为w=mg，阻力为R=「kv，其中g是重力加速度，k是比例系数.

dv,dvk

mmg-kvv=g

dt，从而得线性方程dtm

-kdtmdt

v=em[gekdtC]

gCe

，将v|t厂0代入通解得

V=mg（1—e“

k,再积分得

m,m

s二gt2

kk2

ge「mC1

将S|y=0代入求得C1

2kt

Smgtmg（e讦1）

Sgtrg（e-1）kk

489.如图，位于坐标原点的我舰向位于X轴上A（1,°

）点处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终

对准敌舰，设敌舰以常数V。

沿平行与y轴的直线行驰，又设鱼雷的速度为

2v°

求鱼雷的航

行曲线方程.

解:

设鱼雷的航行曲线方程为目二y（x）,在时刻t,鱼雷的坐标巍巍P（x，y）,敌舰的

坐标为Qdot）

vot-y

因鱼雷始终对准敌舰

故y=^T，又弧OP的长度为dx=2v0t

从以上两式消去v0t得

（1_x）y'

_y'

二1.1y'

2_y'

（1_x）y'

二1•1y'

2，即2

根据题意，初始条件为

y（0）=0y'

（0）=0

令八p,原方程化为

1「2

（1-x）p'

2,它是可分离变量得方程，

解得P

——1

+p2=G（1—x）弋即y'

+j1+y'

2=0（1—x）=

将y'

（0）=o代入上式得G"

故y'

十E+y"

=（1-x）

而y'

1y'

2」1*

-y'

=（1-x）

1厶

得Wx）z

舟1

积分得y「「x）3（1

-x）2

将y（0）=0代入上式得

所以鱼雷的航行曲线为y（1X）

122

1（_x）2

^=k（A_L）

490.根据经验可知，某产品的纯利润L与广告支出x有如下关系dx,（其中

k0,A0）,若不做广告,即x=0时纯利润为L。

，且0L°

A,试求纯利润L与广

告费x之间的函数关系.

间的函数关系为L（x）=A•（L-A）e

若需求供给函数均为线性函数

f（p，r）=-kpb，g（p）=cpd，则方程为

在任一时刻t,储蓄S（t）为国民收入y（t）的10,投资额l（t）是国民收入增长率dt的3.

设t=0时国民收入为5（亿元），假定在时刻t的储蓄全部用于投资，试求国民收入函数.

C=5,所以国民收入函数为y=5e°

492.试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型

数为g（p）,其中r为参数•于是得微分方程籃w（p"

g（p）],p（0）5其

中Po为t=0时商品的价格，

b—dk（k*）tb—d

p（t）=（p。

-）e-（）（

k+ck+c

F面对所得结果进行讨论：

（1）设p为静态均衡价格，则应满足f（P，r）-g（P）=°

即-kpcpd

b-d

pp（t）=（p-p）e±

（kc）：

limp（t）二p

则kc,从而价格函数p（t八（p°

一p）ep,取极限:

t匸：

它表明：

市场价格逐步趋于均衡价格.若初始价格p°

=p,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就变为静态过程.

dpk（kc）t

（p-p°

）k（kc）e

⑵由于dt

-血<

所以当p°

p时，dt,P（t）单调下降向p

靠拢，这说明：

初始价格高于均衡价格时，动态价格会逐渐降低,逐渐接近均衡价格;

而当初始价格低于均衡价格时，动态价格会逐渐增高，逐渐接近均衡价格.

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