届百校联盟TOP20五月联考全国1卷数学文试题解析版.docx

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届百校联盟TOP20五月联考全国1卷数学文试题解析版

2020届百校联盟TOP20五月联考（全国1卷）数学（文）试

题

_、单选题

1.若复数z=--+i（I为虚数单位），则IZl=（）

1—/

A.√JB.√JC.√5D.5

【答案】C

【解析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.

【详解】

22（1+/）.r7—I

Z=I77+/=（1-0（1+0+/=1+2/,k∣=JF+22=石・故选C.

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.

2.已知实数集R,集合A={x∖0≤x≤l}tB={x∖2x<]},则下列结论错误的是（）

A.（JuKB）^A=CKBB.BC（A）=BC.5u（[RA）=RD.3c4=0

【答案】C

【解析】求出CRA={x∖x<0^ix>l}f化简集合B,可知BC（CRA）,即可选出答案.

【详解】

根据题意，CAIA={x∣x<0H）U>l},又5={x∣2r

【点睛】

本题主要考查了集合的交集，并集补集的运算，属于中档题.

3.2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识A“谢谢惠顾”、标识8“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有A,B,C标识的饮料数量之比为3：

1：

2,若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占总体的=-,可求出一箱中兑

3+1+23

换“品牌纪念币”的数量.

【详解】

根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即12×-=4.

【点睛】

本题主要考查了实际问题中按比例抽取的问题，属于容易题.

4.已知双曲线二-L=I（G〉0上>0）的左、右焦点分别为尸】，F-若&到双曲线的

CrD

渐近线的距离为√L离心率g（2,s）,则焦距迅的取值范围是（）

A.（2,4）B.（3,4）C.（0,4）D.（2√3,4）

【答案】D

【解析】根据焦点到渐近线的距离为b,知b=√J,由离心率ww（2,g）可得α,c的

不等关系，由不等式性质可求C的范围•

【详解】

bbe[LC

因为只到双曲线的渐近线y=±-x的距离为/、「=b,∙∙∙b=√T,又一〉2,a√cr+∕ra

∙∙∙αv；,又Vc2=λ2+3,∙∙∙3

2⑵^

【点睛】

本题主要考查了离心率，CI^C的关系，焦点到渐近线的距离，属于中档题.

5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.25B.56C.119D.246

【解析】根据框图，模拟运行程序即可得出结果•

【详解】

运行程序：

k=3,S=3,3>60不成立；k=rl,S=10,7>60不成立；

=15,5=25,15>60不成立；k=31,S=56,31>60不成立；£=63,S=119成立，63>60,输岀S=119,结束程序.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，属于中档题.

6.阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的

四棱锥体，在阳马P-ABCD中，PC为阳马P-ABCD中最长的棱，

AB=I,AD=ZPC=3,若在阳马P-ABCD的外接球内部随机取一点，则该点

位阳马内的概率为（

）

B.——

C.——

D.——

∏π

27;F

27龙

9π

【答案】C

【解析】由题意知PC的长等于其外接球的直径，可知P4=2,计算棱锥的体积，球的体枳，根据占典概型即可求解.

【详解】

根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC=y∣PA2+AB2+AD2»

∙∙∙3=JX+1+4，∙∙∙P4=2,又M丄平面ABCD,所以

144/3Y

^P-ABCD=JXIX2x2=Jf=y7r×2,

••4（3、27龙・

3（2丿

【点睛】

本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题・

7.设d=sm（-810°）,b=tan

【解析】根据三角函数的诱导公式化简a7b9再由正切的二倍角公式求出b的值，根据对数的运算估算C的范闱，即可比较三者的人小・b

【详解】

.∙α=sin（-810°）=-l,C=Ig-=-Ig5<-Ig710=--,••—I=GVC<

√2-l<∣,所以c

【点睛】本题主要考查了诱导公式，正切的二倍角公式，对数的运算性质，属于中档题・

&已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（）数/（X）的图象向右平移1个单位长度后得到函数g（x）的图象，则

g（l）+g⑵+g（3）+∙∙∙+g（2019）=（）

A•返B.逅C.返+1D.√2+l

【答案】D

【解析】函数两条对称轴之间距离的最小值为4,可求出周期及Q,写出/（A）,再根据平移得出g（x）,根据三角函数的周期可知g（l）+g

（2）+g⑶+∙∙∙+g（8）=0,即可求解.

【详解】

依题意，-=4,T=8,所以ω=-t故/（x）=SllIlfX+f],

24U4J

^（X）=/（x-l）=Sln-X-—+—）=Sin^Xt因为

4444

g（l）+g⑵+g（3）+…+g（8）=0,所以

g（l）+g⑵+g⑶+…+g（2019）=g（l）+g

（2）+g（3）=JΣ+1.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用周期性解决求值问题，属于中档题•

10.已知单调函数/⑴的定义域为（0,+8）,对于定义域内任意丫，/[/W-Iog2λ]=3＞则函数g（x）=∕（x）+x-7的零点所在的区间为（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】C

【解析】令t≈f（x）-iog2xf则/（λ）=log2x+/且/（f）=3可得

/（r）=log√+r=3可知r=2,写出g（x）=log2x+x-5,根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.

【详解】

根据题意，对任意的XW（O,*o）,都有/[/（x）-log2x]=3,又由/（x）是定义在（0,+∞）上的单调函数，则/（x）-log2x为定值，设r=∕W-log2x,贝IJ/（x）=log2x+r,又由/（r）=3,λ/（r）=logzr+r=3,所以r=2,所以

/（Λ∙）=log2x+2,所以^（X）=IOg2x+x-5,因为

g（l）

（2）vθ,g（3）<0,g（4）>0,g（5）>0,所以零点所在的区间为（3,4）.

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.

11.已知为抛物线T=2"）U>0）上的两个动点，以AF为宜径的圆C经过抛物线的焦点尸，且面积为2龙，若过圆心C作该抛物线准线/的垂线CD,垂足为D,则ICQl的最大值为（）

A.2B.√2C.—D.-

【答案】A

【解析】由圆的面积可得AE=2忑,设14Fl=GIBFl=b,过点人作知2丄/于0,过点B作BP丄/于P,利用抛物线定义得∖AF∖=∖AQ∖,∖BF∖=∖BP∖,根据梯形中位线可知2∣Cr>∣=∣40∣+∣3P∣=α+b,利用均值不等式即可求出最大值.

【详解】

Z、J

根据题意，2兀=龙（罟），

・•・AB=2y∕2∙

设∖AF∖=af∖BF∖=b,过点A作Ao丄/于0,过点B作BP丄/于P,

由抛物线定义，得∖AF∖=∖AQ∖,∖BF∖=∖BP∖,在梯形ABPQ中，

.∖2∖CD∖=∖AQ∖+∖BP∖=a+b,

由勾股定理得，S=a2+b2^

所以ICDlW2（当且仅当a=b时，等号成立）.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.

，1,

12∙定义:

[illU（X））I=—-∙^（x）.S函数f（x）=x2+2x+a9g（x）=81n（x+l）tg（人丿

^3x1,x2∈（0,3）,x1≠X2,使得/（XJ=g（xj,/（xj=g（xj,则实数α的取值

范围是（）

A.（161n2-15,0）B.（16In2—15,81n2-3）

C.（0,8ħι2-3）D.（0,15-161ιι2）

【答案】C

【解析】由题意原问题可转化为P（X）=√+2x+α-81n（Λ÷l）,x∈（0,3）在x∈（0,3）

上有两个零点，利用导数分析函数的增减性，结合图形可知满足P（O）>0,P（I）V0即

可.

【详解】

根据题意，令X2+2x+a=81ιι（x+1）,x2+2x+a-81ιι（x+1）=0.t¾i⅛

P（X）=x2+2x+a-81ii（λ+1）,x∈（0,3）,题目条件可转化为函数P（X）在（0,3）上有

两个零点.p∖x）=2x+2一一=2,Ai）（工+3）.当XW（0,1）时，p,{x）

XW（1,3）时，PG）>0,P（O）=a,P（I）=3+α-81n2,p（3）=15+α-81n3,由

于P（O）53）,利用数形结合可知p（0）>0,p（l）<0,解得0vαv81n2-3.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点，利用导数研究函数的单调性，数形结合的思想与方法，属

于难题.

二、填空題

13・南方某村的桔农携手电商，脱贫致富，建起房子，过上了有声有色的生活•某电商

户对一个月内每天的下单单次（单位：

百单）进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所

示），则该样本的中位数.

0233

124489

555778890011479

178

【答案】46

【解析】该样本共有30个数据，找出中间两个求平均值即可得出中位数的人小•

【详解】

第15个数为45,第16个数为47,所以中位数为46.

【点睛】

本题主要考查了中位数的概念，属于容易题•

14.已知点D为ΔABC的外心，BC=4,则丽.貳二•

【答案】8

【解析】因为D为∖ABC的外心，所以BD=CD,故旬丽∣∙cosO=危∣，根据数量积公式计算即可•

【详解】

・■■・■■I■

设丽，氏的夹角久则BDBC=∖BCi∖BD∖∙cosβ=-∖BC∖1=S.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积运算，三角形外心的性质，属于中档题.

y-2≤0

15.已知实数X，）'满足不等式组λr-）'-l≤O,则上的取值范围为.

x+y-3≥0

【答案】*2

【解析】作出可行域，上表示（X』）与（0,0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小

值，最大值即可求解.

y-2≤o

如图，不等式组＜χ-y-l≤0表示的平面区域AABC（包括边界），所以上表示（χ,y）lx+y-3≥0A

1A!

与（O,O）连线的斜率，因为4（1,2）,3（2,1）,所以koA=2,koβ=-,故二W-,2.

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中

档题.

16.在AABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且SInC=2smB,

CCOSB+bCOSC=2,则AABC面积的最大值为•

4【答案】γ

【解析】根据余弦定理可由CCOSB+bcosC=2得α,由正弦定理知c=2b,故

AB2=4AC2»根据两点间距离公式写出即可.

【详解】

22f22>22

根据+b∙"Y=α=2,如图建系，设A（X,刃，由SinC=2smB

IaC2ab

得c=2b,所以AB2=AAC2，即（x+l）2+y2=4[（x-l）2+y2],整理得

（5V,16C1.4

I3丿•923

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理，两点间距离公式，属于中档题.

三、解答题

17.已知数列｛①｝满足2（/?

+IX-^+1=0,q=4.

（1）求数列｛d"｝的通项公式；

（2）求数列｛匕｝的前〃项和.

【答案]⑴all≈n-2n+l;

（2）4+（W-I）∙2π+2.

【解析】（1〉由递推关系式可得M=2县,根据等比数列的定义可知是等比

n+1/7n

数列，即可求出

（2）由

（1）知=H∙2κ+1,数列为等差等比相乘的形式，采用错位相减法求和.

【详解】

（1）由2（/?

+l）an-nαn+1=O得∙⅛i±l=2x仏，

H+1H

所以数列｛牛｝是以¥=4=4为首项，2为公比的等比数列，于是5l=4×2,,^1=2卄1,所以Cln=/?

•2,,+1.

（2）设数列｛〜｝的前M项和为人,

M7；,=l×22+2×23+3×24+・・・+川・2/,+1®,27；=1x2'+2x2"+3x2'+・・・+“・2⑷②,

②■①得，7；=—（2'+2'+2」+…+2卄1）+77∙2n+2

=4+（∕7-1）∙2w+2.

【点睛】

本题主要考查了递推数列，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.

18.如图，在JI^ACD-AlBICiDI中，四边形ADDlAI,CDDiCl为矩形，平面

ADDIAI丄平面CDDG,EA丄平面ADD1Al,AD=CD=ItAAI=AlBl=2,E

为棱AA的中点.

（1）证明：

BG丄CE；

（2）设AD与4Q的交点为0,试问：

在线段βlAl±是否存在一点N,使得ONll平

面^CIC・

【答案】（I）证明见解析：

（2）见解析•

【解析】

（1）先证明线CCl丄平面AβlClDl∏mCCI丄BG,根据βlE=BC+ECj可证明丄CIEt从而可证QG丄平面CC1E,由线面垂直的性质可得结论

（2）设M为线段dA的中点，可证四边形CDMd为平行四边形，取MA的中点N,连ON由中位线可知，ONIlCB即可证明.

【详解】

（1）因为色人丄平面ADDlAi,所以尻A丄DQ,

又Dq丄DlAl,BlAlr>DiAl=Al,所以Dq丄平面AlBiCIDI,

因为D9〃Cq,所以CG丄平面AlBICIDi,BGU平面A1B1C1D1,所以

CCi丄BlCi,

因为平面ADDlAi丄平面CDDICI,平面ADDIAIC平面CDDICI=DDL，

CIDI丄DDi,

所以G9丄平面ADDIAI,

经计算可得β1E=√5,BC=近,EC】=JL

从而B1E2=BC+Eej,

所以在△BiECI中，QC；丄CiE,

又CC1,C1E⊂平面CCIE,CClryCIE=Cit

所以de】丄平面CClEt

又CEU平面CCIEf所以QG丄CE.

其理由如下：

因为BlAi丄平面ADDIAi,CIDl丄平面ADDiAI,所以CQL〃BlAi,.∙.CD//BiAi,设M为线段QA的中点，又CD=^βlAl=l,

.*.CDHBLM,CD=BIM,

所以四边形CDMg为平行四边形，

所以DM〃CQ,

又因为中位线的性质，他ONllDM,

所以ON〃CQ,

因为ONU平面BIClC,CdU平面BICIC,

所以QVll平面BICiC.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，线面平行的判定，属于中档题.

19.为了调査公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取了30名员工，并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：

图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月⅛A4000

（1）是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系？

若有,请说明理由，若没有，说明理由并分析原因；

（2）从饮食指数在（50,70）内的员工中任选2人，求他们的饮食指数均在（50,60）内的概率；

（3）经调査某地若干户家庭的年收入X（万元）和年饮食支出）’（万元）具有线性相关关系，并得到）'关于X的回归直线方程：

j=0.245x+0.321•若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收入，估计该人的年饮食支出费用.

附：

K'（M（dc（b+""F+b+c+d∙

P（K2≥k）

0.150

OJOO

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

【答案】

（1）有；

（2）—：

（3）1.6881万元.

【解析】

（1）计算K'，根据K?

值作出结论；

（2）列出所有可能共10种，其中饮食指数均在（50,60）内的有3种，由占典概型求解即可（3）根据频率分布直方图求出此人月均收入，计算出年均收入代入回归直线方程即可求解.

【详解】

（1）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数为

30x（0.03+0.025+0.015）x10=21,

所以完成下列2x2列联表如下：

月收入4000元以下

月收入4000元以上

合计

主食

蔬菜

主食

肉类

合计

所以KI=3O×（8dxlO）-24.471>3.841,故有95%的把握认为饮食习惯与月9×21×12×18

收入有关系，

（2）饮食指数在（50,70）内的员工有5人，其中在（50,60）的有3人，设为A,5C,在（60,70）的有2人，设为a,b,从饮食指数在（50,70）内的员工中任选2人，

所有结果为（A,〃），（A,C）,（Aja）,（A,b）,（B,C）,（B,a）,（B,b）,（C,a）,（C,b）,a,b）,共10种，

其中他们的饮食指数均在（50,60）内的结果为（A3）,（A,C）,（B,C）,共3种，

所以概率为2.

（3）根据频率分布直方图，0.1×25÷0.2×35+0.3×45+0,25×55+0.15×65=46.5

（百元），

所以;=0.245X0.465×12+0.321=1.6881（万元），

故该人的年饮食支出费用约为1.6881万元.

【点睛】

本题主要考查了2x2列联表，独立性检验，古典概型，频率分布直方图，回归直线方程，属于中档题.

20.已知椭圆C:

二+賽=l（o>b>0）的左、右焦点分别为Fl,F2f椭圆C上一点CrP-

4（0,1）,X轴上存在一点0满足屈=2页，40丄AF2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/与椭圆C相切于第一象限上的点P,且分别与X轴、y轴交于N两点,

求IMAq的最小值.

【答案】（I）—+r=1;

（2）3.

【解析】

（1）根据向量的坐标运算可先求出O的坐标为（一彳再由向量垂直求出C，即可写出方程

（2）设直线/的方程为y=kx+∕n（k

【详解】

（1）设椭圆C的焦距为2c（c>0）,

则点FL的坐标为（-G0）,点F2的坐标为（Go）,

设点Q的坐标为（兀,0）,

心2=（无-c,0）,QFi=（-C-Xo,0）,

VΛβ=IQFi,则Xo-C=2（-C-XQ）,

则点Q的坐标为f——,0

•・•直线4耳与直线40垂直，且点4（0,1）,

所以AΛ=（c,-l）,Aρ=（-∣,-1）,

VAF2∙AQ=0,/.—+1=0,得c2=3»所以夕=4,因此，椭圆C的方程为一+/=1.

4•

y=kx+m

x2+4y2-4=0

（2）设直线/的方程为y=kx+m（RvO）,

得X2+4（Z：

2X2+2⅛7Λβ+7H2）-4=0,

即（1+4R'）F+SkmX+Atn2-4=0,

△=64T府一16（1+4疋）0沪一1）=0,

即4k2m2-（府一1+4k2m2一4k'）=O,

即一加2+1+4T=O,〃F=I+4/,

N（0』）,M-

当且仅当4λ2=-ζ,

∙∙∙M7V的最小值为3.

I耳^+4/+；=#+4/+5≥√2√4+5=3,

BPZ;=--时“=”成立，

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程，α,b,c之间的关系，直线与椭圆的位置关系，均值不等式，属于难题.

21.已知函数f（X）=X2-

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若存在心，使得/（⅞）=0t证明：

AO~2+6/

ax0+1

【答案】（I）见解析：

（2）证明见解析.

【解析】（I）函数求导后对d分类讨论即可得解；

（2）由/（⅞）=O,知

1+1∩YWAO

怎-（2-d）Λ0-dln（dO）=0,原不等式可转化为一构造函数

AOX。

1+1IlXPX

g（Q=——，//（Aj=—,分别利用导数求其最人值与最小值即可・

Xx+1

【详解】

（!

））厶（U,χ>o,

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